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1、考点10平面向量的概念和运算【玩前必备I1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量屈的大小叫做向量的长度(或模)，记作丽(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上.规定：。与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.(6)相反向量:与向量。长度相等且方向相反的向量叫做。的相反向量.规定零向量的相反向量仍是零向量.2.向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的
2、加法.(2)法则：三角形法则；平行四边形法则.三角形法则平行四边形法则(3)运算律：+b=b+;(+b)+c=+(b+c)3.向量的减法(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.(2)法则：三角形法则.(3)运算律：ab=+(b)4 .向量的数乘(1)实数2与向量。的积是一个向量，记作痴，它的长度与方向规定如下:a=a,当Z0时，痴与”的方向相同；当NvO时，痴与。的方向相反；当2=0时，痴=0.(2)运算律：设2、juR,则:(a)=()a;(A)=2ju;+b)=2+动.5 .向量共线的判定定理是一个非零向量，若存在一个实数九使得b=痴，则向量与非零向量。共线.6 .平面向量基本定理
3、如果ei,62是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量。，存在唯对实数由、22,使a=e+2e2.我们把不共线的向量e”62叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.一个平面向量。能用一组基底的，62表示，即=ie+%2e2则称它为向量的分解。当ei，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。7 .平面向量的坐标运算(1)设Aa1,力)，B(X2,”)，则B=(m-%i,y2-y)诵I=4S汨A+yM(2)设G=(X1，y),b=g2)，则+b=C+i2,力+”)，ab=(xi-2f一工)，(3)若=(1,-2),若m+泌=(9,-8)(w,九gR),则用一的值为.题型四平面向量共线
4、定理例9(新课标H理)设向量,b不平行，向量痴+b与+2b平行，则实数2=.例10(2020上饶-模)己知力是不共线的向量，OA=a+b,OB=2a-h,OC=a-2b,若A、B、C三点共线，则;I、满足()A.=3B.=/+3C.=+2D.=-2.例11(2016全国)平面向量=(x,3)与=(2,y)平行的充分必要条件是()A.,=0y=OB.=-3,y=-2C.xy=6D.y=-6例12(2018全国In)已知向量0=(l,2),b=(l,O),c=(3,4).若2为实数，(+劝)C则为=()A.IB.IC.1D.2玩转练习1 .对于非零向量G,b,“。+26=0”是“ab”的（）A.充
5、分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 .己知向量矗=+3b,比=5+3方，CD=3a+3bf贝J（）A.AfB,C三点共线B.4,B,。三点共线C.A,C,。三点共线D.B,C,。三点共线3 .如图,在正方形A88中，点E是。C的中点,点尸是BC上的一个靠近点B的三等分点,那么辞等于()ABB.%8+%OD.A-AD4 .如图，已知AB是圆O的直径，点C,是半圆弧的两个三等分点，AB=a,Ab=则病等于()A.ajbB4一C.+/D.%+力5.已知M(3,-2),NL5,一1),且加=3萌V,则尸点的坐标为(A.(-8,1)B-|)(8 a6 .(2020.山西
6、榆社中学诊断)若向量A8=QC=(2,0),40=(1/)，贝必C+8C等于()A.(3,1)B.(4,2)C.(5,3)D.(4,3)7 .(2020.海南联考)设向量Q=(x,-4),b=(l,-x),若向量。与b同向，则X等于()A.-2B.2C.2D.O8 .已知平面直角坐标系内的两个向量=(l,2),b=(m,3?-2),且平面内的任一向量C都可以唯一的表示成c=2+b(2,为实数)，则实数机的取值范围是()A.(一8,2)B.(2,)C.(一8,oo)D.(一8,2)U(2,+)9 .在平面直角坐标系Xoy中，已知41,0)，8(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点，NAoC=；
7、,且Ioq=2,若诙=5+5h,则2+等于()A.22B.2C.2D.4210 .(2020蚌埠期中)已知向量机=GinA,，与向量=(3,SinA+5cosA)共线，其中A是aABC的内角,则角A的大小为(),兀C兀C兀C兀A%BqC.jD.g11 .若三点A(l,-5),B(a,2),CL2,1)共线，则实数的值为.12 .设向量如。满足=2小，b=(2A)t且。与的方向相反，则。的坐标为考点11平面向量数量积玩前必备1.两个向量的夹角已知两个非零向量。和b,作后=。，OB=b,N4。B=J(0。J180。)叫作向量Q与b的夹角，记作.当。=0。时，。与b同向；当9=180。时，与力反向；
8、当9=90。时，则称向量与方垂直，记作a_LA2.平面向量的数量积已知两个向量。和从它们的夹角为仇我们把IaiIMeoSe叫作Q与口的数量积(或内积),记作。瓦BPab=IallbICOS.3 .平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度同与b在方向上的射影IbICoS的乘积或b的长度IbI与。在b方向上的射影cos的乘积.注意：力在。方向上的投影为固cos，=喘，而。在b方向上的投影为cos，=喘，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.4 .平面向量数量积的重要性质()ad.ba-b=O；(2)当。和同向时，ab=ab当“和力反向时，ab=-ah;特别地，aa=2,a=yaa
9、abCoSo=丽；5 .平面向量数量积的坐标运算设两个非零向量,b,a=(xtj),b=(x2fJ2)(l)Z=xx2y1y2.(2)2=x2+y2E=x2+y2.(3)LbOxlx2+w2=O小ZJX1X2+)D2csy2+y222+3j22玩转典例题型一平面向量数量积的计算例1（2020兖州区模拟）等腰直角三角形AAC中，ZACB=-,AC=BC=2,点P是斜边4?上一点，2且BP=2E4,那么CPCA+CP.CB=（）A.-4B.-2C.2D.4例2（2020上海）三角形ABC中，。是BC中点，Ae=2,BC=3,AC=4,贝J4O48=.例3（2019新课标11）已知A8=（2,3）,
10、AC=（3j）,BC=1,则AB8C=（）A.一3B.-2C.2D.3例4（2018新课标II）已知向量d,方满足IaI=1,a.b=-,则”（2。一力）=（）A.4B.3C.2D.0题型二利用数量积求模长例5（2020香坊区模拟）已知单位向量的夹角为6,且tan。=，若向量旭=耳-36,则|”|=（2）A.2B.GC.26D.应或向例6（2020江西省南昌市第十中学校高三模拟（理）设x,yR,向量4=（乂1）,6=（2,丁），。=（-2,2）,且J_C,bllC，则卜+司=.题型三利用数量积求夹角例7（2020临汾模拟）已知夹角为6的向量。，力满足43+b）=2,且=2b=2,则向量，b的关
11、系是（）A.互相垂直B.方向相同C.方向相反D.成120。角例8（2020江西省南昌市新建二中高三二模（理）己知向量，方满足W=I=（1,6）,若4（叫=2,则Q与的夹角为.题型四利用数量积求解垂直问题例9（2020河南省鹤壁市高级中学高三二模）已知非零向量Q,8满足Ial=区则*+24=|2。一可是a_Lb”的(D.既不充分也不必要条件解:A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件例10（2020吉林省高三二模（理）己知。=（1,3）,=（22）,。=（,一1）,若（-c）Lb,则等于（）A.3B.4C.5D.6题型五利用数量积求射影例11（湖北，7）已知点4一1,1）,B（L2）,C
12、（2,-1）,0（3,4）,则向量法在诙方向上的投影为（）ah/ZR妪r_3Z_妪f?D.）-2L*）玩转练习1. （2020新建区校级模拟）如图，在ABC中，AD1AB,DC=3BD,AD=2f则AC4。的值为（）A.3B.8C.12D.162. （2020内蒙古模拟）已知向量d+5=（l,2）,-C=（-3,0）,则4仍=（）A.1B.-1C.3D.-33. （2020随州模拟）已知向量,方满足IaRa-8|=2,向量b在向量4方向上的投影为3,则向量。与向量b的夹角为（）A.30oB.45oC.60oD.904. （2020湘潭一模）在平行四边形ABcD中，Z4D=60o,AB=3AD,
13、E为线段CZ）的中点,若AEA8=6,则ACBO=（）A.-4B.-6C.-8D.-95. （2020齐齐哈尔一模）已知两个单位向量K,5的夹角为120o,c=ta+（t-）b.若济？=1.则实数，的值为（）A.1B.-1C.2D.-26. （2020福州一模）已知两个单位向量电，若（。-26），4，则q,/的夹角为（7. （202。湖南省长沙市明达中学高三二模（理）已知向量和b的夹角为（，且H=2,N=3,则（2a-b）（a+2b）=（）A.-10B.-7C.-4D.-18. （2020江西省名高三第二次大联考（理）若忖=1,w=2,则卜+囚的取值范围是（）A.1,9B.（1,9）C.1,3
14、D.（1,3）9. （2020黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（理）己知在边长为3的等边A5C中，BD=-DCt则2ADAC=（）A.6B.9C.12D.-610. （2020河南省实验中学高三二测（理）若=3,b=2,+2q=J方，则与的夹角为11. （2020北京市西城区高三一模）若向量=（2”=（1，力满足bE_L平ABCD,8尸=0E,M为棱AE的中点.（1）求证：平面8。M平面ER7；玩转练习1. （2019全国II理7）设/6为两个平面，则。6的充要条件是A.内有无数条直线与6平行B.内有两条相交直线与6平行C.%6平行于同一条直线D.,6垂直于同一平面2 .（2018浙江）已知平面Q
15、,直线机，满足m=玩转典例题型一线面垂直的判定与性质例1(2020湖北模拟)如图,A8为。O的直径,雨垂直于G)O所在的平面,M为圆周上任意一点,ANLPM,N为垂足.(1)求证：ANj_平面PBM.(2)若4Q_LP8,垂足为Q,求证NQ_LPA例2(2019北京)如图，在四棱锥P-4H8中，PAsfABCD,底面AAa)为菱形，E为CO的中点.(I)求证：8O_L平面RAC；(II)若NABC=60。，求证：平面23J_平面RAE；题型二平面与平面垂直的判定与性质例3（2020梅河口市校级模拟）如图，在四棱锥P-ACr中，PDj_平面ABer）,AB/CD,ABLBCAB=BC=4,CD=
16、2CE=2.（1）证明：平面BDJ_平面尸OE；例4（2020咸阳二模）如图，在直角梯形AB8中，AB/IDC,ZAeC=90。，AB=2DC=2BC,E为AB的中点，沿DE将ADE折起，使得点A到点P位置，且PEtEB,M为PB的中点，N是BC上的动点（与点3,C不重合）.（1）求证：平面EMV，平面PBC；玩转练习1 .(天津，17)如图,已知AAl，平面4BC,BBi/AA,AB=AC=3,BC=25,AAI=巾,BBi=2巾，点石和尸分别为BC和AIC的中点.(1)求证：E/7平面4BB4；(2)求证：平面AE4J平面BCBi;2 .(山东，18)如图，四棱锥附88中，AP_L平面PC
17、O,ADBC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AO,PC的中点.(1)求证：AP75FffiBEF；(2)求证：BEJ_平面以C3 .(2016北京，18)如图，在四棱锥BCO中，Pe_L平面ABCO,ABDC,DCLAC.(1)求证：Z)CJ平面C;求证：平面而8_L平面MC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F,使得以平面CEF?说明理由.4 .(2019江苏16)如图，在直三棱柱A8C48ICI中，D,E分别为8C,AC的中点，AB=BC.求证：(1)AlBl平面OEC1；(2)BElCiE.5.(2015重庆)如图，三棱锥P-ABC中，平面C,平面A3C,ZABC=-,点
18、。、E在线段AC上,2且Z）=OE=EC=2,PQ=PC=4,点/在线段48上，且EF/BC.(I)证明：AB_L平面qE.6. (2019新课标In)图1是由矩形4)E8,RtABC和菱形BPGC组成的一个平面图形，其中AB=I,BE=BF=2,NFBC=600.将其沿A8,AC折起使得随与M重合，连结。G,如图2.图1图2(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABCJ_平面ACGE;7. （2018江苏）在平行六面体A3CDA与GA中，AA.=AB,AB1B,C1.求证：(i) 44/平面Age；平面A88A _L平面ABC8. (2018新课标川)如图，矩形AeC。所在平面与
19、半圆弧CO所在平面垂直，M是8上异于C,。的点.(1)证明：平面AWz)_L平面HWC；(2)在线段上是否存在点P,使得MC/平面280?说明理由.9. (2018新课标I)如图，在平行四边形ABCM中，A=AC=3,NAC例=90。，以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点。的位置，且A8_LD4.(1)证明：平面Aa)J_平面A8C；B10. （2020福建省泉州市高三质检（理）如图，四棱锥P-ABa的底面是正方形，Q4_L平面A8CQ,AElPD-（1）证明：AE_L平面PC。：11. （2020北京市西城区高三一模）如图，在四棱柱ABCO-Agca中，AA1J_平面ABa）,底面A8CD
20、满足AD8C,且AB=AD=A41=2,BD=DC=2&（团）求证:AB_L平面ADDlAi；12. （2020吉林省高三二模（理）如图，已知三棱柱ABC-AgCl中，.ABC与.8乃。是全等的等边三角形.(1)求证：BCAB1；考点15直线、平面所成的角玩前必备I1.两条异面直线所成角的求法设o,b分别是两异面直线小/2的方向向量，则/1与/2所成的角8a与b的夹角范围(0，0，11求法Z1ab。Sflabcos1乘12.直线与平面所成角的求法设直线/的方向向量为。，平面的法向量为，直线/与平面所成的角为仇。与的夹角为,则Sine8SS而3.求二面角的大小(1)如图，AB,C。是二面角a/一
21、4的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小6=A,CD).(2)如图，小，股分别是二面角。一/一的两个半平面a,4的法向量，则二面角的大小。满足ICoS4=IcosI，二面角的平面角大小是向量与2的夹角(或其补角).玩转典例题型一求异面直线所成的角例1(2020北京市平谷区高三一模)如图，在四棱锥P-ABe0中，RlJ_平面A8CD,底面ABCo是菱形，A8=2,ZBAD=GOq.求证：8。_1_平面布&(2)若%=A8,求P8与AC所成角的余弦值.例2（2018江苏）如图，在正三棱柱ABCAIqG中，AB=AAi=2,点P,Q分别为Ag,8C的中点.求异面直线8P与AG所成角的余弦值;题型
22、二求直线与平面所成的角例3（2020安徽省淮北市高三一模（理）在直角梯形ABCD（如图1）,NABC=90，BC/AD,AO=8,AB=BC=4,M为线段A。中点.将aA8C沿AC折起，使平面48C_L平面AC。，得到儿何体B-ACD（如图2）.（1）求证：CZ）_L平面48C；（2）求AB与平面8。W所成角。的正弦值.例4（2019日照模拟）在三棱柱A8C-A5G中，侧面A88A为矩形，A8=2,A=22,。是AA的中点，8。与ABl交于点。，且Coi.平面ABBIA.（1）证明：BClAfii;（2）若OC=OA,求直线。与平面ABC所成角的正弦值.题型三求二面角例5（2020福建省泉州市
23、高三质检（理）如图，四棱锥尸ABCO的底面是正方形，?A_L平面A5CO,AELPD.（1）证明：AE_L平面PC。：（2）若AP=A8，求二面角B-PC-。的余弦值.例6（2020陕西省高三教学质量检测（理）如图，已知四棱锥尸ABCD的底面为直角梯形，ZADC为直角，A?_L平面A5CO,BC:AD:CD=5:4:2,且CD=LIi(1)求证：BPLACx(2)若AP=Cr),求二面角。一pc-3的余弦值.玩转练习1.【2017课标II,理10】已知直三棱柱ABC-ABG中，ZABC=120,AB=2,BC=CC1=L则异面直线ABl与BG所成角的余弦值为OA.3B.巫C.叵D.昱25532
24、. (2019全国I理18)如图，直四棱柱A8CD-4BIClDI的底面是菱形，AAI=4,48=2,ZBAD=60o,E,M,N分别是8C,BB1,ND的中点.(1)证明：MN平面ClDE；(2)求二面角4M4-N的正弦值.3. （2019北京理16）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L平面4BCD,ADVCD,ADPBC,PA=AD=CD=I9BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且竺=.PC3(I)求证：COJ_平面尸40；(II)求二面角尸一隹一尸的余弦值；（III）设点G在P8上，且二2判断直线4G是否在平面AEF内，说明理由.PB34. （2019浙江19）如图，已知三棱柱ABC-A&G,平面AACel，平面A3C,NA3C=90,/BAC=30,AA=AiC=AC,EyF分别是AC,AiBi的中点
