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1、专题10切线与切点弦的应用很多人读过西游记觉得孙悟空一个筋斗云十万八千里，瞬间就可以到西天取得真经，为啥还得陪唐一步步走着去西天，其实原因很简单，就是通过取经之路对唐僧一步步考验，换句话说就是必须通过九九八十一难才能取得真经，圆锥曲线大题就是这个思路，极点极线就是孙悟空的筋斗云了，肯定不能驾着筋斗云一下子就取得真经，但是我们可以靠极点极线的知识来分析题干，它就像一座灯塔，指引我们思考的方向，有了方向在一步一步地书写步骤就会非常容易.第一密切线方程的应用切线本质上是一种特殊的极线，新考纲规定了不再考查直线和圆锥曲线的位置关系，但圆的切线，以及开口朝上的抛物线的切线(可看成函数)仍然是高考的考查范
2、围结论1：点Ma),%)在圆。-42+3-b)2=配上，过点M作圆的切线方程为(-a)(x-)+(y0-b)(y-b)=R2.结论2：点M(Xi),.%)在圆(.幻2+(，-初2=/?2外，过点M作圆的两条切线，切点分别为A、B,则切点弦AB的直线方程为(0-,0-b)(y-b)=R2.点MCVyO)在圆(x-尸+()，-力2=/内，过点M作圆的弦AB(不过圆心)，分别过48作圆的切线,则两条切线的交点尸的轨迹方程为直线：(/-)(x-)+()b-8)(y-b)=2*结论3：点M(Xo,%)在抛物线2=2y(0)上，过点M作抛物线的切线方程为M=My+%).点Mcv%)在抛物线(p0)外，过点
3、历作抛物线的两条切线，切点分别为A、B,则切点弦八4的直线方程为fi=p(y+,0).点M(Xo,%)在抛物线/=2PyS0)内，过点用作抛物线的弦人凡分别过4、A作抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：iy=/Xy+y0).结论4：点M(%,比)在椭圆W+*.=1(0bO)上，过点M作椭圆的切线方程为学+誓=1.若点a-b2a2b2ML在椭圆W+W=l5bO)外，则点M对应切点弦方程为学+浑=Iabab结论5：点M(%,%)在双曲线W-W=Im0,0)上，过点M作双曲线的切线方程为-岑=1.若点abab22M(0,y0)在双曲线=-与=I(0乃0)外，则点M对应切点弦方程为警-浑
4、=1abab结论6:点M(.%,%)在抛物线y2=2px(p0)上,过点M作抛物线的切线方程为y()y=(x+x().点f(wlj)在抛物线V2=2pxp0)外，过点M对应切点弦方程为yny=P(X+%).【例I】(临沂三模)如图，已知抛物线=2py(p0)与圆0:9+y2=5相交于a,8两点，且A8=4.过劣弧48上的动点尸(.，),作圆O的切线交抛物线上于C,。两点，分别以C,O为切点作抛物线上的切线小4，相交于点M.(1)求抛物线E的方程；(2)求点M到直线8距离的最大值.【例2】设户为椭圆C：+亡=1的右焦点,过椭圆。外一点P作椭圆C的切线,切点为M,若NPEW=90,43则点P的轨迹
5、方程为.【例3】（洛阳一模）若椭圆+=1的焦点在X轴上，过点（1，；）作圆X2+/=1的切线，切点分别为A、3,直线A恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（）22222222a.=1B.2L=1C.+上=1D.工+匕=194455495第二讲双切线模型以及切点弦的应用【例4】过点。（T,一1）作已知直线Ly=x+1的平行线.交双曲线=-J=1于点M,N.44（1）证明：点Q是线段MN的中点.（2）分别过点M,N作双曲线的切线证明：三条直线,，4相交于同一点.（3）设P为直线/上一动点.过点P作双曲线的切线,PB,切点分别为A,B.证明：点Q在直线AB上.【例5】（荔湾期中）已知直线/-）
6、，+3=0与圆Ux2+y2-4y+m=0相交，截得的弦长为0.（1）求圆。的方程.（2）过原点。作圆C的两条切线，与抛物线y=/相交于M,N两点（异于原点）.证明：以MN为直径的圆与圆C相交.（3）若抛物线y=Y上任意三个不同的点?、Q,R,满足直线PQ和依都与圆C相切，判断直线QR与圆C的位置关系，并加以证明.【例6】（武侯月考）已知抛物线的顶点在坐标原点O,焦点尸在X轴正半轴上，倾斜角为锐角的直线/过F点，设直线/与抛物线交于A、8两点，与抛物线的准线交于“点，MF=FB（O）（1）若2=1,求直线/斜率（2）若点A8在X轴上的射影分别为Al4且|6尸|,OF,2AFl成等差数列求义的值（
7、3）设己知抛物线为G:V=X,将其绕顶点按逆时针方向旋转90。变成CJ.圆C2：/+（-4）2=1的圆心为点N已知点P是抛物线CJ上一点（异于原点），过点。作圆G的两条切线，交抛物线C；于丁，S,两点，若过N,。两点的直线/垂直于75,求直线/的方程.例7】抛物线C:V=2px（p0）的焦点为。准线/与X轴的交点为M,点pn,ri）mp）在抛物线C上,且产OP的外接圆圆心到准线/的距离为士.2（1）求抛物线C的方程；（2）若直线P尸与抛物线C交于另一点A,证明：w,+Am4为定值；（3）过点P作圆（x-l）2+y2=的两条切线，与丁轴分别交于。、E两点，求石面积取得最小值时对应的?值.第三耕彭
8、赛列闭合定理平面上给定两条圆锥曲线，若存在一封闭多边形外切其中一条圆锥曲线且内接另一条圆锥曲线，则此封闭多边形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样（切、内外接）性质的封闭多边形的顶点，且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同。最简明的彭赛列闭合定理表示为：一个三角形外接于一个圆，内切一个圆，则外接圆可以有无数个内接三角形满足其内切圆为上述的同一个。彭赛列闭合定理展示了基于圆锥曲线关系上的一种“群结构”关系“彭赛列结构XPonceleltype）,表示为:有一个满一种结构的关系存在，则所有都满足这种结构的关系都存在，可以扩展为更为高维的概念，彭赛列闭合定理只是这种结构关系的其中一种。高考题当中，通
9、常以圆锥曲线内接三角形当中两条边与一个圆相切时，证明第三条边也与圆相切，这里我们就需要用到同构方程，再利用点到直线距离证明其等于半径.【例8】（2021全国甲卷理科20题）抛物线C的顶点为坐标原点。，焦点在X轴上,直线/:X=I交C于P,。两点，且OPJ_。，已知点M（2,0）,且OM与/相切.（1）求C,OM的方程；（2）设4,A2,A3是C上的三个点，直线44，1A3均与。M相切，判断直线4At与OM的位置关系，并说明理由.整套系列资料分17讲见：最新版圆锥曲线专题17之1基础知识最新版圆锥曲线专题17之2焦长焦比体系最新版圆锥曲线专题17之3轨迹方程求法最新版圆锥曲线专题17之4三角形相
10、关性质最新版圆锥曲线专题17之5四边形相关性质最新版圆锥曲线专题17之6圆锥曲线与圆综合最新版圆锥曲线专题17之7抛物线的综合问题最新版圆锥曲线专题17之8齐次化问题最新版圆锥曲线专题17之9曲线系方程最新版圆锥曲线专题17之10切线与切点弦的应用最新版圆锥曲线专题17之11极点极线与定点定值最新版圆锥曲线专题17之12阿基米德三角形最新版圆锥曲线专题17之13定比点差体系最新版圆锥曲线专题17之14不联立体系第一讲一单动点问题最新版圆锥曲线专题17之15不联立体系第二讲一双动点问题最新版圆锥曲线专题17之16不联立体系第三讲一三点共线问题最新版圆锥曲线专题17之17不联立体系第四讲一设点与比例问题
