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1、数列通项与求和常见方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式斯;(2)利用前项和与通项的关系出=CCI，一n2;(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如为+一%=/()，累积法，如誓=逃)；(5)转化法：+=Aa+B(AO,且Al).2、求和常用的方法：(1)公式法:(+)n(n-l)!-=nal+dnaxq=)SLMIT)(小)-q(2)裂项求和:将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项:n(n+k)knn+k11Iz111111111=(-);=l=-又=2,2.i2
2、34nain3题型3“+=P/+q（其中p，q均为常数，且Pg（P-I）W0）。解法（待定系数法）：转化为：an+l-t=p（an-t）,其中/=一”，再利用换元法转化为等比数列求解。I-P【例3】已知数列%中，a1=1,an+l=2an+3,求明。解：设递推公式。T=24+3可以转化为an+l-t=2（。.T）即=2/T=P=-3.故递推公式为4+3=2（凡+3）,令勿=凡+3,则仇=6+3=4,且媪=加口=2.所以也,是以仇=4为首项，2为公bn4+3比的等比数列，则2=42”=2间,所以勺=2向一3.题型4=%+/（其中p,q均为常数，且网（P-D（D0）（或。“+1=P4+f,其中p，
3、q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qi,得：=N+L引入辅助数列也其中2二&）,得：=2+工再待定系数法解决。qq【例4】已知数列%中，ai=-,all+l=-afl+(-Y+lt求明。632解：在4=严两边乘以2日得：2,+,+i=(2h)+122令2=2”%，则%=曰“+1,解之得：=3-2(一)所以喙=3(；)-2(上题型5递推公式为S与%的关系式。(或s“=/&)解法：这种类型一般利用/=:c/:与=S,-S,-=/4)/(%)消去S”52)5-ST(n2)或与S11=f(Sn-S“t)52)消去册进行求解。【例5】已知数列%前n项和S”=4一。一产.(I)求凡
4、川与明的关系；(2)求通项公式*.解：(1)由5=4-。“一Jy得：Stl+l=4-aw+1-r于是sn+-sn=一+)(一3)的、I111所以%+=-a+i+手7=+】=5%+f(2)应用题型4(=%+/,其中p,q均为常数，且P4(P-1)0I)WO)的方法，上式两边同乘以2向得：2向。向=2”4+2由勾=5=4-6-*=6=1.于是数列匕Zj是以2为首项，2为公差的等差数列，所以2%=2+2(n-l)=2nall=题型6an+l=parn(P0,0)解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为川=+q,再利用待定系数法求解。【例6】已知数列凡中，4z1=l,an+1=-(tz0),求数列%
5、的通项公式。a解：由。用=-a两边取对数得Igan+1=21glg-,aa令=lg%,则仇舟=22+修4，再利用待定系数法解得：an=a(一)2n-aa考点2:数列求和题型1公式法【例7】已知4是公差为3的等差数列，数列也J满足仇=1也=；,。也的+力泡=.(1)求”的通项公式；(2)求也的前项和.解：(I)依题0岳+岳=6，b=,b2=-,解得=22分3通项公式为cjm=2+3(2-1)=3-16分(2)由(I)知3仇+尸儿，+=n,所以与是公比为的等比数列.9分1-(5”31所以瓦的前项和S产一一=二r.12分122x3”T3题型2裂项求和【例8】S11为数列。的前项和.已知an0,+2a
6、lt=4S+3.求,的通项公式；(2)设0=!,求数列2的前n项和.4%解析：()an=2n+；由知,bn(2n+ 1)(2+ 3)2/1 + 3所以数列地前n项和为4+叱4-+4h+)V一焉题型3错位相减求和【例9】已知数列上和也满足,1=2,fe1=l,azr+1=2an(nN*),4+：%+!&+=0+|7(nN).23n(1)求凡与包；记数列也J的前n项和为Tn,求7；.解析：(1)由q=2,%+=2qt,得。“=2.当=1时，h=Z?2-1,故=2.当2时，-bll=bn+l-bn,整理得出二丝L所以二.(2)由(1)知，a也=n2所以=2+222+323+622,=22+223+3
7、24+(n-l)2+n2+,所以7；-27；=-7；=2+22+23+2”-2向=(1一般)2向一2所以7；=(-1)2角+2.题型4分组求和【例10已知小是等差数列，满足m=3,04=12,数列瓦满足6=4,力4=20,且儿一4为等比数列.(1)求数列小和九的通项公式；(2)求数列瓦的前项和.解：(1)设等差数列为的公差为人由题意得,a4a123d-=3.所以fl=+(-l)d=3(=L2设等比数列儿一小的公比为小由题意得,b4-a420-12解得4=2.er=7=o8“ba43所以bn-an=(b-a)qnl=2nl.从而d=3+2一2,).(2)由(1)知儿=3+2”r(=l,2,).3
8、12m数列3的前项和为数列2L的前项和为1义不工=2-1,3所以，数列4的前项和为乎(+1)+2”一L三、知能运用训练IS1、(1)已知数列“中，ai=2iall=atl,l+2n-(n2)t求数列的通项公式；(2)已知S”为数列4的前项和，1=1,Sn=n2all,求数列/的通项公式.【解】=q=2,rt=%+2n-l(n2),/.an-an_x=2n-l4=(凡一I)+(%一%)+(%-2-an-3)+(。2)+4=(2-1)+(2-3)+(25)+5+3+1=涯=2.q=l,S“=/”，.当2时，Sw-1=(n-I)2a-l.alt=Sn-SnI=n2an-(n-l)2tzn1=乌-./
9、InW-Inv/1-114n+1.C一anan-%-2%a2,_T-2一3212“an_an_2an_3a2axn+n-143n(n+1)2、己知数列%中，q=l,4角=24+3,求数列勺的通项公式.【解】Y4+=2rt+3,aaz,+1+3=2(an+3).2+3是以2为公比的等比数列，其首项为q+3=4.4+3=4X2w,=%=2n+,-3.3、已知数列勺中，a1=l,art+1=2aw+3rt,求数列4的通项公式.【解】.=2%+3,.爱=含+/，令费r=H则+1-=()%H=S”一%)+(%-2.2)+(优-A)+4=()n-1+()-2+(r3+()2+=2(r-2azj=3w-2n
10、4、已知S为数列“的前项和，Sn=3atl2(V+,w2),求数列,J的通项公式.【解析】当=1时，1=S1=31+2=1=-1,当2时，为=S-SZlT=(3/+2)-(3%+2).2all=3an,l=!J2.。是以为公比的等比数列，其首项为=-,5、已知数列4中，G=IR向=3%+3，求数列明的通项公式.【解析】%+=3+3,.黄=含+1,令含=切数列h是等差数列，=l+l(-l)=n,.,.an=n3,.6、己知数列4中，1=Ka2=2,0=aM_,+1_2(n3)f求数列4的通项公式.122【解】由。”铲T+铲-2得an-an,x=-(an.l-all_2)(n3)9又4-6=1=0
11、,所以数列Ln-%是以1为首项，公比为一的等比数列,勺=(凡一。-1)+(41-a*2)+(an_2-an_3)+(生一)+6=(-)-2+(-r3+(-)2+(-)+=_3(_2.55(3)7、已知数列ql是首项为正数的等差数列，数列.Q的前项和为2n + 求数列的通项公式；设=(+1)2,求数列低的前项和7；.【解析】(1)设数列q的公差为d,令=1,得一!一=,所以42=3.aa23112令=2,得=-,所以出名=15.解得q=l,d=2,所以可二2-1.ala2a2a35(2)由知=2小22-二.4,所以7；=1.41+242+64,所以47；=l42+2d+(w-l)4n+w4n+,
12、两式相减，得一37；=44?+.+4-4向二二口匕即XK土所以丁二即-J+(3I31-4339998、已知数列斯的前项和Sf=L受，N*.(1)求数列%的通项公式；设bn=2tln+(-1),求数列儿的前2n项和.解：(I)当=1时，i=Si=1;当 n2 时，an=Sn-Sn-n./户+4(/21)2+(n1)22故数列%的通项公式为=.由知,乩=2+(1).记数列瓦的前2项和为7,则%=+22+22)+(1+23+4+2).记A=2+22+.+2叫B=T+23+4+2%贝 IJA =2 (1-22z,)1-2=22m+1-2,8=(I+2)+(-3+4)+(2-1)+2=.故数列儿的前In
13、项和T2=A+8=2211+一2.9、已知数列q的前项和S,产3层+8%也是等差数列，且4=+%.(1)求数列0的通项公式；(2)令Cft=；：；.求数列cn的前项和Tn.解析：(1)由题意知当2时，an=Sn-5_1=6n+5,当时，l=S1=11,所以=6+5.设数列的公差为d,由0,故“=2_。由24+3%=1得2q+3Wq=1,所以W=故数列a11的通项式为an=-。3133“(2)bn=Iog3a+Iog3a2+.+Iog3ann(n+)(1+2+.+)2故*-U z(n + l) n n+11一+ 一 bxb2所以数列的前n项和为一2n+111、在公差为d的等差数列m中，已知0=1
14、0,且2+2,503成等比数列.求d,%；(2)若d0,I2M.an.解：(1)由题意得，5a3=(222)2,由m=10,小为公差为d的等差数列得，d2-3d-4=0,解得d=1或d=4.所以an=-11-r11(N*)或j=4w6(nN*).(2)设数列zl的前项和为S”.因为d12时，0+2l+3+j=S+2S”=/-yz2+1()综上所述，Ial2l3.Ml=ri2.12、已知g是首项为1,公差为2的等差数列，S表示/的前项和。求明及Sn；1n(2)设数列一方的前项和为，求证：当N,都有7；成立。ISzJn+解：(1)%是首项6=1,公差d=2的等差数列，.an-a+(n-)d=2n-故S“=1+3+.+(21)=n(ai+cn)_n(+2/?-1)(2)由得t=*+*+,+H111FHrr12233445n(n+)十+n+1
