中科大光学讲义01光的波动模型.docx

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1、物理学是一门实验科学,这就是说,物理学的理论来源于实验,物理学的理 论也必须要经过实验的检验。对于光的本质,人们通过观察,最初曾得到了不同 的结论。在早期,实验无法对这些结论进行检验,因而它们都是假说。这些优势 是相互对立的假说,不管理论上如何完美,都不足以使反对的一方完全信服。正 如我们所熟知的,NeWtOn和HUygenS分别提出了光的微粒说和波动说,这两种假 说的争论持续了一百多年。即使NeWlOn建立力学的崇高威望和他的众多的追随 者也没有使相信Huygens的人放弃他们的信念。1801年,T. YoUng在光通过双孔的实验中,首次观察到了与水波的干涉现 象相似的光的干涉现象,即光经过

2、双孔后,由于干涉,光能量在空间重新分布, 显示为明暗交错的条纹,这些条纹被称作干涉条纹。这一实验称为杨氏干涉。杨 氏干涉证明了光的波动性。后来人们又观察到了光的衍射及偏振现象,由此建立了波动光学。1865年,MaXWell总结出了关于电磁场规律的方程组,提出了电磁波理论。由这一理论,可以得出电磁波的传播速度为=1/4,0。当时,RudolphKohIraUSCh以及WilheIm Weber等人通过测量磁导率和介电常数,计算所得出的 电磁波的速度竟然与已经测量到的光的速度相一致。这就使得Maxwell推测光就 是电磁波。1887年这一推测被HeinriCh Hertz的实验所证实。而此时Max

3、well已 去世8年。麦克斯韦(James Clerk Maxwell, 183Pl879) 赫兹 (HertZ,HR 1857- 1894)1.1 光的电磁波理论光是电磁波,这是我们所熟知的结论,或者说,光是电磁辐射频谱的一段, 如图Ll所示。我们所说的光,通常是指可见光,即波长约在400760nm的一段 电磁辐射。在光学中,研究的范围通常还包括波长较长的红外光和波长较短的紫 外光。(nni)v(Hz)E(MeV)o7IO5IOY二丫射线-IO2-IO21IO6IOSIoT- t-IOx -IO4IO-2-1-IO1910,IA IOT- -4- X射线-IOu IO2_ IO17 10-J

4、_紫外光一 IO 0-1图1.1电磁辐射谱既然光是电磁波,光的所有物理性质和物理行为都应当遵循电磁理论。1.1.1 Maxwell 方程组电磁场的基本特性可以用电场强度矢量E和磁感应强度矢量3来表示。为了 表示电磁场在介质中的特性,又引入了另外一组物理量:电流密度矢量J,电位 移矢量。和磁场强度矢量,电磁场的规律用MaXWeIl方程组和反映介质电磁 性质的物质方程组描述。VD = PcDV = + 加电磁场的能流密度,即Poynting矢量为S = EH (1.1.3)1.1.2 无源各向同性介质中的MaXWeH方程组电磁场的性质由空间中电荷、电流的分布、介质的介电常数、磁导率、电导 率以及边

5、界条件所决定。原则上,只要上述各个参数是一定的,就可以通过求解 Maxwell方程组得到电磁场的分布,即得到E和3的数学表达式。例如,在自由空间或均匀介质(其中电荷P=O ,电流J = O)中,上述MaXWeH 方程组可以化为(D = OVXH= 一设介质是稳定和各向同性的,即物质方程中的磁化率和介电常数等都是恒定 值。取第二式的旋度,并利用物质方程的第二式、第一式以及MaXWeH方程组的 第四式,得到VX(VXE) = YVX5 = 一=7乂 = 一安=一达?a d(7*而根据矢量分析公式Vx (VxE) = V(V-E)-V2E由于是各向同性的无源场,VE = V(- D ) = - 1

6、V D = O则有-72E = -r,ir令 PMNo = 乂,即 U = 1 (1.1.5) J凡 MFq可以得到齐次方程21。2VE- = 0 (1.1.6)V2 t2 同样可以得到,1 0 2jVB- =0 (1.1.7)V2 t2在真空中,r= 1, r= 1,记GA = !,即c = -j-! (1.1.8)有2 1 %VE- =0 (1.1.9) c2 t221 ?BV-=0 (1. 1.10)上述方虐是资型的波动方程,在特定的边界条件下,可以严格求解。 1.1.3特定边界条件下波动方程的通解1 .平面场在直角坐标系中,设在与解垂直的平面上,电场分量和磁场分量分别有相同的值,即E和

7、3的值与x、y无关,则上述方程(1.1. 9)可以写作如下形式:图2平面电磁场- = 0(1.1.11)z V t或者对于其中的任一分量,用标量方程表示为2E /I 2EV t1L = O , = x,y,z (1. 1.12)引入参量P = z W, q = z + Vt由于她+立为+且z dp z q z dp q:、=今嫣+今)*针针针铲=A +看靖+3p p q z q dp q z Op q p q=+ 2+p1 pq q2 i) . q,、 = 1 + = v(-) t dp t q t dp q2 _d_d_ &_ _a a _ a a_ _a _a_A次厂 pqp q, t 十

8、 %q SP q)dl 一 5 qp qv(7-2+ 2)pq q代入方程(LLI2),得到Ne:O (1.1. 13)其通解为Ej(z,f)=f(p) + g(q) =F(Z - vt) + g(z + vt) (1. 1. 14)磁场分量同样有B, t) = Cf(z vt) + g(z + vt) (1.1. 15)或者写成矢量式,即E (z, t) = F (z vf) + G(z + vt) (1.1.16)B(z,。= CF (z - vt) + G(z, + vf) (1.1.17)设该平面的一般情况下,波场中E和3分别相等的平面可以是任意取向的, 法线为s = sxex + S

9、yey + SZel (1. 1.18)图3平面电磁场则一般的边界条件可以表示为Es = Const. (1.1. 19)和 3 s = Const. (1. 1. 20)在这种情况下,可以将坐标系XyZ旋转得到新的坐标系,并使?轴沿矢量S的方向。此时由于边界条件的要求,E和8的值与、f无关,即2E _d2E2 = d2 = 仍有/*)_工(?八=0 (1.1.21)1 V2 l2形式上与式(LI. 11)完全相同,所以同样得到其通解为E(j) = F(-vt) + G(+vt) (1.1.22)B( t) = F(-vt) + G(+ vt) (1.1. 23)2 .球面场如果电场强度和磁场

10、强度的分布是球面对称的,即它们的数值只与/*有关。在球坐标系中,E (r) = Er(r)er + Er)ee+ E(r)e,可以用标量式表示其分量图4球面电磁场 在球坐标系中寸=5 下(M)+匚/ r cr /- snZ?3 “ 厂、”了 Js( 24)此时E与6, 无美,微分方程(1.1. 9)为i (产生)-y(=Oftr dr v21J1 O ,WE、 n E 1 2E H 正 E l 52E由于一一(厂一)=2 + r 2 ,而2(rE) = 2+ r2r dr dr dr dr ffr dr dr所以有EJJ7 坐 E)=O(L dr v t与式(1.1. 11)有相同的形式,其通

11、解为E(r, t) = -F( vr) + G( + vt) (1. 1.26)FB(r, r)=2F( - vt) + G(0的情形,可以令U l = ,即/ = ()2,记a=2,则有可以将液。中的常数并入E(r)中,而将其记作fS = e3 (1. 1.32)称为电磁波的圆频率或角频率。 而空间部分的方程变为V2E(r)-2E(r) = 0 (1.1.33)这就是HeImholtZ方程的形式。下面将分别求出平面场和球面场中Helmholtz 方程的解。1.平面波在平面场中,利用1.1.3中的结论,可知一般情形下,当电场强度在法线为S =+ syey + szez的平面上有相等的值时,方程

12、的标量形式可以写作dE() _ 1 d2E() = U1 V2 drHelmholtz方程为j,j2l2-2E( (1.1.45) r故球面场中MaXWeII方程的解可以写成ES)= &1评(1.1.46) r或写作矢量式E(ryt) = ei,+ (1.1.47) rB(r) =殳泮3代蜡(1 1 48)说明电磁波沿着r的方向传播。Hkr+0)VE(r) = V-取(1.1.47)式的散度,有.e(=匕w+弧)V 1 + VefaME0r r=ri1,-L + VrE0 = -X +-E(r) = 0要使上式成立,只有, E (,。= O即电场强度与球面法线垂直。与平面波相似,取(1.1.4

13、7)式的旋度VxE = Vx (综/七妙滋)=V=B巴 ) = i0出(r)St可以判断三个矢量/*、E和3是相互正交的。此时如果同样引入矢量k = k-t表示波的传播方向,A= 2二则A、E和5相互正交。r图7球面波的矢量在前面的推导过程中,以假设介质的介电常数和磁化率保持为常数。事实上, 实验研究表明,,和r都随着电磁波的频率如改变,即r = r(), = ,(3),这种现象称为介质的色散。因而,在介质中,是不能推导出关于电 场分量和磁场分量的一般的波动方程的。方程(1.1.6)和(1.1.7)只有在固定不 变的频率下才能够成立。也就是说,上述结论只对单色波才适用。这种以确定频 率振荡的称

14、成为定态电磁波。上述结论就是MaXWen在定态条件下的解。1.2定态光波及其描述在前一节中,通过求解特定边界条件下的MaXWeIl方程组,得到了定态电磁 波的数学表达式,并引入了一些重要的物理概念,下面将着重从物理模型出发, 阐述光波场,尤其是定态光波场的特征。1.2.1 光波场具有时间和空间两重周期性波是振动的传播。振动在空间的传播形成物理量在空间的分布,即为波场。振动和波的共性是都具有周期性。而波的周期性又与振动不完全相同。振动 具有时间周期性,而波同时具有时间和空间的周期性。波场中任一点:具有振动的周期性,该点的物理量经过一定时间后又可以恢 复原来的数值,即具有时间的周期性。这种周期性可

15、以用振动的周期T描述。振 动的频率为v = l;圆频率或角频率为3= 2m,表示在277时间内振动的次数。T-WWWW图8波的时间周期性在任一时刻:波场在空间的分布具有周期性,即物理量在空间周期分布,这种周期性用波长才描述。波长的倒数称为波数,表示单位长度内的周期数,即单位长度内波长的数目,则波矢左=即表示277长度内波的数目。(*)-wwww:图9波的空间周期性从以上的讨论,可以看出,波场具有时间和空间两重周期性。这是所有波动 的共性。所以波的表达式,必须能够同时反映时间和空间的周期性。上述平面电磁波的表达式E(r, t) = Ekrh ,或者E = EOCOS(A r 3。就具有这两重周期

16、性。由于波是振动的传播,所以波的表达式就是要反映出一个振动量随时间和空 间变化的情况,即物理量偏离其平衡位置的程度,以及这一物理量在空间是如何 传播的。一般情况下,平面光波场中电场强度的表达式记作E(r, 0 =其中,kr-t +0o = (r) -t = (r,f)称为波的相位,与时间和空间相关。而。被称作初相位,即初始时刻原点的相位。1.2.2 波的传播波的传播,就是将波场中的振动从点传播到另一点。例如对于定态平面波 E(r,D = Eo*L3+M,就是将其电场强度矢量E (电场分量)的方向和数值从 空间的某一点传播到另一点。在没有吸收等其它损耗的情况下,就是将该物理量 以不变的量值传播。

17、而该物理量的值取决于波场的相位。(九Z),所以振动的传播 其实就是相位的传播。在振动传播过程中,相位保持不变。在Z时刻,空间点,处 的波经过时间Ar后,传播到了空间另一点 = r+Ar,可以表示为E(r,/) E(r r + )图10振动与相位的传播对于平面波,即A (r +r) -(t + Af) +0 = k r-t +)Ar r CUAf = 0K x + KAy + 攵_ Az = r, kx- + k.= r / AfA = 3 ,即AT = 3 , V就是平面波振动传播的速度,称作相速度。对M于沿z方向传播的平面波,相速度V = (1. 2.1) k球面波,由于(P= kr-3f+

18、S,同样可以得到v= 60 即U = k“ + ”表示沿着r方向传播的球面波,即从原点发散的球面波;“一”表示沿 着一厂方向传播的球面波,即向原点汇聚的球面波。光速 V= -Jr0l = c4jc=l-J为真空中的光速。折射率 n = cv = Jrr (1.2.2)实验研究表明,对于绝大多数各向同性的光传播介质而言,可见光几乎不会 引起介质的磁化,也就是说,在光的波长范围内,可以认为光传播介质是“磁真 空”的,因而有, l,所以nr (1.2.3)正是基于这样的原因,研窕光在介质中的行为时,只需要考虑其电场强度, 即电场分量E即可。1.2.3 光波是矢量波光是电磁波,因而是种矢量波,电场分量

19、、磁场分量、波的传播方(波矢), 都是矢量。因而应该用矢量描述光波的物理特征。图Il光是横波光波是横波,在真空和各向同性介质中,电场强度矢量、磁场强度矢量、波 矢是两两正交的。但是,用矢量描述光波,给数学上的计算和推导都带来了许多不便。而事实 上,在多数情况下,光波电矢量在横向是均匀和对称的,因而任意选定一个方向 之后,电矢量在这一方向的特征与其它任何方向没有区别,因而只需要用标量对 波的特征进行描述即可。即使电矢量的分布式非对称的,也通常可以采用正交分 解的方法,得到E =纥4 +工4,对于两个分量纥和纥,都可以用标量表示。 j jf y图12光波振动矢量的正交分解因而,在光学中,用标量方法

20、处理矢量波,是一种常用的手段。当蔡用标量 表达式处理光波时,有时也将研究对象称作“标量波”。电场分量振幅、磁场分量振幅、波长、频率等是标量。1.2.4 光强光的强度即是其平均能流密度的绝对值,就是平均坡印廷矢量的绝对值。例如,对于平面波,利用(1.1.42),得到.D=他询上总而餐从Jg右,3二干,所以CU1N除出=除: COS2 ( rt)dt二帚即/=,产E;=lJ-Ef =反,凡(124)2 WR M1 2办2crtl 2e0故I oc nE (1. 2. 5)如果光只是在同一种介质中传播,通常取I = El (1.2.6)可以用电场分量振幅的平方表示光强。1.2.5定态光波根据1.1中

21、的讨论,定态光波具有如下的性质1 .定态光波具有下述性质的波场为定态波场(1)空间各点的扰动是同频率的简谐振动。(2)波场中各点扰动的振幅不随时间变化,在空间形成一个稳定的振幅分布。满足上述要求的光波应当充满全空间,是无限长的单色波列。但当波列的持 续时间比其扰动周期长得多时,可将其当作无限长波列处理。任何复杂的非单色波都可以分解为一系列单色波的叠加。定态光波不是简谐波,其空间各点的振幅可以不同。2 .定态光波的描述对符合上述条件的定态光波,如果没有偏振性,即其电场分量在各个方向都 是相同的,通常用标量表达式描述,其实是在一个取定的平面内描述定态光波某 一分量的振动。t(P)= A(P)COS

22、 0(P)-=A(P)cosr-0(P) (1.2.7)P表示空间众任一点。则A(P)是振幅的空间分布;(P)是相位的空间分布。均与时间F无关。3 .定态光波按波面分类波面:空间中(P)相同的点所组成的平面或曲面是光波的等相位面,即波面或波阵面。可根据波面的形状将光波分类。相位同的空间点应满足下述方程(相同时刻)(P) = Const. (1.2.8)场点P可以用直角坐标表示为P(X, y, z) = xex+ yey + ze:或者用球坐标表示为P(,;9)对于Ll中从电磁场边界条件所得到的平面波和球面波,具有如下的特性。 (1)平面波:波面是平面。平面波具有下列特征:(a)振幅A(P)为常

23、数; (b)空间相位(P)为直角坐标的线性函数,即(P) = k r + 6 = kxx + kyy + k2z + 0 (1.2.9)常数。为初相位,即时刻/ = O时原点的相位。k = -s,波矢,指向波的传播方向,其数值为角波数,表示277长度内的 久波长数目。波面的条件为O(P)=Const.,即A = CawZ.,为与波矢垂直的一系列平面,故名。波矢的方向角表示:图13波矢的方向表示图14波矢的方向表示在数学中常用方向余弦表示矢量的方向,即用矢量与坐标轴间的夹角表示。波矢的方向可以用方向余弦角表示为(aS,y),其中的三个角度分别是波矢 k与X,匕Z轴的夹角。则波矢可以用矢量式表示为

24、:k = MCoSacr + cos e + cos ez) (1.2.10)在光学中,我们习惯上用上述三个角的余角表示波矢的方向,即a=g-,2 = - , 3 = - / 0 则(3,8263)就是人 与 yoz、XOZ和Xoy三个平面 的夹扁。则上述波矢表示式变为A = Msinqe, + Sinqe, + SinaeJ (1.2. II)空间点P(K X Z)处的相位为(x, MZ) = k(x sin1 y sin2 + Z Sina) +o(1212)由于光学中的探测器或接收屏往往是一个平面,所以通常总是研究波场中一 个平面上的相位。可以取取该平面位于坐标系中Z=O处,则该平面上的

25、相位分布 为图15平面波前上的相位(xt y,0) = kx sinl + y sin2) +0 (1.2.13)如果平面波沿+Z向传播,其波面垂直于Z轴。f时刻轴上某一点Z处波面的 相位为(, z) = kz-OOt +0o o在下一时刻,t, = t + dt,要保持相位不变,该波 面的位置为z = z + dz,则有kz COt +d=网z + dz) CiXr + dt) +仇,即 kdz = (x)dt,波面传播的速度 为V =互S=以,该速度为波面传播的速度,即相位传播的速度, d k 2j称为相速度。如果波面的表达式为(z) = -kz - t +0 , 或者(z) = kz +

26、 t +0o,其相速度为V = = - 2 = -VTV向-Z方向传播。dl k一列平面波在XoZ平面传播,并以6角入射到XOy平面上,则入射波的波 矢为k = k(excos+ e. sin)反射波的波矢为k = Z(e*cos9+ e. sin9)相位分别为(P) = AaCoS9+ z sin 9)和(P) = M-XeoS9+ Z sin 9)(2)球面波:波面是球面球面波有以下两个主要的特征:(a)振幅A(P) -air (1.2.13)振幅与到波源的距离成反比;(b)空间相位是球面对称的(P) = kr +0 (1.2.14)波面(P) =kr+ 0 = Ca?,即厂=常数,代表一

27、个球面。振幅沿传播方 向衰减。球面光是从某光源点源发出的,或是向某一点汇聚的波。图16发散球面波图17汇聚球面波如果波源为0 9,0,0),波前为(p) = kr - 3f+(po,沿任一球面法线方向,有kr cut +o= Hr + dr) (x)(t + dr) +(Po,波面传播速度为V =,为从原点发出的发散球面波。 dt k如波面表达式为O(P) = -kr- t +0,波面传播速度为V =-=dr k为向中心传播的球面波,即向原点汇聚的球面波。例题1.比较从。0, 20)和。0,O)处发出和向(0,0,-Zo)和(0,0,Zo)汇聚(0,0, zo)出发出的球面波在(x , y ,

28、 0)平面上的振动为U+(x, MO) = CoS伏-J/ . / .二;-/ +0o 1x2(0 , 0 , -ZO)出发出的球面波在(x , y, 0)平面上的振动亦为U.(x, XO) = -J-=COS伙-Jx2 J2 2 - 3i +0Jx2 向(0, 0, ZO)点汇聚的球面波为U *+(X, MO) =sT-Jx2 y2 r02 - t +0lx2 2 r02向(0, 0, -Zo)点汇聚的球面波为UIa,yfi) = -f sT-Jx2 y2 -02 - 3t +00Jx2图20图21例2.比较从 4)和(%,%,z0)处发出和向Q0,%, 一 Zo)和 0,%,z0)汇聚的球

29、面波在a,3,,。)平面上的振动表达式。点如果点光源在,为,zo),则发出和汇聚的球面波分别为U(x,y,O) =cosA:(.x-xr (y-r0f0 -t +.J(X-X0) (-y) U(x,y,0) =-cos(.-X0 y ( v- V11 r - +J(X-X0) (,-y) 对于球面波,其在某点的振幅和相位只与该点到源点的距离r有关,而与场 点相对于源点的方位无关,所以在球面波的表达式化简和变换的过程中,应该注 意这一点。4.光波的复振幅描述波动的表达式,即可以用余弦或正弦函数表示,也可以用复指数表示。用复 数表示,则为U(P, t) = A(P )e 土il (p -刈=4尸)

30、eP)e - M(取正指数)定态光波的频率都是相等的,可以不写在表达式中。定态部分,即与时间无 关部分为称为复:振幅。即复振幅为/P)=A(P)e 讶P) (1.2.15)复振幅包含了振幅和相位的空间分布,宜接表示了光波在空间尸点的振动, 或者说复振幅表示了波在空间的分布情况。所以,对于定态光波,凡是需要用振 动描述的地方,都可以用复振幅描述。光波场在P点的强度可以宜接从复振幅求得/(P) =A2(P) = U(P)U(P) (1.2.16)1.2.6有关光波的几个概念L波面:相相位等的空间点构成的曲面,也称波阵面。2 .波前:光波场中的任一曲面。3 .等幅面:振幅相等的空间点构成的曲面。4

31、.共匏波:复振幅互为共聊的波。互为共枕的波,其传播方向应该是相关联的。对于球面 波, . = Jexp间(Xr(I尸(尸Pjm,为从9Go,%, Zo)点发出的波。其共挽波=-exp-ikj( X- x0 )2 (j - J0 )2 (r - 0 )2 则是向(x0,y0,z0)点汇聚的。波矢相反的平面波,其复振幅是定是共挽的,即夕丽和纥夕.互为共驰。 但反过来则不尽然。例如,在XoZ平面中沿9方向传播的平面波,其复振幅在Z=O的波前上表示为 U(x, Mo) = A exp(toin91),共挽波 LT 为 y,0) = A expztoin(-91),则是沿方向传播。图225 .波线与波面

32、垂直的直线,表示波的传播方向。与波矢的方向是相同的。波线就是几何光学中的光线。1.3远场条件、近轴条件图23 图24尽管平面波的表达式非常简单,但在实际中,遇到的往往是球面波。在一个 平面上,例如成像面或者探测器表面,其相位并不相同,而且表达式相当复杂。 往往需要在一定条件下,将球面波近似为平面波处理。1.3.1 轴上物点的近轴条件和远场条件物点在OXrZ坐标平面的原点,接收屏X0与物平面Xoy相距较远, 在接收屏上的任一点P ,有P =产后球面波在接收屏上的振幅为A(P) = E0r = Eq ZI -Jl + (pz )2 = z(l+()2 + -)如 p2z? (1.3. 2)则(pz

33、)2可忽略,有A(P)=E0ZIzI (1.3.2)P2 p2/ (1.3. 3)则 p2zVV 九 即 22zVvH2 = 则 p22z 可以忽略。此 时C(P) = Az (1.3. 4)zp2/ 4为远场条件。满足远场条件时,在接收屏上,球面波的相位可按平面波处理。由于*z,所以由远场条件可得P? Vp为儿 即xV2 Z 和-p2/人 即/y,i- ) (1. 3. 18)Irl,都是平面波的形式。L4波场中的相位与光程1.4. 1光程虽然“光程”这一概念并不是在光的波动理论中最先被提出来的,但是这一 概念却极其重要的。对于平面波,其相位表示为(P) = kr + 6 = kxx + k

34、yy + k2z + 想波矢为 k = 2/T-= 2- (1.4.1) Xo人为真空中的波长,为介质的折射率。以一维为例,设S = O,则(z) = ZZ = nz = ns (1.4.2)o A= 为介质中波的光程,即光走过的路径(路程)与介质的折射率的乘 积。可见相位由光程决定。即在同一时刻,空间中光程相同的点,其相位也相同, 因而振动也相同。或者说,等光程面,就是等相位面,即波面。平面波的反射、折射都可以用光程与波面的关系解释。入射光的波面为AA1,反射光的波面为3。,由于两个波面上的各个点之间 必须保持等光程,于是有而I=砺即Oz =入射角等于反射角。对于折射波而言,要求 IirAA2 = nrAB1 ,即 Zj7ABsin i2 = H1Afisin Z1,即 电 Sin i2 = n1sin l (.平面波通过棱镜或透镜,将发生折射。折射后,方向和波面都会发生改变。 棱镜、透镜的原理都可以从光程的变化进行解释。例如,平面波射入棱镜之前,波面为ABC,射出时,经过的光程为丽, 几BB, 届G ,各不相同,这时的波面,即等相位面必须处于A8Cz的方位, 才能使得丽F= 而瓯=+斥r,从C处入射的光到达另一 侧表面。时,从C点以上X处的A点入射的光应该到达距离另侧表面上的出 射点Al为nr tana的球面上,由于出射后波面倒棱镜

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