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1、平面向量知识点总结归纳1、向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为。的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连.平行四边形法则的特点：共起点.(3)三角形不等式：忖-baba+F卜运算性质：交换律：a+b=b+；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；a+O=O+a=a.Aab=aCAB=bC(5)坐标运算：设a=(x,y),b=(x,y),贝Ja+b=(x+x,y+y).11
2、2212123、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.坐标运算：设a=(x,y),b=(x,y),贝Ja_b=(x_x,y_y).11221212设A、B两点的坐标分别为(x,y),(x,y)，则AB，=(xx,yy).112212124、向量数乘运算：(1陕数入与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作Za.IAHNaJ；当人0时，入a的方向与a的方向相同；当入0时，入a的方向与a的方向相反；当人=0时，入a=0.运算律：XPa=(入p)a；+p)a=p；Qb)入+入b.坐标运算：设a=(x,y)，Ma=(x,y)=kx,入y)5、向量共线定理：向量a(a)
3、与b共线，当且仅当有唯一一个实数入，使b=a.设a=(x,y),b=ky)，其中b丰O,则当且仅当Xy-XY=O时，向量a1122”22人b(bo)共线.6、平面向量基本定理：如果e、e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于12这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数入、入，使a二8号+人2(小共121122线的向量e、e作为这一平面内所有向量的一组基底)127、分点坐标公式：设点P是线段PP上的一点，P、P的坐标分别是(x,y),121211牝1)，当PF二现时，点P的坐标是(仔浅2占寮)8、平面向量的数量不：、ab=附卜0894:6轨0共英180)零向量与任一向量的数量积为0.性质：设a和
4、b都是非零向量，则ab-a.b=O.当a与b同向时，ab=|可；当a与b反向时，a.b=-桐；aaW2或同=,abab.IIUI运算律：ab=b.a；%)b=入(a.b】aXb)b+b),c=a,c+b,c.坐标运算：设两个非零向量a=(x,y)b=(x,y),则a.b=xx+yy.11221212若a-(,y),则a2=X+y2,或IaI=JX2+族.设a=(x,y),b=(V),则可b-x1+y1y2=Ea与b的夹角，则设a、b都是非零向量，a=0y),b=(2,y2),Ca.bXXyycos9=r-&工HN.眄，彳恒书平面向毋部础11i口声习平面向星如强点小结一、向量的基本概念1.向量的
5、概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例1已知A(12),B(4,2),则把向量AB按向量a=(1,3卜严移后得到的向量是-结果：(3,0)零向量：长度为。的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量世二)；AB4 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量ab叫做平行向量，记作：ab,规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线
6、向量，但共线向量不一定相等：两个向量平行与与两条宜线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条宜线平行不包含两条宜线重合；平行向量无传递性！(哽殷)；三点A、B、C共线一AB、AC共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量a的相反向量记作.a举例2如下列命题：(1)若|ab,则a=b.(2)两个向其相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.(3)若AB=DC,则ABCD是平行四边形-(4)若ABCD是平行四边形，则AB=DC.(5)荐abb=c,则a=c.(6)若a/b，bc则ac其中正确的是结果：(4)(5)二、向量的表示方法1 .几何表示：用带箭头的有向线段表示
7、，如AB,注意起点在前，终点在后；2 .符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,C等；3 .坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与X轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y),称(x,y)为向量a的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理设e,e同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(A)，使a二格+入学.定理核心：a=eAe;从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成(3)向量的正交分
8、解：当e,e时，就说a=Ae+2e为对向量a的正交分解.121122举例3(1)若a=(i),b=(1,J)，c=(J2)，则C=.结果：；a_；b.4 2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是BAe=(0,0),e=(1,_2)Be=(J21e(5,7)CeW3,5),e=(6,10)D.e=(2,.3),e12121_21224)(3)已知AD,BE分别是AABC的边BC,AC上的中线,且AD=a，BEb，则BC可用向量a,b表示为-F架：a+M.33一一一一一(4)已知zABC中，点D在BC边上，且CD=2DB,CD=rAB+SAC，则r+s=的值是.结果：O.四、实数与向量的积实
9、数入与向量a的积是一个向量，记作入a,它的长度和方向规定如下：(D模：IAal=I入LIal(2)方向：当入0时，N的方向与a的方向相同，当入Vo时，入a的方向与a的方向相平面!J础知i!句；I反，=0时，a=b,注意：Aa丰0.五、平面向量的数量积1 .两个向量的夹角：对于非零向量a,b,作OA=a,OB=b,则把三AOB=：9(0共9共爪)称为向量a,b的夹角.当9=0时，a,b同向；当9=爪时，a,b反向；当9=?时，a,b垂直.2 .平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b,它们的夹角为9,我们把数量Iailblcos9叫做a与b的数量积(或内积或点积),记作：a.b,BPa.b=a.
10、bcos9.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.钠4(I)ZkABC中，IABl=3,AC=4,BC=5,贝JAB.BC=.结果：-9.(2)已知a=(1,),%=(|0,)|，,c=a+kb,d=ab,C与d的夹角为爪，FJk=.结果：1.(2) (l2)4(3)已知a=2,b=5,a.b=-3,则a+b=.结果：.G(4)己知a,b是两个非零向量，且Ial=Ibl=Iab|,则a与a+b的夹角为.结果：30.3.向量b在向量a上的投影：IbIcos9,它是一个实数，但不一定大于0.举例5已知a=3,b=5,且ab=12,则向量a在向量b上的投影为.结果
11、：12.一54 .a.b的几何意义：数量积a.b等于a的模ab在a上的投影的积.5 .向量数量积的性质：设两个非零向量a,b,其夹角为9,贝I：(1) aJba.b=0；(2)当a、b同向时，a.b=|a|.|b|,特别地，=aa=aaJs；a.b=a.b是a、b同向的充要分条件；当a、b反向时，a.b=-a.ba.b=一ab是a、b反向的充要分条件；当9为锐角时，ab0,且a、b不同向，ab0是9为锐角的必要不充分条件；当9为钝角时，a.b0,且a、b不反向；a60是9为钝角的必要不充分条件.非零向量a,b夹角9的计算公式：cos9=ra.b共IallbIaWbl举例6已知a=(入2入)，b
12、=(3入,2),如果a与b的夹角为锐角，则入的取值范围是.结果：入。且3(2)已知AOFQ的面积为S，且OF.FQ=I,若0).用k表示ab；求a.b的最小值，并求此时a与b的夹角9的大小.结果：ab1(kTof-；最小值为咚，4k/9=60六、向量的运算1 .几何运算(1)向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则.运算形式：若AB=aBC=b,则向量AC叫做a与b的和，即a+b=AB+BC=AC；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.平面扁她础知以告JJ1(2)向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB=a,AC=b，则9一b=AB-Ae=CA，即由减向量的终点指向被减
13、向量的线占八、作图：略.注：减向量与被减向量的起点拜同.7(1)化简：AB+BC+CD=1ABADDC,：(ABCD)(ACBD)结果：AD!CB:0：_(2)若正方形ABCD的边长为1,ABa=,BC=b.AC=，则a+b七CJ结果：2(3)若。是ABC所在平面内一点，且满足Lb-oJJobqc-aol,则4abc的形状为结果：直角三角形：(4)若D为ZSABC的边BC的中点，ZXABC所在平面内有一点P，满足PA+BPCP=0,设限=入，则入的值为IPDI结果：2：(5)若点。是ABC的外心，且OA+OB+CO=0，则AABC的内角C为一果：120.2 .坐标运算：设a=(x,y),b=(
14、x,y),则1122(1)向量的加减法运算：a+b=(x+x,y+y),ab=(xXyy).1?JIJ21212举例8已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+AAC入仁R),则当入=一时，点P在第一、三象限的角平分线上.结果：1；2则+y=一结果：已知A(2,3),B(1,4),且JAB=(Sinx1Cosy).x,yq峭(3)已知作用在点A(U)的三个力(3,4)，F=(25)，F=(3,1)，则合力F=F+F+F的终点坐标是结果：(9,1).(2)实数与向量的积：=py)=,).123若A(x,y,B(X)J,则AB=(X24鹏一y),即一个向量的坐标等于表示这个向
15、量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.结果：(1,11 ).(7,9).举例9设A(2,3),(B-1,5),且Ad=BAB,AD.3AB,则C,D的坐标分别是(4)平面向量数量积：a.b=xx+yy2举例10已知向量a(sinx,cosx)，b=(sinsi11),c=(1,0).(1)若x=求向量a、c的夹角；若X仁一3/0,函数仆跑入ab的最大值为J，求入的值.结果：(1)150；(2)1或一2目2.42(5)向量的模：=af=)+y2|a=2+y.举例11已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么a+3b三=结果：13-(6)两点间的距离：若A(x,y1)，B(x&y?,则AB=2)
16、2+(yy)2.举例12如图，在平面斜坐标系XOy中，Oy=60，平面上任-点P关于斜坐标系U的斜坐标是这样定义的：若OP=xe+ye，其中e,e分别为与X轴、y轴同方向的单X位向量，则P点斜坐标为(x,y)./(1)若点P的斜坐标为(2,2),求P到。的距离IPoI；/(2)求以。为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xy中的方程.结尸闾,果：2；X2y2+lxg_=/七、向量的运算律1 .交换律:a+b=b+a,(山a)二(入山)a，a.b=b.a；2 .结合律:a+b+c(a+b)-Gabc=a(b+c),(入a)b=入(a.b)=a.(入b)；3 .分配律：(入山沿入+2山a(a+b)=atj
17、D,(a+b).c=a.c+b.c.举例13给出下列命题：a.(b-c)=a.b-a.c:a.(b.c)=(a.b).c：(a-b)2=a2-2ab+bz；若a.b=O,则a=0或b=0；a.b=c.b则a=c；a2=a2:(g)(a.b=a2.b三：(ab)2=a22a.b+b2.a2其中正确的是结果：.说明：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)：向量的“乘法”不满足结合律,即a.(b.c)丰(a.b).c,为什么?
18、八、向量平行(共线)的充要条件aba入b(a.b)2=(aIlb)2xy-yx=0.1212举例14若向量a=(x,1),b=(4,x),当X=时，a与b共线且方向相同.结果：2.(2)已知a=(1,1),b=(4,x),u=a+2bv=2a+b且u/,则X=结果:4.设PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(IO,k),则k=_=H4-A,B,C共线.结果：-2或IL九、向量垂直的充要条件aJba.b=0a+b=ab|xx+yy=0.1 212特别地(ljj殁L0.BICBIACF11举例15(1)已知OA=(-12)，OB=(3,m),若OAJOB,则m=m=3；-2(2)以原点O和
19、A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，=B=90,则点B的坐标处僚111.(1,3)或(3,一1)；(3)已知n=(a,b)向量nm,且Inl=Im则m=的坐标处.结果(b,a)或(一b,a).十、线段的定比分点1 .定义：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数入，使PP=入PP,121212则实数入叫做点P分有向线段PP所成的比入，P点叫做有向线段PP的以定比为入的定比分1212点.2.入的符号与分点P的位置之间的关系(1) P内分线段PP,即点P在线段PP上一入0；1212(2) P外分线段PP时，点P在线段PP的延长线上一入一1,点P在线段PP的反121212向延
20、长线上1入0.注：若点P分有向线段PP所成的比为入，则点P分有向线段PP所成的比为L1221举例16若点P分AB所成的比为3则A分BP所成的比为.结果：一.433.线段的定比分点坐标公式：设Rr*)1%，)，点P(,y)分有向线段7厂所成的比为入，则定比分点坐标公式为,、+个2(入丰T)y+入y(八干八Iy1+入特别地，当入=1时，就得到线段PP的中点坐标公式12说明：(1)在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,y),(x,y);(x,y)勺意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.(2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和良&,并电显这些点确定对应的定比入.WJ17(1)若M(-3
21、,-2),N(6,-1),且MP=-I钿N；则点P的坐标为结果:(-6,-;33已知A(a,O),B(3,2+a),直线y=1a与线段AB交于M,且AM=2MB,$la=.结果：2或一4.2十一、平移公式如果点P(X,y)按向量a(h,k)平移至P(xny,),则曲线f(,y)=O按向量a(h,k)yr三y+.平移得曲线f(xh,yk)=0.说明：(1)函数按向量平移与平常左加右减有何联系？(2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18(1)按向量a把(23)平移到(1,-2),则按向量a把点(-72)平移到点一络果：(T3)：(2)函数y=sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式
22、是v.=c2tI(LI1)4-十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2模的性质：IlaTblm+b蛀al+lbl.(1)右边等号成立条件：a、b同向或a、b中有O-Ia+bbbkIbI；(2)左边等号成立条件：a、b反向或a、b中有0|ab=a+b|:(3)当a、b不共线一IlalJlbll覆H+b想|a.|+b|.3.三角形重心公式在AABC中，若A(x,y)B(x,y),C(x5y),则其重心的坐标为112233G(XJX2+y1y2y3)IUOyIVOf33 3,3),举例19若aABC的三边的中点分别为A(2,1)、B(-3,4)，C(-1
23、,-1),则AABC的重心的坐标为.结出一5.三角形“三心”的向量表示(1) PG=-1(PA+PB+PC)G为ABC的重心，特别地P4PB+PCG为ABC的3重心.(2) PA.PB=PB.PC=PC.PA-P为ABe的垂心. IABIPC+ 1BCIPA+ICA|PB = O_ P 为 ABC 的内心；向量在直线过aABC的内心.6.点P分有向线段P P所成的比入向量形式1 2设点P分有向线段PP所成的比为入，若M为平面内的任一点，则MP =1 2特别地P为有向线段PP的中点一Mp = MjM?.4+赢(人士。)所入叫UA7.向量PA,PB,PC中三终点A,B,C共线一存在实数a,b,使得PA=aPB+bPC且a+b=1.举例20平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3)，若点C满足OC=AOA+AOB,其中入入=R且入+入=1,则点C的轨迹是结果：直线AB.12
