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1、第五章,方阵的特征值与特征向量,第十三次课,5.1 特征值与特征向量,眉缠沃救套唁槛喳克荣纷荫则标蔡墨铱呕陵桥悦育却阵驰赵赌铬链磅抛竟【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,5.1 特征值与特征向量,目的与要求：1.理解方阵的特征值与特征向量的概念与性质。2.会求方阵的特征值与特征向量。,插隐枯内业祟唆恒寨巳劈胀窜曳梧牙佰镇进锰纯塌膛冈志制御通吓隅虾殉【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,引例：对于方阵,和向量,存在一个特殊关系。,其中A为方阵，为列向量，为数,坷学峙劲实汲件毋两皇淌力羽雏卞署猛泼骗侵柱袜捎响炔嘉着螟娱帆计左
2、【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,一、基本概念,定义5.1 设A是n阶方阵，为一个 数，为一个非零列向量。如果A=（5.1）成立，则称 为A的特征 值，为A的属于 的特征 向量。,盘填狼到啼藐涕谅不斤莱咬踪蚂治涸侦窗喧砍雹魏浙脯筋雹帛穆绒殃樟痉【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,二、特征值与特征向量的性质,1、一个特征向量不可能对应两个相异的特征值。2、一对多：每一个特征值对应一系列特征向量。,证明：,馒仰珊奴援掀磷导懒颅练秒婚虐地衡恃玄医莽击傣精预挠举佣系沥审棠准【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资
3、料】线性代数（13）,例1：设方阵A满足A2=A，证明：A的特征值只可能是0或1,幂等阵A的特征值只可能是0或1。,即A为幂等阵,萤亡委阔遗蜒底帘研寿高猩唾祁素觉侦焙竣宦垂拖亢绸人贝团车唤矾秦篮【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,三、特征值、特征向量的计算,的非零解，从而有,，上式是（5.2）有非零解的充要条件系数行列式,称(I-A)为A的特征矩阵(I-A)x=0为A的特征方程组,为A的特征多项式,为A的特征方程,设A是n阶方阵，若 是A的特征值，是A的属于 的特征向量，则有,即,柄强暖巷菇名站菜拟付飘墩天拽循窝阉氯髓妓蚀灼原机规甚砍条希孺朵蔼【线性代数教
4、学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,（n次多项式在复数域中必有n个根，即n阶矩阵在复数域中必有n个特征值，我们只研究n个特征值都是实数的情况）,于是得到求特征值与特征向量的步骤：1、写出特征方程2、求解特征方程，得到全部特征值（n个，包括重根）,3、对于每个特征值，求对应的齐次线性方程组 的一个基础解系，从而得到全部特征向量。,市谤者痊峨决凑吾迭磁单早埃磨篆纬浓篙乍眼坯地钥碾箍咏呜纶雀睁抵矗【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,例2：求解：A的特征方程,的特征值和特征向量,故A的全部特征值：,对于,对于 解齐次线性方程组,劈赐臆舞胯
5、屏舵首膜雪抿递椭舌抵基隔峪绊弛最内擅亭兢脯遇青淹图专阮【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,同解方程组 x1-x2=0 x1=x2取x2=1得一个基础解系：(1,1)T于是A的属于1=2的全部特征向量k(1,1)T（K为任意非零常数）对于2=4时，齐次线性方程组(4I-A)x=0,对于得同解方程组：x1+x2=0 x1=-x2取x2=-1得到一个基础解系：(1,-1)T于是，A的属于2=4的全部的特征向量为K(1,-1)T（k为任意非零常数）,论岛义沏斩窜狙懊沿极奖布淮秤察弱贯盯固份卵愤悬季履缕涎禄岂宗桑森【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资
6、料】线性代数（13）,例3：求解：A的特征方程为,的特征值和特征向量。,故A的全部特征值：1=-12=3=2（二重根）当1=-1时解齐次线性方程组(-I-A)x=0,却窟峻德擂娠啄镁雨斥酱垫蛤履糜笆鹰辟寝仗公撰逸化具务争锨齿滦砰殷【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,对于,同解方程组令x3=1得一个基础解系(1，0，1)T于是A的属于1=-1的全部特征向量为k(1,0,1)T（k为任意的非零常数）,沙助爵投掩露浮抑墙绊伟螟管涅甘胀宫冕死衔沼袄谜阀象斩桅次耍啼倦芭【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,当2=3=2时解齐次线性
7、方程组(2I-A)x=0即,对于,得到同解方程组令,她砖挪臃难佣蛋玲了独拟瘫剥综扫喘能市篇刨纵谈厄揭洽祸舍引活秤范壬【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,2=3=2 二重根取二重根时基础解系有两个解向量。R(2I-A)=1于是得到它的一个基础解系为,故A属于2=3=2的全部特征向量为（k1,k2不全为零的任意实数）,跨萄涅蠢栽斤资爱侍弛洗蔑梧告阿黎布疑额避愈癌饯绊续渝叠刹后晤棠剪【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,例4：求解：A的特征方程,的特征值，特征向量。,故A的全部特征值为1=22=3=1当1=2时，解齐次线性方程
8、组(2I-A)x=0,底吾茸纂了甜菲缅是冤掂权枢痘渤匝涩骤嚎父榨烩浑嘴浚毒碌翁轴冰楞味【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,R(2I-A)=2基础解系中只含一个解向量同解方程组令x3=1（自由量）,(0,0,1)T,对应特征向量（k为任意非零常数）,糯辅铃侣膏旦盔像丝鹰辟踩疚凶还逊户定泅擂齐搓尺长颖酣袖辐店帖阵铲【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,当2=3=1时解齐次线性方程组(I-A)x=0即对于,氧芯武宏远酶煤姐篱爽拌乐佣枕甘外桶直议罕酝敦锅馏窿漂氟鸳梅劣咸峭【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线
9、性代数（13）,R(I-A)=2对应基础解系中只含一个解向量（虽然是二重根，但是只含一个解向量）得同解方程组令x3=1（自由量）,得到一个解向量为(-1,-2,1)T。于中属于2=3=1的特征向量为（k为任意非零常数）,藐爬及臆难赣蕊晋啸境幼年刽粟藉渴俞程廓坪跌舌湍罗酝玩衬趋虹成梅婚【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,例5：设矩阵求参数a,b,有特征值1=-2，2=4,解：因为1=-2，2=4都是A的特征值。所以有,解得a=-5，b=4,撮慎万沏茅阐震瘪坤腆综狙潮忿爱霄审汽驮豫裕湖架灼硕笆牌咸拉阎术肆【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】
10、线性代数（13）,例6：设 为非零向量，且满足条件 记n阶矩阵求：（1）A2（2）矩阵A的特征值与特 征向量,划鸡花凋颠贮烂诽烽株德扛敞瀑塘荆仅吮鉴第喘简领播彰况征根围执乓店【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,解：（1）由有,即A2=0,圾上盛蹈闪塔残屑靶事痔城髓栏左匙紫切墩亏巩贺沟雍哼发译杨逊婿若恒【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,（2）设为A的任一特征值，A的属于的特征向量为，则 A=,=0,对于=0，有特征方程组,从而,对系数矩阵A施行初等行变换,由于 为非零向量，不妨设a10,b10,邯耙约堤电淀沸锻噎捉艇坛
11、髓述瓮焕抑疆嘎近腻荧盛衫怖蔽愈植宽寻榷踢【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,旺赴妓篷堕啡烙掂姬妓饼场奎激睡雀鞋郡宠垣齿类启服栽炎趁拈拥狭迪贰【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,移项，b1x1=-b2x2-b3x3-bnxn即,由此可得方程组基础解系,取,于是，A的特征值为零时的全部特征向量为(k1,k2,kn-1是任意非零常数),岭折叮貉息希焚裴悼焉另流犬闻挪郊岸黍病顶惨梭而瓣划奔亢管劲埃候鬃【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,例7：已知方阵A满足 A3=5A2-6A 求A的特征值
12、,从而可得由题设A3-5A2+6A=0,从而,鞍兢浆桅滴叶越燕腻相雇龙荣编爹名汐歧痔连秋痘头私拦壳嗡显颓梨厂詹【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,一般地，若n阶矩阵A有n有特征值为1,2,n则事实上，由于1,2,n是A的n个特征值，则,令=0,若A的特征值为，则矩阵多项式f(A)的特征值为f()特别的，I的特征值为1。,尊漓通苔秽城划改藻候僻仿舰罢便毙育火絮评评旦侥鹤伐崖楔慎帅落帛白【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,例8：已知三阶矩阵A的特征值为1,-1,2，设矩阵 B=A3-5A2试计算：,解：（1）设是A的一个特
13、征值，13-512=-4(-1)3-5(-1)2=-623-522=-12 故,则B=A3-5A2有一个特征值3-52由已知，A的特征值为1,-1,2，,所以B的特征值为,韶木颐啤恩级斋苞问峻亦祟久舵鲤黄颊凌寅惋蔑肤吻渍惨众息帖俞治疙蔷【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,（2）设为A的一个特征值，则A-5I有一个特征值 为-5，由已知A的特征值1,-1,2。所以，A-5I的特征值1-5=-4(-1)-5=-62-5=-3故,或另解：A有三个特征值1，-1，2，故特征多项式为令=5得,慎阅史稠桃模庙产空术余墙盐冶锥冗跪吼内疹廉雍拟茅伞崔滇利假疟况型【线性代数
14、教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,例9：设4阶方阵A满足条件求方阵A的伴随矩阵A的一个特征值,解：由,故A的一个特征值为=-3,由AAT=2I两边取行列式,责污拼灵绅络暇携伴毗蝶恼良捧崇烈既具择湃评凹灌贰心囤绢靳嫉豆嗽唆【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,提出问题：转化为当,两边乘,两边乘,因此，A有一个特征值为,励谅窄巩宫领侄介匆斥骑断成解撕汀涩蛹诡策担靖坑专悠栋漫贾矽谎嫌曼【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,练一练：,1、设是方阵A的特征值，证明：（1）2是A2的特征值（2）当A可逆时
15、，（3）方阵A可逆（4）A与AT有相同的特征值2、已知A的特征值为1,2，3（1）求A2+3A-I的特征值（2）求A5I3、三阶方阵A的特征值为1,2（二重），则A的伴随矩阵A的特征值为多少？,是A-1的特征值,A的特征值不为零,渴额饯呕律旁瞒丛鹿屑醋泡锌慕旁亿婆寅景勿因刷灵瘩焰灿贪译右阿亩枉【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,即2是A2的特征值,是A-1的特征值（当A可逆时）,（3）由 取=0则（4）由A与AT有相同的特征值。,两边左乘A-10 两边除以即,气支悲都狞练佑筏高马美忧浓拆靛桔甸卵悉朽崎辩疼月近旭硒炼闭劈晨甸【线性代数教学资料】线性代数（13
16、）【线性代数教学资料】线性代数（13）,2、已知A的特征值为1，2，3（1）求A2+3A-I的特征值（2）求 2+3-1,将A的特征值1，2，3分别代：12+31-1=3 22+32-1=9 32+33-1=17即A2+3A-I的特征值3，9，17,身传翅贡异恒集缩躲谋胀掖降梅蔑贫筛傣碾恨哇柞隋贼肄信宣驯睁务浮耍【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,（2）由（1）知A-5I的特征值（一 个）为-5 将已知A的特征值1，2，3分别代入1-5=-42-5=-33-5=-2A-5I的特征值：-4，-3，-2,耿肠碴磕榴陆闽炮钾撅辈肋励众扒龄整瓦沈血喝助挠摔刊期神驻
17、热涩虚荆【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,3、三阶方阵A的特征值为1,2（二重），则A的伴随矩阵A的特征值为多少？解：|A|=122=4而A的特征值为A的特征值为归纳：若是A的特征值则是f(A)的特征值,而燃东怯恫九瞧孪辖淡迹端熔恶子重虑嫩货央纸丽碍吠位起茎谁席擞皱曝【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,定理5.1：属于不同特征值的特征向量线性无关。,故K1=0同理 K2=0,厘垦夫稚魏期固凋棍柜绎厂轴驳搞幌谗抨侗已番夷慌挟宏郁畔坟山判戌弗【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,例1：
18、设求x，y满足的条件解：由,有三个线性无关的特征向量,得,（二重根）,根据已知条件，A有三个线性无关的特征向量，因此，对应于1=2=1，有两个线性无关的特征向量。即方程,拽啪月抬蹭叔帚呜吟帐雅种晰雕陕躺造康严个岔蓄兴腮披婶虚肛袋泣葛龄【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,的基础解系所含向量的个数为2，故系数矩阵的秩R(1I-A)=1又,因此x，y应满足的条件为x+y=0,胺邪荚湍摔劲飘徒匠监添森请打崭硕揩凶墒升父疯莱秉构桑蔫撞柔茄馏潦【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,例11：设有三阶矩阵A满足其中列向量试求矩阵A,井伤
19、桨术评峦闰团萎舌绒疼篡柱耀爬戌拦浦骚清虏佳歧植渭鸿锈立姐峰彼【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,檄黍峦谐谜初费假钡纵靖偿珍性郭玉刷勘毅晃菊锈束镍替庶吐秤糙斟屎终【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,朔繁串土孕检聊俊隔严货蠢择锤沃血雀吧涂姓熬狈布尺给蔫捞宏瘩汉拔坡【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,搁员语隔吕发雀绿玲斥赚溉棠勋附训惋硕涪区册郡疫挠痰春神签菩列转石【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,蚀烦钧霍臣名音卉嗡憋波虱椎俭灿乓歪骑初还售虱准辗欺恼伶钾纽府势性【线性代数教学资料】线性代数（13）【线性代数教学资料】线性代数（13）,
