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1、第一章集合与简易逻辑一.集合：1 .集合中元素具有：确定性、无序性、互异性三种性质。2 .集合的表示法：列举法：描述法：字母表示法：图象法(数轴或Venn图)来注意以下集合的不同：yy=f是数集，表示函数产X2的值域，结果是非负实数集；川尸f是数集，表示函数y=f的定义域，结果是全体实数集；(%，y)ly=f是点集，表示抛物线y=f上的点；xax2+bx+c=0是数集，表示方程2+bx+c=0的根；3 .集合与集合的关系：任何一个集合是它本身的子集，记为A=A；空集是任何集合的子集，记为。qA；空集是任何非空集合的真子集；如果AqB,同时814,那么A=8；如果AqBBqC,那么A=C.n个元
2、素的子集有2个；个元素的真子集有2一1个；个元素的非空真子集有2tl2个.4 .集合的运算：(1)交集AnB=MxA且B;并集AUB二巾A,或xB;补集CUA=巾U,且XA,(2)集合运算中常用结论:A=B=AnB=A;ABB=B二.简易逻辑：1 .复合命题的真假判断：“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假即当q、P为真时，p且q为真；当p、q中有一个为假时，P且q为假。“p或q”形式复合命题当P与q同为假时为假，其他情况时为真即当p、q均为假时，p或q为假；当p、q中有一个为真时，P或q为真；“非P”形式复合命题的真假与P的真假相反即当P为真时，非P为假；当P为假时，非P
3、为真。2 .四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非P则非q，逆命题为“若q则p，逆否命题为“若非q则非p。其中互为逆否的两个命题同真假。3 .充分条件与必要条件(1)定义：当“若p则q是真命题时，p是q的充分条件，q是P的必要条件;当“若P则展的逆命题为真时，q是P的充分条件，p是q的必要条件;当“若P则q”,“若q则P”均为真时，称P是q的充要条件；(2)在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看,若记漏足条件P的所有对象组成集合A,满足条件q
4、的所有对象组成集合q,则当AqB时，p是q的充分条件;BQA时，q是P的充分条件;A=B时，p是q的充要条件；4 .全称量词：“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等。常用表示。含有全称量词的命题叫全称命题。存在量词：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“有的”“对某个”等。常用“三”表示。含有存在量词的命题叫特称命题。全称命题p:VXM,p(x),它的否定-IPHXM,-1P(x0),特称命题:mxM,p(x0),它的否定P：VxeM,P(x)。5.注意命题的否定与命题的否命题的区别：命题“若p则q的否定是“若p则非q命题若p则q的否命题是“若非P则非q全称命题与特称命题的
5、否定具有特殊性。.不等式的解法：1 .绝对值不等式的解法:IXO)的解集是x-;|a|a(a0)的解集是小或Z-a，a。Y(X)g()0g()期a)sMJ()g()O-g()f()g()I/O)llg()。2()g()I02()g2()1/()I土Ig()K。或I/()IIg()a的解法有：(1)数形结合法：画出分段函数尸(X)=I/(x)g(x)I的图象，根据图象确定解集(2)定义法：利用定义打开绝对值，分成三个不等式进行求解。2 .一元二次不等式ax?+7+c0(。0)或or?+b+cV0(.0)的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系(结合图象)从而求出任何一元二次不
6、等式的解集。3 .分式、窗次不等式的解法：标根法第二章函数一、映射、函数的有关概念：1、映射的定义：设A,B是两个集合，如果按照某种对应关系f,对集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f：AB,2、映射f：AB的特征：(1)存在性：集合A中任一元素在集合B中都有元素与之对应(2)惟性：集合A中的任一元素在集合B中只有一个元素与之对应，(3)方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的(4)集合B中的元素在集合A中不一定有元素与之对应，若集合B中元素在集合A中有元素与之对应，则对应的元素不一定惟一。3、函数：设A,B都是
7、非空的数的集合，f：XTy是从A到B的映射，那么，从A到B的f：AB,叫做A到B的函数，y=f(x),其中xA,yB,原像集合A叫做函数f(x)的定义域，像集合C叫做函数f(x)的值域。像集合CqB4、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。二.函数的定义域与值域：1 .函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：分母不为0;偶次根式中被开方数不小于0;对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;零指数箱的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义
8、等.注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式(组)来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。2 .函数值域的求法：配方法(二次或四次)；换元法(代数换元法，三角换元法)：不等式法单调函数法(通过求导判断).函数的性质：(一)函数的单调性：1、定义：对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意X1,X2ED,当X1VX2时，都有f(xi)Vf(X2)，则称f(x)是区间上的增函数，当XHX2时，都有f(x)f(X2),则称f()是区间上的减函数。如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D
9、称为函数f(x)的单调区间。格定义等价变换：任意X,X2七D,/(再)一)Oy0)n/()是增(减)函数。X1-X22、函数单调性的证明方法：法一(定义法)步骤是：任取x,X26D,且X0),并变形，/(M)判定f(Xl)-f(X2)的正负，或比较ZS与1的大小，根据定义作出结论。/3)法二(导数法)xD,(x)0=(x),r(x)vn/(X)在D上递减；*反之：/(x)在D上递增=/(x)0对xO恒成立；f(x)在D上递减=f,(x)O对X0恒成立柒求单调区间时，注意单调区间的写法,特别是有多个单调区间的,要用和字联结各区间。(二)函数的奇偶性：1.定义：对于函数f(x)的定义域内的每一个值
10、X,都有f(r)=f(x),那么称f(x)为偶函数，如果对每一个值X都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数。*定义等价变形：对于函数f(x)的定义域内的每一个值X,f(-)-f(x)=O,那么称f(x)为偶函数，如果对每一个值X都有f(-)+f(x)=O,则称f(x)为奇函数。希函数奇偶性的判断首先要看定义域是否关于原点对称。2、奇、偶函数的性质：(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。(2)奇函数在关于原点的对称区间上的单调性相同，偶函数在关于原点的对称区间上的单调性相反。(3)若奇函数有对称轴x=a,则它有周期T=4a,偶函数有对称轴x=a,则它有周期T=2a,
11、(4)若奇函数在X=O处有定义则f(0)=0(三)函数的周期性：1 .定义：对于函数f(x)的定义域内的每个值X都有f(x+T)=f(X)(T0),则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期。若T为f(X)的周期，则kT也是f(X)的周期，k为任一非0整数。2、若f(x)满足f(x+a)=f(x+b),那么f(x)是周期函数，一个周期是T=a-b;(四)反函数：2 .同底的指数函数与对数函数互为反函数。即：y=X(0,al)与y=logqX互为反函数。3 .互为反函数的两个函数的图象关于直线y=X对称。即函数y=(x)上有点S),则点(。)在它的反函数的图象上。(五)函数的图象：1 .两个函数的
12、图象的对称性：(1) y=f(x)与y=-f(x)关于X轴对称。(2)y=f(x)与y=f(-)关于y轴对称。(3)y=f(x)与y=f(x)关于原点对称。(4)y=f(x)与y=f(2ax)关于直线x=a对称。注：y=f(a+x)与y=f(ax)关于直线x=0对称2.一个函数的图象的对称性：(1)关于直线x=a对称时，f(x)=f(2ax)或f(ax)=f(a+x),特例：a=0时，关于y轴对称，此时f(X)=f(-)为偶函数。(2)y=f(x)关于(a,b)对称时,f(x)=2bf(2ax),特别a=b=O时，f(x)=f(x),即f(x)关于原点对称，f(X)为奇函数。(3)若f(a+x
13、)=f(b-),则f(x)的图像关于直线X=”对称。23.图象平移、对称、伸缩与翻折变换。(1)J=/(x)=f(+a)；j=/()=f(-a)(2) y=(x)曾沙个侬y=f(x)+b;y=x)M个地y=/(Xi(3)y=(x)轴对称y=/(_x)；y=().y=-f(x)；j=()三三y=-(-)(4) y=G)fy=x),把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。(5) y=f-y=fM把X轴上方的图象保留，X轴下方的图象关于X轴对称(6)伸缩变换：y=(x)-y=(sr),月G)一尸相人)具体参照三角函数的图象变换四.基本初等函数：(一)指数：1、n次方根的定义：如果一个数
14、的n次方a(nl,nN*)那么这个数叫做a的n次方根，即x=a,则X叫做a的n次方根(nl,nWN).2、n次方根的性质：(1)(加)”=g(nN)(2)当n为奇数时，加7=。;当n为偶数时，叱=Ialm3、分数指数塞的定义：(1)。二=犷(0,w,wN*l)-11八(2)&n=.(a0,w,n7V*,1)VF(二)指数函数：1、定义：形如y=a(a0,且aWl)的函数叫做指数函数。2、指数函数y=a(a0,且a#l)的图象和性质：al0a =YXXX/( Zf ZlxH 1 11Y = A66 -YXxxfl Xrck /lH Ii -1A - Y.V4(3) 在R上是增函数在R上是减函数三
15、、对数1、对数的定义：如果=ba0,1）,那么b叫做以a为底N的对数，记做IogaN=b（a0,01）,由定义知负数和O没有对数。通常以10为底的对数叫做常用对数，记做IgN=IOgn）N。以无理数e=2.71828为底的对数叫做自然对数。记做InN=IogeN。2、对数的运算性质：MIOgaMN=IogdM+IogaN,(2)log“=IogaM-IogflN.(3)logrtM,f=zzlogwM,(4)lognb,=-ogabM,Nyaib,nym-0,al)3、对数的恒等式：(I)Ioge1=0,(2)loga=1,(3”*N=%,(4)*”=Nwba(5)logN=以Njog，=!,
16、logblogz,C=logrtc,(a,b,c,N0,a力1)log/,alog,a四、对数函数：1、定义：形如y=logX（aO,aWI）的函数叫做对数函数。2、对数函数的图象与性质:al0a0(X1)=O(X=I)0(xl)IOgQ心1)=O(X=I)0(XO,aWl）与指数函数y=a（aO,aWl）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换,它们的对应法则是互逆的，其图象关于y=x对称。4、对数有关的大小比较：（1）类似指数函数分为四类：1）同底且大于1,真数大的对数大。2）同底且小于1,真数大的对数小。3）同真数且大于1,在X轴同侧时，底大图低，（这一点与指数函数相反）4）同真数且小于1
17、,在X轴同侧时，底大图高。（2）基本思路：1）利用函数的单调性，2）作差或作商法，3）四象限;(4)掌握几种常见幕函数的图象：y=x,y=x2,y=x3,J=x2,y=xl;(5)当0时,还经过点(0,0),在第一象限内函数值随X的增大而增大,且过点(LI)后图象向上方无限伸展.在第一象限内,当l时,图象是向下凸的,当时,图象是向上凸的.(6)当v时,在第一象限内函数值随X的增大而减少,且向上与y轴无限接近,向右与X轴无限接近.即以坐标轴为渐近线.f(x)=r2+bx+c=O的两根为王，工2；则:根的情况xlx2kx1x21kk2aaf(k)Oo力Ob.OoaJ(k)Oa-fp)0另夕卜:二次
18、方程7(x)=0的一根小于p,另一根大于q(pq)QS(g)V。二次方程=o在区间(PM)内只有一根U)y)o,或“)一(检验)或)一(检验)。若在闭区间加,川讨论方程/(幻=0有实数解的情况，可先利用在开区间(2,)上实根分布的情况，得出结果，在令X=和X=检查端点的情况。八.函数与方程、零点与二分法1、函数V=f(X)的零点就是方程/(x)=0的实数根,亦即函数V=(X)的图象与X轴交点的横坐标.2 .函数y=(x)-g(x)的签息就是方程/(x)-g(x)=0的重数根，亦即函数=/(%)g(x)的图象与X轴交点的横坐标.或函数y=/(x)与函数y=g(x)交点横坐标.注意：零点不是点的的
19、坐标，而是X=Xo3 .零点存在性定理：y=(x)在a,b上连续(即图象不间断)，且f()S)0,则y=(x)在a,b上有零点，即存在c(,力)，使得/(C)=0。注：(1)此时零点至少有一个(当y=/(x)在a,b上单调时，只有一个)，也可能有无数个零点。(2)反之，若y=(x)在a,b上单调且连续(即图象不间断)，且y=(x)在a,b上有零点，则/S)004、二分法：对于在区间a,b上连续不断且/()f(b)O的函数y=/(x),通过不断地把函数y=f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。由|。-力|g“e.2 .可导法则：(v)=
20、/(IW)=加+;jy=1(0)(C)=C(C为常数);复合函数求导=y1三.导数的应用：1 .应用导数解有关切线问题：过某点的切线不一定只有一条；如：已知函数/(x)=-3x,过点P(2,-6)作曲线y=(x)的切线，求此切线的方程。(答：切点分别为(0,0),(3,18)O,则/(x)为增函数；如果f,(x)O是/(x)递增的充分条件，但不是必要条件，如y=2在(f,+o)上并不是都有(X)O,有一个点例外即X=O时r)=O,同样/(x)0也是/(x)递减的充分非必要条件.一般地，如果:(功在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)，那么)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.
21、3 .应用导数求函数的极值：一般地,设函数产/()在点与附近有定义,如果对方附近的所有的点,都有/。)/(/),则/6)是的一个极小值.注:求可导函数的极值点可用导数来找,极值点一定是导数为0的点.若点/是可导函数F(X)的极值点，则/(X)=O.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点小是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数y=/(x)=x3,X=O使(x)=0,但X=O不是极值点.又例如：函数y=()=,在点X=O处不可导，但点X=O是函数的极小值点.当函数f(x)在点X0处连续时，(I)如果在附近的左侧,(x)0,右侧f,(x)0,那么/(X0)是极大值；(11)
22、如果在附近的左侧fx)0,那么/()是极小值.也就是说与是极值点的充要条件是与点两侧导数异号，而不是T(x)=0给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！.7(毛)=0不能得到当4X。时，函数有极值判断极值，还需结合函数的单调性说明;但是，当X=XO时，函数有极值=f,(x0)=0函数的最值：函数y=(x)在区间上如果存在小,若使得对区间内任意X都有/(x)/(七),则/(%)叫最小值；若使得对区间内任意X都有/U)/(/),则/(玉)叫最大值；注：一般地，闭区间肉上的连续函数y=(x)在句上必有最大值与最小值
23、.极值与最值不是同一个概念.极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.开区间内的最值点一定是极值点,反过来不成立.函数Ar)在区间出力上的最大值为极大值和人。)、人与中最大的一个;最小值为极小值和人。)、八份中最小的一个。四.定积分：1.定积分的性质:kf(x)dx=f(x)dx(k为常数)；(2)(x)g(x)Zx=Cf(x)dxg(x)J1JaJaJaJaJa(3) Cf(x)dx=cf(x)dx+Cf(x)dx(其中acVb).利用这一性质对分段函数求定积分。JaJaJC(4) /(x)为偶函数时,f(x)dx=2.f(x)dx,/(x)为奇函数时,f(x)dx=
24、O/(x)在X轴下方时,定积分为负，f(x)在X轴上方时,定积分为正.当位于X轴上方的曲边梯形的面积等于位于X轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为Oo2.定积分的计算：如果/(X)是区间fa,b上的连续函数，并且F(X)=/(x),那么XWX=Fs)-尸(0)。这个结论叫做微积分基本定理。又叫莱面尼兹公式。称尸(X)为/(x)的原函数3.定积分的应用：(1)求曲边梯形面积由三条直线x=a,x=b(ab),X轴及一条曲线y=f(x)围成的曲边梯的面积S=如(力|4如果图形由曲线y=f(x),y2=f2(x),及直线x=a,x=b(a0,则为递增等差数列，若公差d0,则为递减等差数列，若公差d=
25、0,则为常数列。(3)当/%+=+夕时，则有,特别地，当根+=2时.，则有,“+a”=24,(4)若%是等差数列，SnMn-SnNF,也成数列(5)在等差数列“中，当项数为偶数2时，S偶一S奇=d；项数为奇数2一1时,S奇S偶=%,邑T=(2T)中(这里。中即勺)；S帝：S偶=(&+1):&。(6)若等差数列%、bn的前和分别为A”、纥，且令=/(n),则= /(21).afl=(2n-)aftA2z,.lb(27-l)B2n-1(7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组上工。/或!%O,ql,则4
26、为递增数列；(4)当gl时，Sn=-q+-=aqn+b,这里+h=0,但白00,这是等比数列前项和公-q-q式特征，据此判断数列伍是否为等比数列。(5)在等比数列%中，当项数为偶数2时，S弼二qS奇；项数为奇数2一1时，5奇=q+q5偶.5 .数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知S(即q+02+(=/()求用作差法：=Jp(2)注意：用%=5-S,I求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？(“2,当=1时，6=S);一般地当已知条件中含有乙与S的混合关系时，常需运用关系式=5“-S-,先将已知/,5 = 1)谷。条件转化为只含4或Sn的关系式，然后再求解
27、。己知a%，%=/()求见，用作商法：an=若4+1-an=F()求。”用累加法：%=&-%)+&%)+(-)+4(w2)o已知%l=5)求Q”,用累乘法：=(112)oanan-an-24(6)已知递推关系求4,用构造法(构造等差、等比数列)。特别地，(1)形如+方、4=3小+力”(2,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为上的等比数列后，再求知。你知道如何转化吗？(2)形如为=-=i的递推数列都可以用倒数法求通项。即：=b+k。再利用(1)法求解。k%+banan_x6 .数列求和的常用方法：(1)公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必
28、检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：1+2+3+=；(+1)，(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.(3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前和公式的推导方法).(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前和公式的推导方法).(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常
29、用裂项形式及放缩方法有：:11r/r;jr+k);7 11z11、1111111V-=()=-=;Ick2-2k-lk+k&+1(k+)kk2(k-)kk-k=；n(+l)(n+2)2n(n+1)(+1)(11+2)2(7n+T-711)=厂-Un-Qn-I).n+n+lQnw+n-l(6)通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和第五章直线、平面、简单的几何体1.平面的基本性质：(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条直线.公理3：经过不
30、在同一条直线上的三点有且只有一个平面(不共线的三点确定一平面).推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3；经过两条平行直线有且只有一个平面.注：水平放置的平面图形的直观图的画法一一用斜二测画法.其规则是：在已知图形取水平平面，取互相垂直的轴。-Oy,再取OZ轴，使ZxOz=90,且NyOz=90;画直观图时，把它们画成对应的轴OKoy,O/,使voy=45(或135),Zy。2=9。，/Cy所确定的平面表示水平平面；已知图形中平行于X轴、y轴或Z轴的线段,在直观图中分别画成平行于V轴、了轴或，轴的线段：已知图形中平行于4轴和z轴的
31、线段,在宜观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.运用平面的三个公理及推论，能证明共点、共线、共面一类问题8 .空间两条直线位置关系有：相交、平行、异面.相交直线共面有且只有一个公共点；平行直线共面没有公共点；公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.异面直线不同在任一平面内.注：两条异面直线所成的角（或夹角）：对于两条异面直线,力，经过空间任一点O作直线沙力，则,与b,所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所
32、成的角（或夹角）.若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直.异面宜线所成的角的范围是（0。,90。.9 .直线和平面的位置关系有：直线在平面内、直线在平面外（包含直线与平面相交、直线与平面平行）.（1）直线在平面内一有无数个公共点;（2）直线与平面相交一有且只有一个公共点；（3）直线与平面平行没有公共点.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平aaa、buaallb= all a线面平行的性质定理（用来判定线线平行）：如果一条直线与平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.即IUB=/？a-m10 两
33、个平面的位置关系：平行、相交（垂直是相交的一种特殊情况）（1）两个平面相交有一条公共直线.（2）两平面平行没有公共点（I）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.即=Haalla,blla推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.aua,bua,ab=A,mu0,mn=BC=cda/m,blln垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.即JL4J_/=/；a/,/a/（三）面面平行的性质定理（用来证明线线平行）：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.即Pa
34、ba-ay,/=/?J线线平行一线面平行一面F平行注:平行问题常用平行转化的思想：.L11 直线和平面垂直：定义：如果一条直线/和一个平面。内的任意一条直线都垂直，那么就说直线/和平面。互相垂直.记作：/（2）判定定理:如果条直线和个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.=lla即mu,u,m=A/n,ILn（3）性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.即al-a=abbLa12 直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做这条宜线和这个平面所成的角.注:一条直线垂直于平面，就说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，就
35、说它们所成的角是O的角，可见，直线和平面所成的角的范围是o,9O直线与平面所成的角：关键是找直线在平面内的射影.线线垂直0线面垂直垂直转化：1113 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,叫做二面角.如图二面角一/一夕二面角的平面角：以二面角a/的棱/上任意一点0为端点，在两个半平面葭夕内分别作棱的垂线0A.0B,这两条射线0A、OB所成的角NAoB叫做二面角的平面角.直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角.14 两个平面互相垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.即二面角二一/一的平面角/406为90na1B两个平面垂直的判定定理：如果一个平
36、面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.即=al两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.a 工p ,a = l aua M-L/ =a J-/7注:找二面角的平面角的方法主要有：定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性.三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角.垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直.射影法：利用面积射影公式：cos6=W,其中。为平面角的大小，S是射影的面积.此方法不必在图中SS底画出平面角来S侧=7.cosa15 计算问题：（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算异面直线所成的角范围：O0，W90方法：平移法；补形法.直线与平面所成的角范围：0890方法：关键是作垂线，找射影.二面角。范围：0180o
