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1、探析求解含参函数单调性的方法策略摘要：函数的单调性是导数部分最基础，也是必须要掌握的知识点，极最值是其衍生问题，该类问题通常以选择题或解答题的形式出现。函数与导数综合问题通常融合参数命题，不仅考察学生对函数与导数知识的学习，而且考查学生分类讨论和数形结合的思想。这种题目对学生来说难度大，拿分不易，究其原因，是学生对分类讨论标准的实质掌握不牢。关键词：函数导数单调性参数分类讨论数形结合.引言：一年以来，为了更扎实的研究本教科研论文，我对本校高三及部分高二学生开展了问卷调查，为弥补问卷调查的不足，保证采集数据方式的多样性，约谈了部分学生开展座谈会，采集了261份数据并对这些数据进行了细致地分析，为
2、该篇论文研究提供一定的数据支撑。把前期采集的信息进行细致分析，统计问卷调查数据，对访谈学生时记录的主要问题，教学过程中学生课堂表现情况、作业以及考试中反映出来的问题等悉心总结，同时也对十五位本校一线数学教师进行座谈，开展专题讲座，记录并整理分析，寻求解决该类问题的最佳方法。函数是高中数学的主干知识，贯穿整个高中数学的学习过程，导数作为研究函数问题的工具之一，是函数知识的综合应用与升华。多年来，导数的考查成为了重点和热点问题,导数该章节内容综合性强，复杂而且抽象，考查主要侧重于理解和应用，并与多种数学思想方法密切结合，是高考中区分度高、难度较大的题目，常以压轴题型出现。除此之外，导数知识以选择题
3、和填空题的形式在历年各省高考卷和模拟卷中也经常出现，该章节内容的掌握程度决定了学生高考成绩的区分。函数的单调性是导数部分最基础，也是必须要掌握的知识点，极最值是其衍生问题，该类问题通常以选择题和解答题的形式出现，函数与导数综合问题通常融合参数命题，不仅考察学生对函数与导数知识的学习，而且考查学生分类讨论和数形结合的思想。这种题目对学生来说难度大，拿分不易，究其原因，是学生对分类讨论标准的实质掌握不牢。本文意从含参函数的单调性的常用方法和步骤出发，探究分类讨论的标准，以近年典型例题为模板具体分析该题型的解题策略,所涉及的思想方法以及解题步骤。只要我们掌握该题型的解题技巧，此类问题的攻克并非难事。
4、以下将做具体分析。讨论函数(含参)单调性常用的方法步骤1 .确定函数/(x)的定义域.2 .对函数求导，通分，因式分解.3 .令导函数，(无)o,判断导函数/)什么时候为正，什么时候为负，并对导函数的零点是否存在进行讨论.4 .当导函数/X)存在不止一个零点时，需要讨论各零点的大小关系以及所对应区间的位置关系.5 .画出导函数同号时，原函数单调性变化的草图，从而写出原函数的单调区间.6 .综合讨论情况，得结论.二.典例分析类型一以参数的正负为标准来进行分类讨论.例1.f(x)XaexiX0,aR.试讨f(x)的单调性。论解析：因为f()XaeyX0,所以r(x)1aex.(1)当。0z(x)0
5、,所以Ja)在0,上单调递增.Fk1.-f1(2)当00时，令/)0解得In.当。1时，J,0所以(动在0，上单调递减，Ina(f当OaI时，.,O当O1.n:时八二0所以(%)单调递增，InI%Ifinj时-华调递减.综上，当，时，龟)在0,上单调递增.Z7当。时，/1)Q1.n1.单调递增在In1上单调递减；在当a,时，/(x)在0，上单调递减.总结：1思维点拨：确定原函数定义域是学生经常遗漏的一部关键环节，之后由原函数得力(X)-Ge,我们发现，。的正负决定了导函数Q(X)的正负.所以，本题就,0M两种情况分别进行讨论.找到本题分类讨论的实质。2 .解题模板：(1)求f()的定义域.(2
6、)求导函数f(x.)(3)分别就。,0。0两种情况进行讨论.(4)分别就分类情况列表分析，根据表格得结论.3 .数学思想方法：数形结合思想分类讨论思想4 .数学素养：逻辑推理数学运算类型二以根的大小作为标准来进行分类讨论.例2.已知函-10r2-In(。其中9.试讨论Ja)的单调性。数21a解析：由题意可知函数/(X)的定义域为1)力(axU1.x(IX勺两个根为1X1, 2 ,则 2 mu.1X(-1,)0上1)(0,n11a(1.,)a1f(x)00/()/(0)J(-)1a(1)当0。1时,XX2,/(x)与1.x)的变化情况如下表:由上表可知：/(X)的单调递减区间为0,1)和1,),
7、(a1)的单调递增区间为)ir.(2)当1,/*)的单调递减区间为，.)时(1(3)当时，1.x?。，F(X)与()的变化情况如下表:rX)111aJb)0(,0)fx)0+0/()I/(0由上表可知：的单调递减区间为aeI的单调讲增区间为综上所述：1,1),当OaI时，(X)的单调递减区间为-0,1)和MH.YIf(x当1时,彳的单调5减区间为-,11 )和(O),的单调送增区间为总结：1思维点拨:由原函数得4殡/公21( a)x 令/G) 0得-2 1( )x O 当 1 2 .解题模板：(1)求/(X)的定义域.(2)求导函数f(x.)(3)令力(X)O求极值点.(4)对极值点的大小关系
8、进行讨论.(5)分别就分类情况列表分析，根据表格得结论.3 .数学思想方法：数形结合思想分类讨论思想4 .数学素养：逻辑推理数学运算类型三以根的判别式作为标准进行分类讨论.例3.己知函J(X)X3X2CUC1,试讨论/(X)的单调性。数分析：求导r(x)3x22xaf,(x)O即得/2xO,由于该一元二次方程的根是否存在具有不确定性，所以此类问题分类讨论的标准是根的判别式，即:feSiFr. rb 且而音 TiT in ,3-2(1)当0即 ff( 0恒成立x)在R上单调递(2)当0 即 时，f,(y此时，由导函数的图像可得:徨中.2J1.3 af(x)在(-,1-J1.-3 ”可得,f(x)
9、在可1-/(X)在(综上所述,X)单调递增区间为当臼时,),(113,)为正.1331-113。1-3tz 113。),(,)单调递增,3/&1)的单调递减区间为-3)“)的单调狒增区间为(-I-A 1 总结：1.思维点拨：求导3x2Ix a令，(x) 0m即3x22x a 0由于二次项系数为3,所以此方程为一元二次方程，但其根是否存在具有不确定性，所以对于该题分类讨论标准是根的判别式，即0,0.2 .解题模板：(1)求/()的定义域.(2)求导函数f(x.)(3)令f(x)O得3X2-2.(4)对该一元二次方程的根是否存在即0,0进行讨论.(5)分别就分类情况分析，根据分析得结论.3 .数学
10、思想：数形结合思想分类讨论思想.4 .数学素养：逻辑推理，数学运算.纵观三个典型例题，解题模式相近，细细分解不难发现其解题步骤为：确定原函数的定义域(x的取值范围)，求出导函fx),观察导函数的结构，如果参数的正负决定导函数的正负，我们要对参数的正负进行讨论；若导函数为含参的一元二次函数，通常需要先对二项式系数进行讨论，而后讨论判别式，在判别式为正的情况下还需要讨论两根的大小，之后根据/，工)的正负来确定原函数的单调性。该题型重在考查数形结合和分类讨论这两大类重要的数学思想，而对数学素养的考查重在逻辑推理和数学运算。归纳而言，对函数单调性讨论的实质其实是对导函数何时正何时负的讨论，通常先根据参数对函数的类型进行分类，若有不止一个讨论点时，一定要注意讨论的顺序和层次。只要牢牢把握分类讨论的实质，按照解题模板大量练习，此类问题将会迎刃而解。
