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1、挖真题价值探解题策略摘要：“函数”是初中阶段数与代数领域的三大主题之一，是学生理解数学符号，以及感悟用数学符号表达事物性质、关系和规律的关键内容，是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学语言表达现实世界的重要载体。义务教育数学课程标准(2022年版)中关于二次函数领域的课程内容要求有:会通过分析实际问题情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用配方法将数字系数的二次函数表达式化为顶点式形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题。关键词：二次函数的应用，数学模型，配方法，最大值引言：中考试题是命题者精心打磨的作品，
2、具有典型性、针对性，研究并挖掘其蕴含的价值是一件重要且有意义的事。通过四天的阅卷工作，笔者完成了2022年合肥市中考数学第23题近万份的阅卷任务，感触颇深。本文以2022年安徽省初中学业水平考试第23题为例，以义务教育课程方案(2022年版)和义务教育数学课程标准(2022年版)为依托，探究二次函数的综合应用问题，形成解决此类问题的一般思路，发挥此题的最大功效，有效提升学生的综合应用能力。一、原题呈现如图1,隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米。以BC所在的直线为X轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xyf规定一个单位长度代表
3、1米。E是抛物线的顶点。(1)求此抛物线对应的函数表达式；rR(2)在隧道截面内(含边界)修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点出，j在X轴上，MN与矩形PPPP1.234的一边平行且相等。栅栏总长为m图中粗线段PP2,PPPP34,MN长度之和.请解决以下问题：(i)修建一个“”型栅栏,的横坐标为w( 0 Zn6 ),求栅栏总长与如图2,点2P,3P在抛物线AED上。设点IPER加之间的函数表达式和的最大值；(ii)现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型或“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩PPP尸面积的最大值，及取最大值f1.1234时点I的横坐标的
4、取值范围（I在4右侧）。PPP二、试题分析本题是2022年安徽省中考试题第23题，与往年安徽省压轴题命制不同的是，今年的压轴题是一道二次函数应用题，题目有较强的实际应用价值，要求考生具有利用函数模型分析问题和解决问题的能力。本题主要考查二次函数解析式的求法、通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式、求二次函数最大值或最小值以及函数综合应用等。主要考查学生代数运算能力、函数综合应用能力和数形结合等思想。本题共两小题、三小问。第（1）题和第（2）题的（i）问难度不大，但第（2）题的（ii）问有一定难度和区分度。（1）问考查了用待定系数法求二次函数解析式，比较基础简单。（2）问考查了在实际情境中列
5、二次函数关系式、用配方法或用公式求二次函数最值以及取值范围的判断，考查问题综合而全面。并且（i）（ii）两问既有联系又有区别，难度逐层递进，需要考生仔细审题，认真思考辨别。其中（i）问己知条件两点PP23在抛物线上，自变量是点P的横坐标，因变量是栅栏总长度，需要用坐标去表示长度，进而求长度的最值;（ii）问给定了栅栏的总长度，并且给出了两种符合实际的设计方案供考生选择，比较灵活多样。但此时已知条件中未给出两点PP在抛物线上，因变量是矩形面积，没有给出自变量，考生可以自行选择合适的自变量，可以设坐标表示面积也可以设长度去表示面积。在列出相应的函数关系式求出面积的最值后还要根据“栅栏要在隧道内部”
6、这一事实求出题目要求的点;横坐标的取值范围。三、解法分析1.第（1）问解法展示:思路1设顶点式解法1设抛物线对应的函数表达式y=ax2+cf由题意知E（8,0）0（2,6在抛物线上，C,8482,解得Q1.yc8yIx28以抛物线对应的函数表达式为思路2设一般式解法2设抛物线对应的函数表达式yr2bxc,由题意知为E,解得(8,00(2,6),A2,6在抛物线上，故c=8,364+6b+=2,36a-6b=28.f所以抛物线对应的函数表i大式为V思路3设交点式经过平移后的形式解法3设抛物线对应的函数表达式y。（X6）62,由题意知比8,0在抛物线上，故36。28,解得 1听以抛物线对应的函数表
7、达式为y1 2 8.2.第（2）问（i）解法展示:3Iw2 8即所注：本题也可不配方，直接用公式求抛物线的对称轴进而求出二次函数最值。3.第（2）问（ii）方案一解法展示:P3NP2P4MP1.图4方案一示意图思路1设竖直长度解法1设PPh,则PP183,于是面积S(13)-3218,配方得S3(/?3227,所以当3时，S取得最大值27。此匕尸，3PP9.在函数nF41Py.?8欠y3,?X印二因为印一30-9,铲河为点横坐标的最大值，同为点4P横坐标的最小值,所以点横坐标的取值范围是YP95X30-.VV思路2设水平长度一解法2设“a，则18-PP于是面积S18_Ia26at配方得S9)2
8、27,所以Q9时，S取得最大值27,此P尸9,PP.3下同法Xa当时14i2Io感路3同时设竖直和水平长度解法3PPa,PPb,3b18,浚1223于是面积Saba3)3a218.下同法1。思路4设点坐标解法4P(4,A),则P尸,PzP18-30.于是面积Sb(13)3b2183b327下同法1。Cf方案二解法展示：图5方案二示意图思路1设竖直长度解法1设。尸2，则PP 1.o 2)9 h ,于是面S h (II 4(18积Q方得S ( h 二3 ,所以HS取得最大3此时二小 当 值 h)-h2 9h ,配在函数19y.2 8中令y I ,度X后.因为疝212-,所以场为点I横坐标的最大值，
9、2?为点力横坐标的最小值,所以点IP横坐标的取值范围是-21X历.2思路2设水平长度、思路3同时设竖直和水平长度、思路4设点坐标同方案一可得。四、典型错误分析1.在第(1)问中，在解方程3682时，将。误算成了-6；2 .在第(1)问中，将抛物线解析式设成错误形式：ya(x6)(x6);3 .在第(2)问(i)中，对于“粗线段”审题不清，将尸产4也计算在内，或者漏加了粗线段MN的长度；导致最值求错；5 .在第(2)问(ii)中，误把点N当做P(P)的中点，用特殊情况计妞曰&_皆不具有獗性；没有用祷式或者文字语言说明栅栏在隧道截面内(含边界)，如：因为30309,所以30为点:横坐标的最大值，3
10、0为点4尸横坐标的最小值；6熹(2)Hii)中，忽略“含边界”，导致最后横坐标的范围未加等号，如写成：9-3030O五、4学思考1 .数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用。数学素养是现代社会每一个公民应当具备的基本素养。数学教育承载着落实立德树人根本任务、实施素质教育的功能。根据义务教育数学课程标准（2022年版）中确5立的核心素养导向的课程目标：以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调学生“四基”的获得与发展、“四能”的发展与运用，形成正确的情感、态度和价值观。数学课程要培养的学生核心素养，主要包括以下三个方面：会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思
11、维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界（简称“三会”）。同时这也是数学教育的终极目标。2 .积极促进信息技术与数学课程的融合。合理利用现代信息技术，提供丰富的学习资源，设计生动的教学活动，改进教学方式，促进学生学习方式转变。如在二次函数的课堂教学中，可通过几何画板软件来研究函数图象，形象直观，同时几何画板的数学功能可以直接显示参数a,h,k值变化时函数图象的变化情况，从而清楚地发现二次函数的性质，这样会大大激发学生的求知欲和学习热情，并感受到用计算机解决实际问题的优势。3 .“函数”是初中阶段数与代数领域的三大主题之一，是学生理解数学符号，以及感悟用数学符号表达事物性质、关系和规律的关键内
12、容，是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学语言表达现实世界的重要载体。在函数的教学中，要通过对现实问题中变量的分析，建立两个变量之间变化的依赖关系，让学生理解用函数表达变化关系的实际意义；会用函数表达现实世界事物的简单规律，经历用数学语言表达现实世界的过程，提升学习数学的兴趣，进一步发展应用意识。按教材的编排方式，函数的学习是从问题中来到问题中去的过程。这也体现了数学理论来源于实际又反过来服务实际。教学中要引导学生审清题意，仔细分析问题，经历探索解决实际问题的过程，体会二次函数是解决最优化问题的数学模型之一，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型的思想和数学的应用价值。4
13、 .重视学生运算能力的培养，从七年级开始就要狠抓计算，尤其是七下，要通过设置科学有效的计算练习等巩固运算。形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。本次阅卷中遇到书写工整规范的试卷寥寥无几。教师在平时的作业、练习中就要强调学生字迹要清晰，书写要工整规范，严谨有序地表达解题过程，使学生养成良好的书写习惯。在初三的最后阶段，师生不能盲目押题，要关注“四基”、“四能“、“三会”和通性通法的考查，培养学生扎实的数学功底。-W5t1中华人民共和国教育部：义务教育数学课程标准（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社2022年版.2中华人民共和国教育部：义务教育课程方窠（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社2022年版.
