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1、一、立体几何学问点归纳第一章空间几何体(一)空间几何体的构造特征(1)多面体一一由假设干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭儿何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。(2)柱，锥，台，球的构造特征AB一有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系:棱柱正棱柱其他棱柱四棱柱底面为平行四边底平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形出底面为正方
2、形,I正四棱柱I侧棱与底面边长哗3侧棱都相等，侧面是平行四边形：两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。1.4长方体的性质：长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】AC12=AB2+AD2+AA12（了解）长方体的一条对角线AG与过顶点A的三条棱所成的角分别是,那么cos2+cos2y+cos2/=1,sin2+sin2y+sin2/=2；（了解）长方体的一条对角线AG与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是,/,那么COS之。+cos?4+cos?y=2,sin2+sin2y0+sin2/=
3、1.：正n棱柱的侧面绽开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.Sch1.6面积、体积公式：直棱柱恻（其中C为底面周长，hS直棱柱全=Lfl+2S底，%柱=S底为棱柱的高）圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2 圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.2.3 侧面绽开图：圆柱的侧面绽开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.2.4 面积、体积公式：SBen=2rh；SMtt=2rh+2r1,VM朴=S底11=万/（其中r为底面半径，h为圆柱高）棱锥一一有一个面是多边形，其余各面是有一个公
4、共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。正棱锥一一假如有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3.2 棱锥的性质：平行于底面的截面是与底面相像的正多边形，相像比等于顶点到截面的距离与顶点原委面的距离之比；正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：SOB2SO,aS32O3”为直角三角形）3.3 侧面绽开图：正n棱锥的侧面绽开图是有n个全等的等腰三角形组成的“面积、体积公式：Siwffl=-cz,S正极锥全+S底，V桢锥二L
5、S底.（其中c为底面周长,223/侧面斜高，h棱锥的高）圆锥一一以直角三角形的始终角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的儿何体叫圆锥。4.2 圆锥的性质：平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点原委面轴截面是等腰三角形；如右图：_SAB的距离之比;如右图：2=2+r2.4.3 圆锥的侧面绽开图：圆锥的侧面绽开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形。4.4 面积、体积公式：S圆锥例=z/,S圆锥全二T（+/）,Vm=r2h（其中r为底面半径，h为圆锥的高，1为母线长）一用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的局部称为棱台.5.2 正
6、棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形；如右图：四边形OMNaoB3O都是直角梯形棱台经常补成棱锥探讨.如右图：SO与ASON,aSOB与ASOB相似，留意考虑相像比.5.3 棱台的外表积、体积公式：S全=S上底+S卜底+Sri,V梭台=g（S+后+S）z,（其中S,S是上，下底面面积，h为棱台的高）一用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的局部叫做圆台.6.2 圆台的性质：圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；圆台的轴截面是等腰梯形；圆台经常补成圆锥来探讨。如右图：SOA与CSO8相似，留意相像比的应用.是一个扇环；6.4圆
7、台的外表积、体积公式：S全二乃/+乃代+虫氏+刀/,V国台=!（S+屈t+S）z=（+乃次+乃齐），（其中r,R为上下底面半径，h为高）337.球7.1 球一一以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的儿何体叫做球体，简称球；7.2 球的性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面；r=JK-d2（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）7.3 球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决.（其中R为球的半径）例：（06年福建卷）正方
8、体的八个顶点都在球面上，且球的体积为之万，那么正方体的棱长3为（二）空间几何体的三视图与直观图1 .投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。一一是视察者从三个不同位置视察同一个空间几何体而画出的图形；正视图一一光线从几何体的前面对后面正投影，得到的投影图；侧视图一一光线从几何体的左面对右面正投影，得到的投影图；正视图一一光线从几何体的上面对下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度与正视图相等，“宽度与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽.（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是
9、直观图。3.直观图：一是视察着站在某一点视察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。3.2斜二测法：stepl：在图形中取相互垂直的轴Ox、Oy,（即取Nwy=90。）；step2：画直观图时，把它画成对应的轴（My,取NXby=45。（。月35。），它们确定的平面表示水平平面；step3:在坐标系为by中画直观图时，图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于X轴（或在X轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。结论：一般地，接受斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的丝倍.解决两种常见的题型时应留意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一
10、般先考虑“俯视图”.（2）由几何体的直观图画三视图时，能望见的轮廓线和棱画成实线，不能望见的轮廓线和棱画成虚线。其次章点、直线、平面之间的位置关系（一）平面的根本性质无限延展，无边界与三个推论公理1：假如一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。用途：常用于证明直线在平面内.图形语言：符号语言：公理2：不共线的三点确定一个平面.图形语言：推论1：直线与直线外的一点确定一个平面.图形语言：推论2：两条相交直线确定一个平面.图形语言：推论3,两条平行直线确定一个平面.图形语言：用途：用于确定平面。公理3：假如两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线
11、）.用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.图形语言：符号语言：形语言，文字语言，符号语言的转化：图形谓百文字谓育符号谓育B-点A在直线a上点IWErl线H外A点A在平面“外 点B在平面。内.4e a直线a在平面“内nua应线b在平面1外 zaIIflU，平面。相交于点A Ona=4力线”9直线b交点A ab = A（二）空间图形的位置关系a= rr1.空间直线的位置关系：共面:a，b=A, a/b 异面:a与b异面1.1 平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线相互平行。符号表述：CIHb,bHcnallc等角定理：假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。1.3
12、 异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线一一异面直线；（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。Pa图形语言:-=PA与a异面1.4 异面直线所成的角：（1）范围：6（0o,90;（2）作异面直线所成的角：平移法.如右图，在空间任取一点0,过O作优。出力，那么优,3所成的。角为异面直线。力所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特别点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.2.直线与平面的位置关系：a=AIaa4IHa3.平面与平面的位置关系斜交：垂直：aL图形语言：（三）平行关系（包括线
13、面平行，面面平行）1 .线面平行：定义：直线与平面无公共点.allh判定定理：aalla（线线平行=线面平行）【如图】alla性质定理：CLUBallb（线面平行=线线平行）【如图】a=b判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证）：la=0=lHa（用于推断）；（ii）allbaua判定定理：QZalnaa“线线平行=面面平行（用于证明）；（Hi）allallbuabla n all a用于推断）；“面面平行=线面平行（用于证明（4）La2 .线面斜交：a=A直线与平面所成的角（简称线面角）：假设直线与平面斜交，那么平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。【如图】PO_La于/O,那么AO是
14、PA在平面内的射影，那么NRAO就是直线PA/与平面所成的角。all（面面平行=线面平行）；（2）=aahiauaC-,）3=b（面面平行=线线平行）（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如图】（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直定义：假设一条直线垂直于平面内的随意一条直线，那么这条直线垂直于平面。符号表述：假设随意ua,都有/_!_，且线线垂直）；（2）aLa,bIanaHb,证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；（3）aHbblaaVaal（较常用）；（4） all a LaV （面面垂直= 线面垂直）a=b=a_L/?；ClUaalb常
15、用；三垂线定理及逆定理：（I）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中，POVa（1）斜线相等O射影相等；（2）斜线越长。射影越长；13）垂线段最短。【如图】PB=PCoOB=OC;PAPBOAOB（II）三垂线定理及逆定理：POLa,斜线PA在平面。内的射影为OA,oua,假设a_Lo4,那么_LR4垂直射影=垂直斜线，此为三垂线定理；假设o_LP4,那么垂直斜线=垂直射影，此为三垂线定理的逆定理；三垂线定理及逆定理的主要应用：（1）证明异面直线垂直；（2）作、证二面角的平面角；（3）作点到线的垂线段；【如图】二面角：（1）定义：【如图】OBl,OAl=ZAOB是二面角一/-夕
16、的平面角.范围：ZAOB0o,180.8作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法./Oa（1）定义：假设二面角。一/一/?的平面角为90。，那么a_L/7；（2）判定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.uQ=j,夕（线面垂直=面面垂直）aI（3）性质：假设a_L。，二面角的一个平面角为NMQV,那么, = u a 或 OJIaNMoN=90。；aLa=ABaL（面面垂直=线面垂直）；ClUaaIAB二、立体几何常见题型归纳例讲1、概念辨析题：（1）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可接受解除法，筛选法等。（2）对于推断线
17、线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必需在娴熟驾驭有关的定理和性质的前提下，利用长方体，正方体，实物等为模型来进展推断。你认为正确的命题须要证明它，你认为错误的命题必需找出反例。（3：相关例题：课本和报纸上出现很多这样的题型，举例说明如下：例：（04年北京卷）设m,n是两条不同的直线，,Ay是三个不同的平面，给出以下四个说法：/w_La,a_L；a/,/,ma=tnL：mHa,nllanmHn（三）aL,L=a,说法正确的序号是：2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。（1）根底学问网络：判定WlJ定推论判/I少性NII沙线面平行.面面平行线面垂直请依据以上学问网络图，写出相关定理
18、的图形语言与符号语言.(2)相关例题：例1(06广州市高一质量抽测)如右图，在正方体ABCD-AIBIG。中，E、尸为棱A。、48的中点.4(1)求证：M平面CBMI；(2)求证：8。平面CAC面益义判定（0o,90:解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特别位置。常用中位线平移法二证：证明所找作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常须要证明线线平行;三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；求直线与平面所成的角eo,9o:关键找“两足.：垂足与斜足解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影
19、的夹角留意三垂线定理的应用）；二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。eo,r解题步骤：一找：依据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角1常用定义法，三垂线法，垂面法）；三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。（2）对于几何体的外表积、体积的计算，关键是搞清量与量之间关系，娴熟应用公式进展计算。三视图，求几何体体积。平面图形直观图面积与原图形面积的相互转化。相关例题：例1.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，2力_1_底面ABCD,PD=A。.求
20、证：（1）平面%C_L平面P8D；（2）求PC与平面尸8。所成的角；例2.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形4石。，假设那么原AABo的面积是（）A.-B.C.2D,2222例3.（06深圳宝安中学期末考）如图，为一个几何体的正视图，侧视图和俯视图为全等的等腰梯形，上、下底边长分别为2,4。俯视图中，内、均外为正方形，边长分别为2,4,几E是SA的中点，那么异而何体的高为3,求此几何体的外表积和体积。答案S全面积=20+1210,V蝇=28例4.如下图，正四棱锥SABCD侧棱长为后，底面边长为百，直线BE与SC所成角的大小为(B)()90o(B)60(C) 45(D)30例5.
21、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,ABj_AC,PA_L平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点.(1)求证：AC1PB；(2)求证：PB平面AEC；(3)假设PA=43=AC=。，求三棱锥EACD的体积;(4)求二面角EAC-D的大小.(单元考题)三、训练题如图，正方体ABCo4片GA中，棱长为。(1)求证：直线AB平面4CR(2)求证：平面ACR _L平面3。；2 .如图，棱长为1的正方体ABCD-AlBlGDl中,(1)求证：ACJL平面BIDlDB;(2)求证：BDl_L平面ACBl(3)求三棱锥B-ACBl体积.3 .如图，ABCD是正方形，0是正方形的中心，P0_L底面ABCD,E是PC的中点。求证：(1)PA平面BDE；(2)BD_L平面PAC
