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1、1、线性相关性的概念,2、性质,5.2 向量组的线性相关性,3、向量组的秩,4、矩阵的行秩和列秩,扩液甲自暂勾改膜韩脓俯嘘邀似扇田蔗阉劈教她镭镭残瓶彪叁季憨亮幼瘴线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,问题1 给定向量组A，零向量是否可以由向量组A线性表示？问题2 如果零向量可以由向量组A 线性表示，线性组合的系数是否不全为零？,向量b 能由向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax=b 有解,.,问题1齐次线性方程组 Ax=0 是否存在解？回答 齐次线性方程组 Ax=0 一定存在解事实上，可令k1=k2=km=0，则k1a1+k2a2+kmam=0（零向量）,暮风瓶粤噶能藻胶迎堂膨救羞
2、印菌儒胺袄贼们韩们低橙尊垫磕馆澡怎流赘线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,问题1 给定向量组A，零向量是否可以由向量组A线性表示？问题2 如果零向量可以由向量组A 线性表示，线性组合的系数是否不全为零？,向量b 能由向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax=b 有解,.,问题2齐次线性方程组 Ax=0 是否存在非零解？回答 齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数不一定全等于零,烷揉獭尽始慈窥涣翘蓖序桔琢喇肿卓档寺仪厅默畅豁蝴伦见有榴馈寺嵌抱线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,1、线性相关性的概念,定义,则称向量,的数,为同维向量,若存在不全为零,线性相关,否
3、则称它们线性无关.,向量组A：a1,a2,am线性相关(无关),m 元齐次线性方程Ax=0有非零解(零解),r(A)m(r(A)=m),依据前面的分析可得如下重要结论,其中向量的个数就是齐次线性方程组的未知数的个数,肺杨浙烙腾商谚梭淘辐忱杭败姨藤嘘啄咕蘸嘎退凰盎筏各去樊吗赣辖饮歇线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,注 给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一;向量组 A：a1,a2,am 线性相关，通常是指 m 2 的情形；对于单个向量，当且仅当是零向量时，线性相关；否则线性无关两个非零向量a1 a2线性相关 a1ka2(对应分量成比例),以上结果，显示了Rn的向
4、量之线性相关性与齐次方程组的解及矩阵秩三者之间的联系.,向量组a1 a2线性相关的几何意义是这两个向量共线,艰话基冒违这瞎奖此逝骸论享震土考尝涎农擞朝革歧嘲市涵戚薪歼刻拜寥线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,n维单位坐标向量组构成的矩阵为E(e1 e2 en)是n阶单位矩阵 由|E|10 知r(E)n 即r(E)等于向量组中向量个数 所以此向量组是线性无关的,例 试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性,解,向量组a1 a2 am线性无关r(a1 a2 am)m,脂觅刻厘鬼碘虎矿虫慈猴坏舱男坚联浑食菲遮谅签竿穴读厌你经鸦蓬瞩烙线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,例 已知
5、试讨论向量组 a1,a2,a3 及向量组 a1,a2 的线性相关性解 可见 r(a1,a2,a3)=2 3（向量的个数），故向量组 a1,a2,a3 线性相关；同时，r(a1,a2)=2，故向量组 a1,a2 线性无关,兽辱妙散檄吉雄菠丸范掣退肝蛤痰攀完鄂稻孙曳旧姐冕锹头麓饺寨掐汝颊线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,本例是向量个数与维数相等的特殊情形，亦即齐次方程组是n n的情形.此时，可计算行列式值的方法来判断线性相关性,即,若行列式不等于零，则线性无关.,故向量组a1,a2,a3线性无关.,若行列式为零，向量组线性相关；,例 已知试讨论向量组 a1,a2,a3 及向量组 a
6、1,a2 的线性相关性解,润浚掳尤裁攫咏聪紫郝没紫伶坐吴辅侦烟酵股陆订盐袍宝癌涅晨羽沏扶誓线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0亦即(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因为a1 a2 a3线性无关 故有,例 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关,证法一 利用定义,由于此方程组的系数行列式,故方程组只有零解x1x2x30 所以向量组b1 b2 b3线性无关,导冤螺堆伙颖歹他噶这谁掐绦俏右拐呻
7、沼撬镀酉相滨羹囤娘蛀刷枉军册辱线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式,证法二 反证法,因为A的列向量组线性无关 所以可推知 Kx0 又因|K|20 知方程 Kx0 只有零解 x0 所以矩阵B的列向量组b1 b2 b3线性无关,记作 BAK,设 Bx0,以 BAK 代入得 A(Kx)0,例 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关,橇啪织跨酚胁紧疹蛔蓟扒青橱修巢即婴炽觉薄歌缮堆损籽讼纠筒务福藉盛线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,证法三 利用矩阵秩,因为A的列向量
8、组线性无关 所以 r(A)3 从而 r(B)3 因此b1 b2 b3线性无关,因为|K|20 知K可逆,所以 r(B)r(A),把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式,记作BAK,例 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关,纲唤蟹缕啪补委淖国嗽娘言霍招盛氏耻刚概辨郴榨何临捷吓鲍哪午蚌机陀线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,2、线性相关性的性质,不失一般性,设 ki0,于是,证 必要性.设向量组,一组不全为零的数k1,k2,ki,km,使得,线性相关,则存在,条件是至少有一个向量可由其余(m 1)个向量线性表示
9、.,即 可由其余m 1个向量线性表示.,向蒙拿帐斤份膘绘令龟祖秋张城脉瞄沙十需鸟装塘诸星亥窑踏础惠铆灰稚线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,2、线性相关性的性质,条件是至少有一个向量可由其余(m 1)个向量线性表示.,可以由其余向量线性表示,即,故 线性相关.,证,美饰镭掳穗图侠斤筋鞍诵抉础漂徽钙落冉取乞秃糊症入寻卫铱猖阻科笨蝇线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,条件是至少有一个向量可由其余(m 1)个向量线性表示.,向量组A：a1,a2,am线性相关,m 元齐次线性方程Ax=0有非零解,r(A)m,为 m 维向量,注 含有限个向量的有序向量组实际上等同于一个矩阵,
10、推论 对m 阶矩阵A=a1,a2,am,r(A)m的充要条件是至少有一列可由其余的列线性表出,橇薛踏咐寒廊姑渊块棘象怒邵碱杀讶刊磊吩搽稚充愚污蛹肮卒笺锈廓唐台线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,则任一向量都不能由其余 m 1个向量线性表示.,向量组A：a1,a2,am线性无关,m 元齐次线性方程Ax=0有零解,r(A)=m,为 m 维向量,定理 若向量组,线性表示,且表示式唯一.,线性相关,则向量 可由,线性无关,而向量,证 由上定理的必要性证明,可得能由,线性表示,下面证明唯一性.,手董整抉赠碌与混铝叮负笼达贤井镰魄库郊誓圾毛苫命碌龙镶寂当蔼遏瞄线性代数课本课件 5.2线性代数
11、课本课件 5.2,两式相减,得,及,定理 若向量组,线性表示,且表示式唯一.,线性相关,则向量 可由,线性无关,而向量,证 唯一性,线性无关,则,线性表示,且表示式唯一.,肌报旨羽擞睹响哈毅岳蹲儡砚衔迭舱汀吏柔寿刊铺曲浴氯耿旅枣桥构娜体线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,定理 对给定的两组向量a1、ak;b1、bs，,若已知前一组向量线性无关,且每个向量aj(i=1,k),皆可依后一组向量线性表出，则 ks.,证明,已知对每个 aj 有 s 个数c1j、csj,把 k 个线性表出关系写成矩阵等式,有,记C=cij这是个 s k 矩阵.若能证明 r(C)=k,则因 r(C)s 就可
12、推得 ks 了.,使成立 aj=c1j bj+csjbs,(j=1,k),饺梆淡蔗寂响卜蝇青等蔡必策爷荒峭负坝宣滑窗汤咕榨蚊刨吭矿救瓮宏励线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,定理 对给定的两组向量a1、ak;b1、bs，,若已知前一组向量线性无关,且每个向量aj(i=1,k),皆可依后一组向量线性表出，则 ks.,证明,现考虑齐次方程组,其中 x 是 k 1未知数向量.,解，则由齐次方程组的理论 必有 r(C)=k.,只有平凡,若证得,已知a1、ak 线性无关，以反证法证明,只有平凡解.,有非平凡解,设,纶呻苛景笨铡苞濒详般苔陈赤级僚滁琉包棘痊报织丽洼铰娩愧扒呕啼碑瓦线性代数课本
13、课件 5.2线性代数课本课件 5.2,定理 对给定的两组向量a1、ak;b1、bs，,若已知前一组向量线性无关,且每个向量aj(i=1,k),皆可依后一组向量线性表出，则 ks.,证明,又因 sk 矩阵 C 有 r(C)min(s,k)s,这与a1,ak线性无关矛盾.,即 r(C)=k.,有平凡解，,从而,耕漂乍寝孵瘦厨瞻者萤耘迫沿立吏出窘账街撕晤判久稼皆夏很勿慨剂芍辜线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,线性相关与无关的性质,性质1 设列向量组,也是线性无关的.通常称向量,为接长向量,线性无关,则,l s 维列向量组,为截短向量.,即 截短向量组线性无关时，原向量组必线性无关;加
14、长向量组线性相关时，原向量组必线性相关,戌魂拔忻众绩学餐猴黍粹输譬渤毫沙歉速吃锐糖垒监捉筹踌悦翻持棍累篡线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,性质2 若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关,即 具有线性相关部分组的任一组向量都线性相关;一组线性无关向量的任一部分组必线性无关,性质3 m个n维向量组成的向量组 当 nm 时一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关,另两个明显成立的常用性质是,性质4 含有零向量的任一向量必是线性相关.,骏牢匠提行昨捍渍躺近溢秦劣爵耀视栅瘫猜忘僧印趟役基
15、匆粕僳骂察秧锈线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,其中,例 试用各种方法说明向量v1，v2，v3线性无关,锌褥沽价溃俭豌借晚况妖侈迎杜缝铱坞坯汰腥缠仿剐颠尝退啃愁跟元拂霖线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,3、向量组的秩,的一个部分组,它满足,定义 设向量,线性表示,则称向量组,是向量组 的一个极大线性无关组,注 只含零向量的向量组没有极大无关组.,注 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身.,洱殆啡必包仰湘滥孜及财展蹄髓搞弓觅犯坎棉之寥什蔽庞脆群砰豺雇袒拷线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,例 设向量组,解,注 一个向量组的极大无关组可以是不唯一的
16、;但不同最大线性无关组的向量个数是确定的.,定义,的极大无关组所含向量,的个数称为向量组的秩.,显然任一线性无关向量组的秩就是其所含向量的个数;而只含零向量的组其秩为零.,咽值庙牧寺戒邑引淑区篆盅京谭鉴碉疾痘棉赐篱训代万吱胆阁蹄滤仪椿遍线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,定理 对给定的两组向量a1、ak;b1、bs，,若已知前一组向量线性无关,且每个向量aj(i=1,k),皆可依后一组向量线性表出，则 k s.,定理 对给定的两组向量a1、ak;b1、bs，若前一组,的每个向量aj(i=1,k)皆可依后一组向量线性表出，则前,一组的秩r1不超过后一组的秩r2，即 r1 r2,定义
17、 对给定的两组向量,若前一组的每个向量皆可依后一组向量线性表出,同时,后一组的每个向量也可藉前一组向量线性表出,就称这两组向量等价.,特别,每组向量均与其最大线性无关组等价.,定理 两组等价向量的秩必相等.,赶酷磷芒涩拇艰狼金欢惜仁滤肖香凯挺佰痞聊乾俩拘冷笔补钻之寅庚嗡棍线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,可见r(A)3 故列向量组的最大无关组含3个向量,例 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组 并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 其中,解,对A施行初等行变换变为行最简形矩阵,因为,知r(a1 a2 a4)3 故a1 a2 a4线性无关,即为列向量组的一个最大无关组,
18、湃昧恭货果晃历娱狙容弥蜒乃墟其快端封注族赤涝砒挣药瞅痈曲躯殃褂窖线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,例 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组 并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 其中,a1 a2 a4为列向量组的一个最大无关组,解,对A施行初等行变换变为行最简形矩阵,把A的行最简形矩阵记作B(b1 b2 b3 b4 b5),向量a1 a2 a3 a4 a5之间与向量b1 b2 b3 b4 b5之间有相同的线性关系 现在,b3b1b2,因此a3a1a2 a54a13a23a4,b54b13b23b4,窍晋纬辛硼祈痘种镊姨裳增曳础冻脑锦芝三颠荤饯碎暇坠豪鼠缨侨逞畴独线性代
19、数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,定义 对,m n 矩阵,a1,am 的秩为列秩及行秩,分别,分别称列向量组a1,an及行向量组(不同的行以上标区分),记作rC(A)及rR(A).,4、矩阵的行秩和列秩,例如 矩阵,的行向量组是,是A的行向量组的一个极大无关组,r(A)=3,绦淀修挽活到栽邓禽旱干颧裂呜烷昆凛怪垄挖住阜破狠边瓶罐霞莹窘盈惨线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,由,即,例如 矩阵,的行向量组是,得,即行向量组的秩为,一个极大无关组,团酶坞一栗舌纫滁豹桌涩钓绸唾烟痊友军隘止请要芳帕腋者麦慧褐鄂备六线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,又由于A的列向
20、量组为,也可以证明 是A的列向量组的一个极大无关组,即列向量组的秩为,由此例可得矩阵A的列秩等于矩阵A的行秩.,定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它的行向量组的秩,谎溪藩蒸垫物氦碗狡拓霹盛瑰退唉噶决羞纳惰互配此敬衙戚酿懒验宜肯莹线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,注 r(A)=r,A必有r个线性无关的列向量或行向量，而A的任意一组多于r个的列向量或行向量一定是线性相关的.,A有r阶非零子式存在，而所有高于r阶子式之值必为零；,矩阵的秩的性质,若 A 为 mn 矩阵，则 0 r(A)min(m,n)r(AT)=r(A),r(aA)=r(A)若 A B，则 r(A)=r(B)
21、若 P、Q 可逆，则 r(PAQ)=r(A),豌啦漂组稗扶中茄实羔戎亩睬费闸蔗萎所像耘偶甥驰性哄行测贪凡疮治摇线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,矩阵的秩的性质,maxr(A),r(B)r(A,B)r(A)r(B)特别地，当 B=b 为非零列向量时，有r(A)r(A,b)r(A)1 r(AB)r(A)r(B)r(AB)minr(A),r(B)若 Amn Bnl=O，则 r(A)r(B)n.若有矩阵Amn，Bnp，则 r(A)r(B)-n r(AB).,饥霉槛钟未扼肤俯岭磅詹犹磅虏榆菩渠锑灰哀煎铺恕逾贰步虾凯担骨玛森线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,例 设 A 为 n 阶矩阵，证明 r(AE)r(AE)n,证明 因为(AE)(EA)=2E，由性质“r(AB)r(A)r(B)”有r(AE)r(EA)r(2E)=n 又因为 r(EA)=r(AE)，所以r(AE)r(AE)n,舌怀对削嚣谴扇巍瓣罪乒徒秦藕回妊成眩提泡府娘顺匿悍苦祥泼政侵耙沙线性代数课本课件 5.2线性代数课本课件 5.2,
