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1、第七章多元函数积分学7.1二重积分(甲)内容要点一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题模型I：设有界闭区域o=(yWb,0G)y02()其中心(x),%(x)在,加上连续，/(x,y)在。上连续，则b(a)qf(x,y)d=f(x,y)dxdy=dxf(x,DDal(x)模型【I：设有界闭区域o=(xy)cyd,O(y)则 /( y)d =/(x, y)dxdy = y /(x, y)dx其中%(y),外。)在匕刈上连续，在。上连续关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II,把二重积分化为累次积分从而进行计算,对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模
2、型11中关于D的要求，那么就需要把。分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求,利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和,而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段,具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D,然后根据D再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定。对7进行积分，然后再对。进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。模型I设有界闭区域D
3、=,)a,)1S其中科(O),02(6)在,上连续，f(x,y)=/(/cos6,ysin。)在O上连续。的(0)f(x,y)d=/(/cos,sn)dd=df(/cos/sin)d例模型II设有界闭区域O=(y,6)e/?,Oy0(6)其中夕(6)在,0上连续，f(x,y)=/(ycosysin6)在。上连续。JJf(X,y)d=IJ/(CoSa/sin)dd=JdeJ/(yCoSa/sin)d（乙）典型例题一、二重积分的计算x3dr+(2-x2)2dr=+y例3求，=1J(F+y2+y)d(Dd,2+4(xl)2+y21解一：JHJ-JTDDkn4+y2+yd=+yd。+0(对称性)D大I
4、fl%(Sl16一22=Jdr2dr0O3#.2_2COwP=yx2+y2d+0=dr2dr=D小网D小现巴。92.JJ.+y2+y)d弋(3万一2)解二：由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知JJyd=0Dyx2+y2d=2yx2+y2dDDt原式=2yx2+y2d+yx2+y2d_Di.lDi.2.=2=2Zr 2 r1d-d J r2drK-2 cosJ(32)解 原式=7(,y)atdy二、交换积分的顺序2aJ2at交换dxjf(x,y)dy的积分顺序0其中D由y=y2ax-x2和y=12aX以及x=24所围的区域。=QuD2“3y=2ax解出X=匕由2ay=7lax-x2W出X-ay
5、a2-y2因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得a 2a f(x9y)dx+dy _f(x,y)dx2a2a/(x,y)必:+yj22.2a例2设/(y)连续，证明a-ya2-COStaf=f,(y)dydt=句fy)dy=f(a)-/(0)-COS/22三、二重积分在几何上的应用1、求空间物体的体积例1求两个底半径为R的正交圆柱面所围立体的体积解设两正交圆柱面的方程为f+y2=R2和f+z2=R2,它们所围立体在第一卦限中的那部分体积V1=yR2-x2dxdy其中。为0xR,OyyR2-x2R0)所围(包含原点那一部分)的体积解V；=4jy4R2-x2-y2dxdy其中。为孙平面
6、上y = 42Rx-2与x轴所围平面区域用极坐标系进行计算7.2三重积分(甲)内容要点一、三重积分的计算方法1、直角坐标系中三重积分化为累次积分(1)设C是空间的有界闭区域O=(x,Xz)zl(x,y)zz2(x9y)9(x9y)d其中Z)是孙平面上的有界闭区域，Z(x,y),Z2(x,y)在D上连续函数/(x,y,Z)在。上连续，则OJ/(R,y,Z)小=JJafyJf(,y,z)dzDz(x.,)设C=(x,y,z)zA(%,y)ZXz)其中。为竖坐标为Z的平面上的有界闭区域，则J/(x,乂z)du=Jdzjf(x9y,z)dxdyaD(z)2、柱坐标系中三重积分的计算相当于把(,y)化为
7、极坐标(小60而Z保持不变p0、Q2 jJjJ/(x,y,z)dxdydz=JjJ/(rcos,rsinz)rdrddz3、球坐标系中三重积分的计算X=夕SineCOSe+乡+=1所围的区域JNabcabc解令x=apsin0cos,y=bpsinsin,Z=Cy?Cos。2222-1则(-+=+j)dxdydz=abcdsindpdp=abcQabCooo5例3计算JJJX2+y2+z2Mz,其中C由曲面冗2+y2+z2=Z所围的区域解用球坐标12CosGJX2+V+ZIdXdydZ=ddp3sindpOOOCOS5 52 =10o1 3TT=2cos4sind=七2例4计算JJ（f+y2的
8、ydz,其中C由曲面入丫2=2z,z=2所围的区域2万2222解JjJ(x2+y2Mxdydz=drydrdz=2-(2-)r3Jroo二o2T二、在物理上的应用丫2y22例1求椭圆锥面r+J=和平面Z=C围成物体的重心（设密度均匀恒为1）abc解设重心坐标（x,y,z）物体所占空间区域为C由对称性可知/=0,y=0jzdxdydzjjdxdydzn由锥体体积公式可知dxdydz=TUibc令X=arcos0,y=brsiniz=Ct211而JJjZdXdydZ=abc2JdNMdtdtCRI-)=2abc.abc2ar=4因此，重心坐标X=0,y=0,z=4例2设有一半径为R的球体，工是球表
9、面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到巴的距离平方成正比（比例系数QO）,求球体重心的位置解一：设球面方程为J+y2+z2=R2,Po为（ROe球体C的重心坐标为（ZH）由对称性可知y=(),Z=Ox(x-？)2y2+z2vX=-J-R)2z2Wv由区域的对称性和函数的奇偶性，则有-2RJjpdU=OMX2+R2+y2+z2dv=0于是J(%-R)2+y2+z2dv=JJ(x2+z2)v+R1Jdv=Jdp4sindpR1=-R5ooo315j4U-R)2+y2+z2tv=-2Rjx%u=-(x2+y2+z2)dv=-RfJa15_RR因此X=-2,重心、坐标为一令,0,0)44解二：设球
10、面坐标x2+y2+(z-R)2=R2,P0(0,0,0),重心坐标(My,Z)由对称性可知x=0,y=()zkx1+y2+z2dv2 =-kx2+y2+z2dvn222Rcosff+2+z2dv=4ddp5cos0sindp000=tcos7Osind6=-63 3222Kcos6q,JjJ(x2+y2+z2)Jv=4dp4sindp=-7R5ooo155S于是z=-Rf重心坐标(0,0,R)447.3曲线积分(数学一)(甲)内容要点一、第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)参数计算公式我们只讨论空间情形(平面情形类似)设空间曲线L的参数方程=(ty=y(tz=z(t(at)l则(x,z)ds=J
11、fx(t),y(t),z(t)Nx0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有，吗器竽虫=O；()求函数9(y)的表达式。(/)证如图，设C是半平面x0内的任一分段光滑简单闭曲线，在C上任意取定两点M,N,作围绕原点的闭曲线MQNRW,同时得到另一围绕原点的闭曲线MQNAM.根据题设可知y)dx+2xydyrydx+2xydyJ22+V4J2x2+V4MQNRMyMQNPM)根据第二类曲线积分得性质，利用上式可得rydx+2xydyJC2x2+y4py)dx+2xydyydx+Ixydy：J2x2V4-+J-2x2+V4-NRMAyMPNA)py)dx+2xydyyyjdx+IxydyJ2x2+V4J2
12、x2V4NRMA)NPMJpydx+2xydy(y)dx+2xydyJ22+V4J2x2+V4MQNRMJMQNPMJ=O解：设p=JQ=RQ在单连通区域内具有一阶连续偏导数。由(/)知,曲线积町喏毛笋在该区域内与路径无关,故当x0时,总有学二”xy8Q_2yQf+y4x2孙-4y+2y5(2x办(2x2 + /)2(2x2 + /)2比较(1)、(2)两式的右端，得“3 = -2)，(3)Wy) V -4w(y)y3 =2y5(4)由(3)得 (y) = -y2+c ，将 e(y)代入(4)得 2y5-4y3 =2/ ,所以c = 0,从而0(y) = -y2三、应用22例 在变力F = y
13、zi + zx +盯Z的作用下一质点由原点沿直线到椭球面W + + =a b C+y解：设线段OM的参数方程x = 4,y =中,z = ,(0fl),则/在OM上作功)(2/+,4)-用拉格朗日乘子法求条件极值。构造函数GO Ooo4= 2 4 4 F 2h322F空2C2 一 - - - g- 4 若名切 - - - = a a G4X+ x(2)+ 7x得 3勿7+2；I(T) = O(5)朋_d(y)(2宗+力49(y)y3_2V(y)+(y)y，403y3由(1)得喈=*代入(5)得2=y ,则 = y,7.4曲面积分(甲)内容要点一、第一类曲面积分(对面积的曲面积分)基本计算公式设
14、曲面S的方程z=z(x9y)9(x,y)Dz(x9y)在D上有连续偏导数，f(x9y9z)在S上连续，则(乂z)5=x,z(,y)这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算二、第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)Pdydz+Qdzdx+Rdxdys基本计算公式如果曲面S的方程Z = Za,y),(x,y)%Z(x,y)在Ay上连续,R(X,y,z)在S上连续,则JR(x,y,z)dxdy=Rx,y9z(x9y)dxdy若曲面S指定一侧的法向量与Z轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分曲面积分化为Xy平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。三、两类曲面积分之间的关系 pdydz + Qdzd
15、x +SRdxdy=JJPCOSa+QCOS+RCoS丹dS其中cosa,cos,CoSy为曲面S在点(x,y,z)处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余令/=P,Q,R,h0=cosa,cos,cosjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJFndsss四、高斯公式定理设Q是由分块光滑曲面S围成的单连通有界闭区域，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在C上有连续的一阶偏导数，则fff-+)jv=Pdydz+QdzdxRdXdyJJJlaXyz)(外侧)=JJPcos+Qcos尸+RcoslSS其中COSa,cos0cos为S在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦五、斯托克斯公
16、式定理：设L是逐段光滑有向闭曲线，S是以L为边界的分块光滑有向曲面，L的正向与S的侧(取法向量的指向)符合右手法则，函数P(X,y,z),Q(x,y,z),R，y,z)在包含S的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有J/Pdx+Qdy+RdZ=Jj也可用第一类曲面积分cosacoscos/fPdx-YQdy+RdzdSJLxyzPQR六、梯度、散度和旋度1、梯度设=(x,y,z),则gr.du=称为U的梯度，令二(,是算子xyz)则gradu=Vw2散度设r=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)则 divFPdQRDL+=VFxyz称为F的散度高斯公式可写成divFdv=F%
17、dS(外侧)S其中O=(CoSa,cos,cos/)为外侧单位法向量3、旋度设户= (P(X, XZ),。(无,y,z),R(x,y,z)称为F的旋度。斯托克斯公式可写成Fdr=J(mrF)&dSs其中dr=(公,6,龙)，o=(cosa,cos,cosy)(乙)典型例题一、用基本公式直接计算曲面积分22例1、设S为椭球面+5+z2=的上半部分，点P(,z)s,乃为S在点P处的切平面，P(KKZ)为原点到万的距离，求JJ-ifdsspyz)解：先求出夕(XXZ),设(x,y,z)为;T上任一点，则淄方程为X(X-X)+y(Y-y)+2Z(Z-Z)=O即-x+r+zZ-=o22P(X,y,z)o
18、+o+o-y由S的方程Z=2Jz2ZJJ+z214-x2-y于是=Jl+z2,-(+)这样,就公山!(If区域D”2+y2(JJ)2所以原式二；J； -r2)rdr = 7r 二用高斯公式计算曲面积分例1计算/ = JJaxdydz + (z + aYdxdy(八。常数)Z2其中S:Z = -Ja2一彳2一,2上侧色0)1*2 -1- 2 0内任意光滑有向闭曲面S都有0xfxdydz-xyf(x)dzdx-e2xzdxdy=0其中F(X)在(0,位)内有一阶连续导数，且Iimf(x)=1,求/O)解：设。为由曲面S包围的空间区域，由题设和高斯公式得vz+/(X)-Xf(X)-e2xlv=0由于
19、S的任意性，可知O时V(X)+/(x)-Xf(X)一/=0即微分方程:小)+加加卜o)得出通解f()=-(ex+c)X工4-cpxC由Iim=1则lim(e2x+cex)=0x0XxO得c+1=0,C=-I,则)=J(-1)X三、用斯托克斯公式例】SF=2yi+3xj-z2k.三S2+/+z2=9WH,求/=Jr尸s解：根据斯托克斯公式/=/曰力*=2必+3Wy-Z2必其中L为S的边界曲线22cX+V=9y(逆时针方向)z=0取L的参数方程x=3cosO,y=3sin8,z=0,舛K)至j2r则=2j(-9sin29M9+3(-9cos2)d=-+11=9例2计算/=，(丁一z?)公+(2z2
20、-x2)dy+(3x2-y2)dz,其中L是平面x+y+z=2与柱面IXI+y=l的交线，从Z轴正向看去，L为逆时针方向。解：记S为平面x+y+z=2上L所围成部分的上侧，。为S在刀坐标平面上的投影，由斯托克斯公式得-4z)dydz(-2z-6x)dzdx(-2x-2y)dxdy2=-r=ff(4x+2y+3z)dsJ3s=-2JJ(x-y+6)dxdyD=-12tZrJy=-24D(ds=Jl+(z；)?+(z；)2dxdy=NdXdy)四、曲面积分的应用例设有一高度为Kt)(/为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程2(2+V2)z=h(t)-一L(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已
21、知体积减少的速率h(t)与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少时间？解：记V为雪堆体积，S为雪堆的侧面积，则V=fJzdxdyx2+y22()-(r)z二C打V)_Mr)ZkZ苧,4S=y+(zfx)2+(z,y)2dxdy2竽16(x2 + y2)ht)dxdyCJ-2IO”力()7=疝JJy*)+16/Mr3h2(t)12-由题意知=-o.9s,所以幽2=-U,因此z(f)=-12f+cdtdt101013由(0)=130,得=-3+130.令=0,得f=100(小时).因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时。五、梯度、散度和旋度例1设
22、r=xi+yj+ZzT求使力Wga/)=0解：gradf(r)=ff(r)-i+-j+-k,rrr2diigradf(r)=*(r)fr)-=0,r求出微分方程的通解/(r)=G+生，其中G，G为任意常数r(3) rot(gradu)例2设=Inyx2+y2+z2,计算(1)gradu(2)divgradu)解：(1)u=(lnC+y2+z2),则gzrZdW=I粤-(x,z);2xoyOz)x+y+z2u_12x22u_12y2x2X2+2+z2(x2+y2+z2)2y2x2+y2+z2(x2+y2+z2)12z2z2X2-Vy2+z2(x2+y2+z2)2.,.u.u.u.2u2u2udv(gradu)=()+()+()=-+-+-于Txxyyzzx2y2z232(x2+y2+z2)-1=-+y2+z2-(2+y2+z2)2=+y2+22iJkgg色rotgradu)=xyzuuuxyzzyyz)xzzxJ,zIeyeXxy上第一卦限的点知依4)问4力取何值时，户作功W最大，并求叱VV=j_Fdxi-st-dyj+dzk)=J_yzdx+zxdy+xydz=3t2dt=
