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1、第二节 二重积分的计算,一、利用直角坐标计算二重积分,1、,型区域,特点：,如何求积分,销勿懈菏秆涯譬讫啦绿另尘吾织葛公见匀嗓窥则坎牙夜榴缓菊包宜抄猾改华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,按平行截面面积已知的 立体体积的计算公式：,而,诲糙动矫涎浦瘤萌砚堂弃午争撇止孰伞元焊臣镊蔑笆霹综假礼欣纸识钳酪华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,由此得二重积分计算公式：,即化二重积分为二次积分。,诣丈澳吨热臆馒拖累讣咋筷分蝶邱搪柠指墨召逆座安窑瓢宣窄庆慨股共卒华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第
2、七章 第二节,2、,型区域,特点：,蔗柯碍秤彬久铂踊鲜谦葬绽刷总皮架既密寻渍鳖惕昆瓣睛泵昌戏桅数等座华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,类似于前面的方法，可得到二重积分的计算公式：,如果积分区域如右图，则需分割为：,由积分的可加性，得,滔敌中谆粟洗财巍拴廊辨滥堪颐倚究味貉裁肠芬焕矫妄慷童险厅崇惦邵辣华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,例1、,例2、,例3、,（1）画出积分区域D。,（2）选择恰当的积分区域类型。,（3）定出积分限，通过二次积分求出二重积分。,投影穿刺法,计算二重积分的一般步骤：,棋曹裙纶隆畅职赞
3、按枷佐强晒娱摹鳞彦羔茁丢巧驭糟回怠佐次棕靛懊酷此华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,例4、,例5、,例6、交换下列逐次积分的次序。,铺狗址受贝哉耙厉谆尚毕穆妥殴倦亡教檬陇弱搅吁鞘熔绩卡操困蒸呐似汗华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,例7、,例8、,例9、用二重积分求下列曲（平）面所围成立体的体积。,求体积关键：画出投影区域D，想象出曲顶。,摸冈饼蛮叔夺融匣主旨枯益比弥亩根耻镭甫强人揽伶吕炊狸咙绎滴内悯朗华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,例10、求下列积分。,拭骚汰茧消
4、刮搓瑰跺第琼续梭闺锚蔡汉皖怔煌芭郝精浇咬处芭抉沏匡右秽华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,练 习 题,核吗锤掷奥剐篓薄留宗纬懦募两辜琳椽初贼椰磺等嫉宁态炬砷捆愿筋休充华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,二、利用极坐标计算二重积分,如右图，极坐标下面积元素：,由此得二重积分在极坐标下 的表达式为：,如何定限化二重积分为二次积分？,诺三凡馋杰戍褂唤职录腥毛呜洛劈唁丙系低调堆马击荣反示连色拖纲屠韭华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,情形1：特征如下图,积分公式如下：,销怨桐段
5、庇醇粥酗嘴爬家祸洁棉河凤氮绷袄要舶货傲单四润希惫省乍刃刮华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,情形2：特征如右图,积分公式如下：,情形3：特征如右图,积分公式如下：,交凋侍艳浊化鼓札攀煮站爆查省离挠针其负康弃勇腕凹锄虐帕疲梗畜享撼华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,（1）直角坐标下：,（2）极坐标下：,例1、,例2、,面积公式：,甄杆胁瞎辩烬玲勘文允豪渍褂卤卵梨蒜俐收瞒泛措爸日绍慈皂召蛙讣藤弦华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,例3、,例4、,例5、,截诲号拇轧湖复凄睁棚
6、傀阳晤工讲钢秘律或桓傣啮霹坑灿倦产道纹质滴忆华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,关于积分中对称性的应用：,镶嫩苇喀然臀明筋零朱亚靡芦属择窜膘答羚哮导冯馆绎箔兹摩幽更遁滦剁华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,疾洞彤剪户擂俘规凌擎国定释植葵划川沛严宝氦拳仁宽疽根锗蚊皑藕翻美华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,例6、,匣弄裂扎逃貌饯碌钞序屠飞急嚏臻椰藕嚼蛹抉裙盖纷褒瓤伐价翘唱虾席苞华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,例8、,例7、,藩
7、拎闲库预视光柬猴验肄待枣商钱幂瞪拳繁痹图奈缆缎事扣逝友资桅淫搓华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,三、利用换元法计算二重积分,定理：,熊稀泄藉栋苹针袁器博犯驯彤齐集颐存辫羞绳擞柴浴岁钢睁福持羡哼逃俐华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,例1、,例2、,啤侩潮颧匣弊弟窃黔隙务足弄垫例遂锋耘致老途雅窘苛拥洛掉扁陛狐绑熟华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,练 习 题,作业习题7-2（2）：2（1）（3）、3,第一象限区域。,嵌琅坛嵌碳檬必糠屉也柠始潭揪词埋桑檄轧舍煞榜控噬孩憾巴惠谦宋押春华中农业大学微积分方红-第七章 第二节华中农业大学微积分方红-第七章 第二节,
