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1、牟合方盖曲面的参数方程及其在GeoGebra中的应用张东海（江苏联合职业技术学院无锡旅游商贸分院214045）摘要：阐述牟合方盖曲面的参数方程的推导过程，并据此在GeOGebra软件中绘制三维图形，最后利用二重积分和三重积分分别求出面积和体积以验证其正确性.关键词:GeOGCbra：牟合方盖：参数方程与几何画板等数学绘图工具软件相比，动态数学软件Ge。Gebra的最大特点是实现了数形结合，即代数区的指令表达式和绘图区的几何图形的一一对应.其5.0版新增的3D绘图区用以展现使用方程表示的空间曲线、曲面及其围成的空间几何体的形状.笔者在讲授“旋转体”概念时，尝试运用GeOGebra软件制作了用参数
2、方程表示的柱面、圆锥面和球面，以演示圆柱体、圆锥体和球体的定义.在此基础之上，笔者进一步对抛物面、圆环面、椭球面以及牟合方盖曲面等空间曲面的参数方程进行了研究.本文仅论述牟合方盖曲面的参数方程的推导过程，以及在Ge。Gebra软件中绘制其图形的指令，最后利用二重积分和三重积分分别求出其面积和体积以验证参数方程的正确性.1与牟合方盖有关的部分研究成果牟合方盖，为三国后期魏国数学家刘徽（约225-295年）所命名，指的是正方体两内切直交圆柱的公共部分.古希腊数学家阿基米德（ArChimedeS,前287-前212年）在其名著方法中已研究了其体积.过圆柱下底面圆心和圆柱外切正四棱柱上，底面一边的平面
3、切得圆柱的较小部分，文口称邛汶穿之为马蹄体，给出颇能符JLJ7/合阿基米德原意的另两图1种证明，并给出马蹄体体积推导的一种简洁的平衡法.插图见图1.文中援引了丹麦著名数学史学家措特恩（ZeuthenHG.）的结论：“牟合方盖是由八个底而半径和高均为R的相同马蹄体所组成的.”文2中，将马蹄体称为“弓形体”，并利用定积分计算了其体积，然后对体积求导得出其侧面积.插图见图2.徐小湛教授在用切片法讨论牟合方盖课件中使用定积分计算/牟合方盖的体积，并用MaPIe软件做了相关动画.所作图形之一见图3.显然，上述三张插图的立体感和质感受到绘图技图2图3术的制约.2牟合方盖曲面的方程的推导从图2得到的启发是：
4、用垂直于工轴的平面截此圆柱马端体所得的截面是一组相似直角三角形,a等于截面与半圆面构成的二面角的平面角.对于如图4所示的马蹄体,取过圆心且垂直于底面的平面与圆柱体的底而的交线为，轴，底面上过圆心且垂直于，轴的直线为V轴，建立空间直角坐标系.点Q是半椭圆（即截而与圆柱面的交线）上的任意一点P在zj平面上的射影0为从正Z轴来看自Z轴转到有向线段页的角，逆时针为正角,顺时针为负角.点S是点P在ZOZ平面上的射影，用为从负V轴来看自工轴转到有向线段茄的角.即zO平面转到截面的角，逆时针方向为正角，顺时针方向为负角.设R为圆柱体的半径，则点。的坐标为(Rcos8,Rsin们RcosOtan中).如果将此
5、结论推广到牟合方盖中包含于同一圆柱体的四个底面半径和高都为R的马蹄体的组合体(下文简称牟合方盖L其余部分简称牟合方盖IJ)中，则截面曲线为椭圆(图5).图5图6可以这样认为：变椭圆绕轴旋转形成了牟合方盖I的曲面;变椭圆面绕丁轴旋转形成了牟合方盖I(图6).类似地，可以定义牟合方盖n中。与甲的几何意义，本文不再赘述.据此，我们可以推出以下结论：1 .过Z轴的平面与柱面x2+y2相交得到的椭圆，其参数方程为JC=Rcos们“=_Rsin99z=RcosOtan(p这里OW9W2穴，甲是常数.GeoGebra指令：曲线R*cos(0),_R*sin(0),R*cos(0)*tan(p),们0,2pi
6、.2 .过Z轴的平面与柱面必+产=R2相交得到的椭圆，其参数方程为(j：=JRcosOian平,V=Rsin9z=Rcos9.这里002爪，归是常数.GeoGebra指令：曲线R*cos(0)*tan(Q),R*sin(0),R*cos(涉)，9,0,2pi.3 .柱面/+V=?中的牟合方盖I的曲面X=Rcos彳门的参数方程为Vjy=RSin。，Z=RcosOtancp.这里(Ko2力，W(p与.GeoGebra指令：曲面R*cos(o),R*sin(0),图7图8R*cos(o)*tan(),们(),2pi,p,pi4,pi4.的参数方程为彳y=Rsin们运行结果如图7所示.这里00)J72
7、cos2Osec4)(R2sinOcosOtansec2)2=R4cos20sec4).代入，得2nSi=R21cosOIsec2(pddd)Icos6IA9=R2。女Seer(Pd(PcosOdOsec2d?.fj-f=2R2sin们与tan妇尊=8F,所以，牟合方盖的曲面面积S=2Si=16R2.4 牟合方盖的体积柱而f+y2=R2中的牟合方盖I的体积Vi计算如下：X=FCOS0,3/=rsind,空间有界闭体z=rcos9tan坐标变换V。D=(厂,仇切雅可比式Jy,z)dxd(pdyd(dzd(pdxdxrsin9茹rcos9rsinOtancpdrdddzdzaecos00sin00
8、cosOtancprcossec2所以I=JJIJIcosOIsec2(drd9d(psec2d?,drd9d)，R*Cos(O)*tan(p),0,pi2,pi2,p,O,pi4,运行结果如图10所示.图10图11(2)参数。和P几何意义的演示GeoGebra指令：曲面R*cos(0),R*sin(。),R*cos(.)*tan(p),O,O,4p,条件函数6v0,5,0),条件函数60,0,6.其中，GeoGebra参数数值的区间：最小值(),最大值2pi;参数数值方的区间：最小值一pi4,最大值pi4.运行结果如图11所示.6 结语笔者得出牟合方盖的参数方程，并利用二重积分和三重积分分别求得其曲面积和体积，证明了参数方程的准确性.求体积的方法较之于文3中的二重积分求体积，以及徐小湛教授、莫国良教授使用定积分求体积的方法而言复杂了许多.笔者的初衷是让更多的同行了解参数方程在GeOGebra软件中的应用，并共同致力于对该软件的研究和使用.参考文献1汪晓勤.关于阿基米德合盖体积公式的注记J.曲阜师范大学学报,2000,26(4).C2英国良.从面积与体积的关系理解导数与积分之间的关系J.高等数学研究,2003,6(4).3同济大学数学系.高等数学(第6版)下册M.北京：高等教育出版社,2007=143-144.
