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1、第2讲空间几何体的表面积与体积必础知识整合|知识梳理1.多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是凹侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图2然.唇.*Oz侧面积公式S圆柱侧=四2/S圆锥侧二置”S圆台例二园兀Q+2）/3.柱、锥、台和球的表面积和体积匕称表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S根|+2S底V=Sh锥体（棱锥和圆锥）S表面积=S根I+S底V=三S台体（棱台和圆台）S表面积=S侧+S上+S下V=（5上+S下+、/S上S下）5球S=E4rzV=三知识拓展1 .与体积有关的几个结论
2、(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.2 .几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为凡球的半径为R,若球为正方体的外接球，则2H=5;若球为正方体的内切球，则2R=;若球与正方体的各棱相切，则2R=i.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,J外接球的半径为R,则2R=a所以这个球的表面积为5 = 42 = 432 = 36.选C. (2020.北京高考)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱+b1+c1.(3)直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线
3、的中点，再根据勾股定理求球的半径.(4)设正四面体的棱长为凡则它的高为手,内切球半径二暮，外接球半径H=乎”正四面体的外接球与内切球的半径之比为3:1.双基自测1. (2020天津高考)若棱长为2小的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12B.24C. 36D.144答案C(25)2 + (2 + (25)22解析正方体的外接球半径等于正方体的体对角线的一半，即R=柱的表面积为（）侧（左）视图B. 6 + 23D. 12 + 23A.6+3C.12+3答案D解析由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面均为边长为2的正方形，则其表面积为S=3（22）+2（22si
4、n60oJ=12+2i故选D.3. （2020.浙江高考）某几何体的三视图（单位：Cm）如图所示，则该几何体的体秋单位：cn?）是（）47，4a3bTC.3D.6答案A解析由三视图可知，该几何体的上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱,且棱锥的一个侧面垂直于底面，棱锥的高为1,棱柱的底面为等腰直角三角形,棱柱的高为2,所以几何体的体积为;义（卜2x2=cm3,故所求几何体的体积为（12小-目cm3.14. （2019全国卷川）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-AiBiCiDi挖去四棱锥。-EFGH后所得的几何体.其中。为长方体的中心，E,F,G,”分别为所
5、在棱的中点，AB=BC=6cm,AAi=4cm.3D打印所用原料密度为0.9gcP,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g答案118.8解析由题意，知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm,故V挖去的四棱锥=gxX4X63=12(cm3)又因为V长方体=6X6X4=144(cm3),所以模型的体积为V长方体一V挖去的四梭锥=144-12=132(cm3),所以制作该模型所需原料的质量为1320.9=118.8(g).15. 已知四棱锥的底面是边长为也的正方形，侧棱长均为小.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体
6、积为.答案J解析由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线长的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长为啦，所以底面正方形对角线的长为2,所以圆柱的底面半径为行又因为四棱锥的侧棱长均为5,所以四棱锥的高为(5)2-l2=2,所以圆柱的高为1.所以圆柱的体积V=16. (2020.河南八市重点高中联盟测评)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为,若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为.答案33费解析该三棱锥侧面的斜高为.（卜小+12=芈,则Sl）JJ=3X.2x=23,S底=gx小X2=5,所以三棱锥的表面积S
7、表=25+5=35.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大.设三棱锥的内切球的半径为r,则三棱锥的体积=；S表/Js底1,所以35r=5,所以r4,所以三棱锥的内切球的体积最大为Vma=r3=.正住）视图侧（左）视图17.如图所示，在三棱锥尸-ABC中，外，平面48C,AClBC1。为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示.求证：AzU平面P3C;(2)求三棱锥。-ABC的体积.解证明：.以1平面48C,.PAVBCyPAlAC,XAClBC,ACHPA=Ai8C，平面R1C,又AOU平面RIC,.BClAD.在RlZC中，=AC=4,。为PC的中点，.ADLPC.
8、BCQPC=C1.AQl平面PBC.(2)由三视图，可得8C=4,由(1)知，MlAC,。为PC的中点，8CJ_平面以C,又三棱锥D-ABC的体积即为三棱锥B-ADC的体积，/.Vd.abc=Vb.adc=；XTXgX4X4X4=竽.18.现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-AiBiCiPi,下部的形状是正四棱柱ABCo-48CQ（如图所示），并要求正四棱柱的高。是正四棱锥的高POx的4倍.(1)若A8=6m,P0=2m,则仓库的容积是多少？若正四棱锥的侧棱长为6m,则当POl为多少时，仓库的容积最大？解(1)由POl=2m,知QO=4PO=8m.因为AiBi=A
9、B=6m,所以正四棱锥P-AllGQl的体积V锥=热醉POI=622=24(m3).正四棱柱ABCD-ABCD的体积V柱=AB2OiO=628=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).设481=Qm,P0=?m,则0z6,OiO=4?m.连接OiBi.因为在RlAPOiB中,O1Bt+PO?=PB?,BP02=2(36-A2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=标.4%+；/.力=争办=穿(36-/P),06,从而S=y(36-3A2)=26(12-2).令V=0,得=25或6=-2小(舍去).当00,V是单调递增函数；当25辰6时，S0,是单调递减函数.故力=2小时，V取得极大值，也是最大值.因此，当POl=2巾m时，仓库的容积最大
