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1、专题12阿基米德三角形第一饼阿基米德三角形与切点弦问题一、主要概念及性质1、定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.(如果弦过定点，那么弦与两条切线交点的轨迹构成一对极点极线.)一般情况下阿基米德三角形指的抛物线阿基米德三角形，它的一些基本性质有：2、主要性质：性质1阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴.性质2：若阿基米德三角形的底边即弦48过抛物线内定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条直线.性质3：在性质2中，抛物线以C点为中点的弦平行于。点的轨迹.性质4：若直线/与抛物线没有公共点，以/上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.性质5：底边长为的阿基米
2、德三角形的面积的最大值为即性质6：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点。的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为P2.性质7：在阿基米德三角形中，/QFA=NQFB.性质8：AFBF=QF性质9QM的中点?在抛物线上，且P点处的切线与AB平行.【例21(云南二模)已知抛物线炉=4)，的焦点为产，准线为/,经过/上任意一点P作抛物线炉=4y的两条切线，切点分别为A、B.(1)求证：以AB为直径的圆经过点尸；(2)比较AF用与PF2的大小.【例22】(2005江西)如图，设抛物线C:)，=/的焦点为尸，动点P在直线2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线24、PB,且与抛物线C分别相切于A、8
3、两点.(1)求ZXAPB的重心G的轨迹方程.(2)证明NPEA=NPB第二讲阿基米德三角形与面积问题【例23】(2019新课标HD已知曲线Uy=工，。为直线y=-上的动点，过。作C的两条切线，切点分别为A,B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E(0,3为圆心的圆与直线反相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.2【例24】(2008山东)如图，设抛物线方程为f=20，(0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A,B.(1)求证：A,M,A三点的横坐标成等差数列；(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时，AB=410.求此时抛物线的方程；(3)是否存在
4、点使得点C关于直线AB的对称点。在抛物线V=2y(p0)上，其中，点C满足OC=OA+05（0为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点用的坐标；若不存在，请说明理由.【例25】（2008江西）设点P（A0,%）,在直线工=7（丁=机,0m0）的焦点为尸，A、8是抛物线。上异于坐标原点。的不同两点，抛物线。在点A、3处的切线分别为4、/?,且J2,4与4相交于点。.（1）求点。的纵坐标；（2）证明：A、B、F三点共线；（3）假设点。的坐标为1）,问是否存在经过A、B两点且与、（都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.J27（2021全国乙卷理科21题）已知抛物线Ux2=2py
5、（p0）的焦点为尸，且尸与圆M:公+行=1上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点尸在M上，PA,/归为C的两条切线，Af5是切点，求MAB面积的最大值.【例28】（2021全国In卷模拟）过直线y=T上动点M,作抛物线W=2py（p0）的切线MA、MB,A、B为切点、,NAMS=90.（I）求抛物线方程；（2）若M4B面积为32,求直线AB的斜率.整套系列资料分17讲见：最新版圆锥曲线专题17之I基础知识最新版圆锥曲线专题17之2焦长焦比体系最新版圆锥曲线专题17之3轨迹方程求法最新版圆锥曲线专题17之4三角形相关性质最新版圆锥曲线专题17之5四边形相关性质最新版圆锥曲线专题17之6圆锥曲线与圆综合最新版圆锥曲线专题17之7抛物线的综合问题最新版圆锥曲线专题17之8齐次化问题最新版圆锥曲线专题17之9曲线系方程最新版圆锥曲线专题17之10切线与切点弦的应用最新版圆锥曲线专题17之11极点极线与定点定值最新版圆锥曲线专题17之12阿基米德三角形最新版圆锥曲线专题17之13定比点差体系最新版圆锥曲线专题17之14不联立体系第一讲一单动点问题最新版圆锥曲线专题17之15不联立体系第二讲一双动点问题最新版圆锥曲线专题17之16不联立体系第三讲一三点共线问题最新版圆锥曲线专题17之17不联立体系第四讲一设点与比例问题
