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1、从弦图到黄金分割点摘要:本文首先是由八年级上册课本中一个练习题有感而发，继而想到了勾股定理，想到了勾股定理中赵爽弦图的拼图证明方法，而安徽中考题对弦图的考察涉及到了黄金分割点，因此对弦图进行了深入了解。再借助几何画板对数学书中关于弦图的题目进行建模分析,得出弦图中存在的黄金分割点。关键词:初中数学、正方形，弦图，黄金分割点引言最早对勾股定理进行证明的，是我国三国时期吴国的数学家赵爽。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。在每年的中考中对弦图的考察也是比较多的。新课改下的
2、教育理念让我们深入了解课本，因此对弦图的数学应用展开深入的分析研究在数学中有巨大的价值。一、例题再现八上数学书62页第13题：如图,E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN.试判断四边形EFMN是什么图形,并证明你的结论.由题意，我们可以证明AAENgABFEgACMFgZWNM(SAS),从而得出四边形EFMN正方形，反之，若给出四边形EFMN与四边形ABCD都是正方形，也可以证明AAENgZXBFE丝ZCMFgZDNM(S)从而得出AE=BF=CM=DN0本题是基于弦图中的内弦图和外弦图进行考察的。而在考试中对弦图的考察也是非常多的。二、例题改编例1：如图四
3、边形ABCD是正方形，AE1.BF交于点G,求证：AE=BF四边形ABCD是正方形AB=BCNABC=NC=90ZABGZFBC=90oVAEBFZEAB+ZABGZEAB=ZFBc ABEBCF(ASA)/.AE=BF变式1：如图四边形ABCD是正方形，AE=BF且交于点G,求证：AE1.BF 四边形ABCD是正方形AB=BCNABC=NC=90VAE=BF.RtABERtBCF(H1.) ZBAE=ZFBc/NABF+NFBC=90NABF+NFBC=90/.ZABF+ZBAE=90o.ZAGB=90oAEBF此题中线段BF与线段AE都是过正方形的顶点，且在正方形内部的线段。这两个线段也可
4、以平移到如下图所示的情况：类型一、线段与正方形交在边上变式2：如图1,四边形ABCD是正方形，且JK=H1.,求证JKHI(JK_1.HI,求证JK=HD证明：过点H,J作H1.ABJMBC由题意可知H1.=JMVJK=H1.RtH1.IRtJMK(H1.)ZMJk=Z1.HIVZHNJ=90o：NHGJ=90JKHI变式3：如图2,四边形ABCD是正方形，JK_1.HI,求证JkHl证明:VJKHI,ZMJK=Z1.HiVJM=H1.ZHLI=ZJMK=90oRtH1.IRtJMKAHI=JK图2此类问题考察除了可以像上面这种解法外，还可以利用平移把线段JK,HI平移至BF,AE的位置，如下
5、图所示：利用例1的证明方法证明出来，然后利用四边形HIBF和四边形AEKJ是平行四边形，利用平行四边形的对边相等来证。类型二、线段与正方形延长线有交点变式4：如图，G,H在DC与AB延长线上，且GH=AE求证GH_1.AE（或GHAE求证GH=AE）解决此类问题，方法很多，除了像变式3那样做辅助线以外，其中有一种也是平移，平移至正方形内部使这两条线段分别过一个正方形端点，另一个线段顶点在边上，如下图，证明按照例1证明即可。上述题目的证明过程就是利用平移构造弦图的方法就行。如下图：小正方形IYGK是大正方形的内弦图，大正方形ABCD是小正方形YGKI的外弦图。这个图也赵爽弦图，2002年作为北京
6、数学家大会的会徽，这个弦图在几何应用中考察的非常多。三、弦图应用问题1：四边形ABCD为正方形，AE=BF.当E为BC中点时，证明DG=AD证明：找AB中点M,易证ABEBCF,VE为BC中点。F为DC中点F易证四边形DMBF为平行四边形，VBFAE,DMAEVZAGB等于90o,M为斜边AB中点。AAM=GMMD垂直平分AGADA=DG问题2：连接CG,若正方形边长为4,求CG最小值?分析：.NAGB=90,点G在以AB为直径的半圆上，如图所示6取AB中点M,当C,G,M三点共线时此时CG最小。问题：3：这个图形中还有哪些隐圆？分析：DAMF四点也共圆问题4：连接AC与BF交点记为PAP求的
7、值？由前面模型可知ABEBCFABE=CFVE为BC中点F为 DC 中点 1.cD=-lACF=22分析：把直角AABC抽离出来，如图所示：这是一个半弦图。我们在解决这个问题时，可以把半弦图补全来解，以下提供两种解法：解法1.如图：过点C作AB的平行线，与过点A作BC的平行线交于点D,易证四边形ABCD为正方形。APBsACPFABAP解法2：延长GE到点Q使GE=EQ连接CQ.过点C作GQ的平行线交BG的延长线于点M易证ABGEgZXCQE四边形GMCQ是正方形Y四边形GMCQ是正方形 .NMGC=NCGQ=45 由已证明模型可知BM_1.AE .NAGP=NBGQ=90 NAGC=NBGC
8、=135 .ZGAC+ZGCA=45oZGAC=ZGCaJZXGACsZGCBVPG/7 CQ. APGs ACQ/ZGCA+ZGCB=45o通过两种证明方法都可以说明，此时点P为线段AC的黄金分割点（黄金分割点：是指把一条线段AB分割为两部分，并使其中一部分AQ与全长AB之比，尊于另一部分QB与这部分AQ之比。计算结果，其比值是一个无理数，用分数表示则为5-1,取小数点后面三位数字的近似值是0.618。由于按此比例2设计的多方面的造型人们感觉十分和谐、美丽，故称为黄金分割，也称为中外比。此类题目在中考中考察也是非常的多，接下来我们看两个中考题:（2013年安徽省中考23题）已知正方形ABCD
9、,点M为边AB的中点(1)如图1,点G为线段CM上的一点，且NAGB=90,延长AG,BG分别与边BC,CD交于E,F求证BE=CF求证BEBCCE如图2,在边BC上取一点E,BE 田口并延长CD于点F,求tanZCBF的值。BCCE ,连接AE交CM于点G,连接nr证明：(1)四变形ABCD为正方形.AB=BCNABoNBCD=90.NABF+NFBC二90,NAGB=90/.NGAB+NGBA=90ZGAB=ZFBC.ABEBCF(ASA)ABE=CF(2) VZAGB=90oM为AB中点AMA=MGZMAG=ZAGMVZAGM=ZCGE/.ZMAG=ZCGE由(1)知NGAB=NFBCZ
10、FBC=ZCGECGE-CBGCGCE工CGCBcE/GM=BMZMGB=ZMBG=ZCFG=ZCGF/.CF=CG=BE.BECBCE由(1)知BE=CF设BE=CF=X正方形边长为a.*.CE=a-BEBCE，C.Xa(a_-x)x2_ax-aO.,一感2*X1-a-y5Ta（舍去）X2a5a2AtanZCBF=B点E是线段BC的黄金分割点）(2019年安徽中考23题)如图。RtABC中，NACB=90,AC=BC,P为aABC内部一点，且ZAPB=ZBPC=135(1)求证：ZPABsZPBC(2)求证PA=2PC（3）若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1.,h2,h3,求
11、h12hiiF.h3V ZACB=90o,AC=BCNABC=450即ZABP+ZCBP=45o/NAPB=135o/.ZPAB+ZPBA=45oV ZPAB=ZCBPpabpbcV ZACB=90o,AC=BCABC为等腰直角三角形由（2）知YZPABsPBCPBPCAB二5PAPBBCABBCPA=2PC解法1：如图，过点P作PDBC,PEAC,PFAB交BC,AC,AB于点D,E,F所以h,PD2，PE=%P17VZCPB+ZAPB=I35o+135o=270oZAPC=90oZEPZCP=90o,.NACB=NACP+NPCD=90ZEAP=ZPCdRtEPRtCDP.PEAP2即h3
12、2.h2hDPPC5VPABPBCh1AB.小2叱hi2h2h122h222h2,h2=h2h3解法2：如图，过点P作PDBC,PEAC,PFAB交BC,AC,AB于点D,E,FAPF=h1,Pf，PE=IbVZCPB+ZAPB=135o+135=270ZAPC=90o由（2）知PA=2PC设PC=XPA=2XAAC=BC=5xVBC为等膊宜向.ABAC2BC2=IOx.,SABCSapcSbpcapb1AC-BC=J ACh3+ 1I，hBCh2+AB22h1h3h25xY在RtAPC中SAPC=-Iap-PC=Iac-PE22在RtCPE中PE=h3CE2-h25二555易证四边形EPDC为矩形步PD=CE=J.2h1h3h25x.h1=x52x2hrh3,10552522X25赵爽弦图在实际应用和考察中是非常多的，弦图也是我国的骄傲，在学习过程中感受中国的优秀文化培养学生的民族自豪感。对弦图的深入了解可以培养学生数学思维能力。在做题时找出题中的弦图模型，可以快速的找到正确答案。而黄金分割点的考察也很多。弦图中隐藏的黄金分割点很好的让两者进行了结合。因此对弦图到黄金分割点进行了研究。研究过程中也查询了大量资料，请教了许多老师。有不足之处欢迎给予批评指正。参考文献:1义务教育数学课程标准（2022版），北京师范大学出版社，2022.42李文林：从赵爽弦图谈起200832-35页
