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1、导数题型分类（八）题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则vf(x+x)-f(x)(一)导数的定义：函数y=f(x)在XO处的瞬时变化率Iim丝=Iim-：”称r0o为函数y=f()在X=XO处的导数.记作/(与)或ym0，即7() = Ar 0/(Xo+)-(%)x如果函数y=F(X)在开区间(,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(,b),都对应着一个确定的导数fix),从而构成了一个新的函数称这个函数f(x)为函数y=(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y,即/5)=(=/。)。例L函数y=(x咫=。处的导数为A,求im+4+5nr0i例2.求y=在点=3处的导数。
2、Jr+3(二)常见基本初等函数的导数公式和运算法则：C=O(C为常数)；(x)=nxt,?TV+；(SinX)=cosx;(cosx)=sinx;(eA)=ex;(ax)=axnai(Inx)=;(logx)=logexaxa法则1：u(x)v(x)=W(x)v(x)法则2：w(x)v(x)=w(x)v(x)+w(x)v(x)法则3：幺H=(X)U(X)一)1(X)3()O)v(x)v2(x)(理)复合函数的求导:若y=/Q),=奴),则乂=/()e(X)如，(gy=；(Sinex)=f公式(一)=LT的特例：(X)=:!)=,(4)=.题型二：利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义：函数
3、y=/(幻在/处的导数是曲线y=/(x)(0,/(0)处的切线的斜率.因此，如果/(%)存在，则曲线y=(幻在点(,/)处的切线方程为例L若函数F(X)满足，.元2一乂则/的值例2.设曲线片*在点(U)处的切线与直线v+2y+=o垂直，则=.练习题1 .曲线y=4-d在点(T3)处的切线方程是y=-22 .若曲线/(X)=/-X在P点处的切线平行于直线版-=0,则P点的坐标为(1,0)3 .若曲线y=/的一条切线/与直线1+4y-8=0垂直，则/的方程为4x-y-3=04 .求下列直线的方程：(注意解的个数)(1)曲线=4+/+1在p(,D处的切线；(2)曲线)=过点p(3,5)的切线；解.(
4、)点P(-l,1)在曲线y=X3+*2+上，.y/-3,v2+2xk=yzx.-=32=1所以切线方程为NT=】，-y+2=0(2)显然点P(3,5)不在曲线上，所以可设切点为4知九)，则九=蜡又函数的导数为L=2%,所以过A(%yo)点的切线的斜率为“=ym%=23,又切线过A(W)。)、P(3,5)点，所以有20=卜0=1或修=5与-3，由联立方程组得，I%=Ilo=25,即切点为(1,1)时，切线斜率为勺=2%=2;；当切点为(5,25)时，切线斜率为e=2与=10；所以所求的切线有两条，方程分别为y_1=2(x-1)两，-25三l(11x-5),即)，=2-1-三IOa-255 .设P
5、为曲线Cy=f+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0,争，则点P横坐标的取值范围为()A.-1,-JB.-1,OJC.10JD.gI6 .下列函数中，在(0,+8)上为增函数的是()A.y=sinxB.y=xexC.y=x3-xD.y=ln(l+x)-x7 .设f(x),g(x)是R上的可导函数，/(x),g(x)分别为f(x),g(x)的导数，且f,(x)g(x)+f(x)g,(x)f(b)g(x)B.f(x)g(x)f(b)g(b)C.f(x)g(a)f(a)g(x)D.f(x)g(x)f(b)g(a)题型三：利用导数研究函数的单调性1设函数y=(x)在某个区间(a,b
6、)内有导数，如果在这个区间内,则y=(%)在这个区间内单调递增；如果在这个区间内,则y=/(元)是这个区间内单调递减.2 .求函数的单调区间的方法：(1)求导数y=f(x);(2)解方程U()=O;(3)使不等式f(x)0成立的区间就是递增区间，使f(x)0)的单调递增区间是一3 .已知函数/(x)=产一以+1在R上单调递增,则a的取值范围是.题型四：利用导数研究函数的极值、最值。1 .F(X)=丁-3d+2在区间-U上的最大值是22 .已知函数I)=。-。)?祗=2处有极大值，则常数C=65.已知函数/(此=/+以2+(。+ 6)戈+ 1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(A.-la2B
7、.a6 C.-3a2作业和练习：1.已知函数F(X)=X2-2水+。在区间(一8,1)上有最小值，则函数g(x)=1在区间(LX+8)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数3 .已知函数/(X)=Gj+版2-3X在工=1处取得极值，求过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求该切线的方程.4 .己知函数/(x)=XInX(1)求f(x)的最小值(2)若对所有xl都有f(x)a-l,求a的取值范围.5 .已知函数f(x)=x2-lnx,其中a为大于零的常数.2a(1)当a=l时，求函数f(x)的单调区间和极值(2)当x1,2时，不等式/(幻2恒成立，求a的取值范围.5,已
8、知函数/*)=V+Gj+瓜+G过曲线y=f(x)上的点P(IJ)的切线方程为y=3+(I)若函数/(幻祗=一2处有极值，求/3的表达式；（三）在()的条件下，求函数)=/()在3,1上的最大值；(11d若函数y=)在区间2,1上单调递增，求实数b的取值范围解.由/(x)=丁+OK?+H+.求导数得r(X)=3/+20r+b.过y=/(X)上点P(IJ(I)的切线方程为：y-/(1)=,(ix-1),即y(+6+c+1)=(3+2+b)(x-1).而过y=/)上AL/的切线方程为y=3.3+24+h=3an(2a+b=0i即故3c=-3vy=/(x)x=一2时有极值,故广(-2)=O,.-4。+
9、方=一12由得a=2,b=-4,c=5/U)=x3+2-4x+5.fM=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2).2-3xv-2W,rtx)0;当一2x一时,/(x)0;当32当；，/(x)极大=/(2)=13r_.f(3又J_4,一J(X)在_3,1上最大值是3。(3) y=f(x)在一2,1上单调递增，又r(x)=32+2ax+b,由知2a+b=0。依题意广在一2,1上恒有/20,即32-辰+b0.x=M(x)min=,(1)=3-b+b0ib6当6.X=-2f%)min=/(2)=12+2匕+80,.b。当6；-21时,/(x)min=0,则0z,6.当b12综上所述，参数b的取值范围是
10、1，+00)6.已知三次函数/(x)=3+r2+”r+c在x=l和X=T时取极值，且f(-2)=T.（1）求函数y=幻的表达式;(2)求函数y=)的单调区间和极值；(3)若函数8(尤)=/3_6)+4，()在区间即一3，网上的值域为-4，16,试求加、应满足的条件.解：r*)=3d+20r+由题意得，LT是3f+2r+匕=的两个根，解得，=0,6=-3.再由f(-2)=4可得c=-2./()=-3x-2(2),(x)=3x2-3=3(x+l)(x-l)j当.当X=-I时，f()=.当一lxvl时，f)时，r).函数/W在区间(,上是增函数；在区间T上是减函数；在区间必+8)上是增函数函数/(X
11、)的极大值是/(T)=O,极小值是了=Y.(3)函数g(x)的图象是由八外的图象向右平移?个单位，向上平移4?个单位得到的，所以，函数F3在区间-3，一洞上的值域为-4-4肛16-4词(心0)而/(-3)=-20,.-4zn=-20,即z=4.于是，函数/(%)在区间一上-4上的值域为-20,0.令/(x)=得X=T或x=2.由/3的单调性知，T加-42,即3加6综上所述，加、应满足的条件是：机=4,且3领k67.已知函数/(x)=x-lnx,g()=-上?，(R).X(II)设函数MO=)-g(x),求函数为(X)的单调区间;(HI)若在l,e上存在一点/,使得/(0)四，即a-1时，在(0
12、,1*a)hCx)0,所以h(x)在(0,1*a)上单调递减，在(1+a+8)上单调通增；(7分)当1*a(0,即al时，在(0,*oo)h,Cx)0,所以，函数Mx)在(0,+8)上单调递增.(8分)(III)(1，e上存在1点)，使律f()g()成立，即1 +a总2+1由h(e)=e+-a,ee-1e2+1因为-e-1,e-1e2+i所以a-;(10分)e-1当1+a3即a0时,h(x)在1,即上单调递增,所以h(x)最小值为h(1),由h(1)=1+1+a。可得a2；(当11+ae,即0ae-1时，可得h(x)最小值为h(1+a)因为。ln(1+a)1,所以，0aln(1+a)2此时，h
13、(1+a)-1或a-8=相切，切点横坐标为2,且/()在=处取极值,求实数方的值；(2)当b=l时，试证明：不论a取何实数，函数/*)总有两个不同的极值点.解：r(x)=32-2(+b)x+4b.由题意r(2)=5,(l)=0,代入上式,解之得：a=l,b=l.(2)当b=时，4/。)=0得方程3/2(。+1口+。=0.因A=4(/_+1)0,故方程有两个不同实根x1,x2不妨设为，由/(%)=3(X-再XX-X2)可判断/O)的符号如下：当x0；当用/了2时，Fa)o因此内是极大值点，/是极小值点.，当b=l时，不论a取何实数，函数A总有两个不同的极值点。题型五：利用导数研究函数的图象1.如
14、右图：是f(X)的导函数，/(X)的图象如右图所示，则f(X)的图象只可能是(D)3,方程2/-6/+7=在(0,2)内根的个数为(B)A、0B1C、2D、3题型六：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围f(x)=-X3+2ax1-3a2x+/?,0a.1.设函数3(1)求函数/O)的单调区间、极值.(2)若当xw+L+2时，恒有Ir(X)I,试确定a的取值范围.解：（1）/（/）=一/+40-3/=-*一3。）（工一。），令r*）=0得X=。，工2=3列表如下：X（-8,a)a(a,3a)3a(3a,+8)f,M-0+0-f(x)极小极大.(x)在3,3a)上单调递增，在(-,a)和(3
15、a,+)上单调递减1.时，F极小(X)=O一%，=3时，为小(Mo(2) /O)=-/+4-J.对称轴x=2o+l,/(外在a+l,a+2上单调递减.fk=-S+D2+1)-3/=2-1AM=-(a+2)2+4a(+2)3=4a-4，依题Ir(MOI%区,IAnIVa即12a-l,4a-4Q-a-,1)解得5,又vl，a的取值范围是522.已知函数f(x)=x3+ax2bxc在x=-3与=时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(X)的单调区间(2)若对x(-1,2),不等式f(X)2恒成立，求C的取值范围。解：(1)f(x)=x3ax2bxc,f(x)=3x22axb2124._1ab=O由F
16、(3)=93,P(I)=3+2a+b=0得a=2,b=2P(X)=3x2-2=(3x+2)(-l),函数f(x)的单调区间如下表：X2(-00,-3)2-32(一3,1)1(1,+oo)f,(x)00+f（X）极大值极小值22所以函数f（）的递增区间是（一8,3）与（1,+oo）,递减区间是（一3,1）_L2乌(2)f(x)=x3-22-2xc,x(1,2),当x=3时，f()=27-c为极大值，而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值。要使f(x)f(2)=2c,解得c2题型七：利用导数研究方程的根_31.已知平面向量。二(百，一1).二(5,2).(1)若存在不同时为零的实数k和t,
17、使X=+(t2-3)b,y=-ka+lbfKj_,试求函数关系式k=f(t)；(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=O的解的情况.解：(1)4_1九.x)=0即Q+(t2-3)b(-k+t)=O.2-.2整理后得-k。+t-k(t2-3)a。+(t2-3)h=01.2.2.8=0,a=4,b-=,，上式化为一4k+t(t2-3)=0,BPk=4t(t2-3)J_(2)讨论方程了162-3)-15或kV5时,方程f(t)-k=o有且只有一解；1.当k=5或k=5时,方程f(t)-k=o有两解；(3)当一515时,方程(1:)1=0有三解.2.已知函数F(X)=左丁一3伏+I)X2-
18、2公+4,若子(幻的单调减区间为(0,4)(I)求攵的值；（三）若对任意的fTJ,关于X的方程2/+5x+=f(f)总有实数解，求实数。的取值范围。解：(I)r(x)=3&-6(3+1又/(4)=0,.女=14分(11)=3r-12z-lr0;0r1时/(1)0QG且/(-1)=-5,/(1)=-3,./(r)-52x2+5x+a8Sci25az.fc.15.5角其得12分88题型八：导数与不等式的综合1 .设”0，函数)=丁-处在l,+)上是单调函数.(1)求实数。的取值范围；(2)设且F(F(Xo)=Xo,求证：F(Xo)=Xo.解:(1)v=r)=3-,若/co在口)上是单调递减函数，则
19、须y31,这样的实数a不存在.故/(X)在巾)上不可能是单调递减函数.若F(X)在上是单调递增函数，则。3,由于XWl,+)故323从而0a3(2)方法1、可知,(X)在1”)上只能为单调增函数.若/(/),则/(/)/(/(/)=Xo矛盾，若IWf(Xo)则x。)V“X。1即/V/(/)矛盾，故只有F(Xo)=XO成立.方法2：设/(/)=M，则/()=%,.只一=,/一=%,两式相减得(x-U3)-a(x0-u)=u-x0.(x0-wx+x0u+u2+-a)=0,vx01心.,.Xq+x0m+u23,又OO9C3/(x)=(x2+-)(x+)2 .已知为实数，函数2(1)若函数A的图象上有
20、与X轴平行的切线，求。的取值范围若尸(T)二,(【)求函数/O)的单调区间x%(-i0)lU)-U2)4(II)证明对任意的王、r2et1,u不等式16恒成立/(x)=x3+ax2+-x+-a:.f(x)=32+2cx+解：22,23 = 42-43-O2,-l) = Oj 322z x.l由r(x)0,xT 或 X 2 (0/(幻的单调递增区间是 易知/(X)的最大值为D-/()在-1,0上的最大值A对任意石W(T),恒彳 3.已知函数/(无)= InX0a2 -(-oo,-2-2, + 0o2,所以的取值范围是229C 931=0 = /. ,(x) = 3x2 +x+-= 3(x+-)(
21、+1),()0,-1x-；由2o,-l),(-1 oo)(-l,-2；单调减区间为2二，.的极小值为“等吟,又号,27498 ,最小值 1627 49 5lU)-2)l-n =导8 16 16函数/(x)的图象有与X轴平行的切线，/(X) = C)有实数解(1)当。0时，判断/(x)在定义域上的单调性;3若/(x)在l,e上的最小值是,求。的值；(3)设g(x)=lnx-a,若g(%)/在(0,句上恒成立，求。的取值范围.题型九：导数在实际中的应用1.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为Im的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心力的距禽为多少
22、时，帐篷的体积最大？解：设OOl为X加，则lvx4由题设可得正六棱锥底面边长为：732-(-O2=8+2-x2(单位:加)6-(C-；7.2(8+2x-x2)2故底面正六边形的面积为：4VX+2x-x)=2,(单位：6-)V(X)=(8+2xX2)(x1)+1=-(16+12x-x3)3帐篷的体积为：232(单位：川)V(x)=(12-3x2)求导得2o令V(X)=0,解得尤=-2(不合题意，舍去)，x=2t当l0,VG)为增函数;当2vxv4时，V(X)VO,V3为减函数。.当x=2时，V(X)最大。答：当OOl为2机时，帐篷的体积最大，最大体积为166加;2.统计表明，某种型号的汽车在匀速
23、行驶中每小时的耗油量丁(升)关于行驶速度X(千米/13y=%3-x+8(0x120).小时)的函数解析式可以表示为：12800080已知甲、乙两地相距100千米。(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(ID当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？叽2.5解：(I)当=4时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时，I3(403-40+8)2.5=17.5(升)。要耗没12800080100(II)当速度为X千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了1小时，设耗油量为久幻升,“、/133。、1001280015小(x)=(X+8).=H(0X120),
24、依题意得12800080X1280x4Yhx) =640800Xx3-803640x2(00,力(幻是增函数。.当X=80时，7(x)取到极小值(80)=11.25.因为(X)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。题型十：导数与向量的结合=(二)出=(L与1.设平面向量2222若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k,使x=a-(t2-k)b,y=sa+tbJSx-Ly,(1)求函数关系式S=/O)；(2)若函数S = /)在1，+ 8)上是单调函数，求k的取值范围。又工_1)，,1)=0,得4+(*-sa+tb)=0,即-sa+KZ2k)b-(.t-st2+Sk)Cl=Oo.,.-S+Ct2-k)t=0,故S=f(t)=F-kt3/一Z()=欠3/。因为在tel”)上3产是增函数，所以不存在k,使人之3/在1,”)上恒成立。故k的取值范围是女43。
