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1、第三章函数极限教学目标：1 .掌握各种情形下的函数极限的基本概念与性质。2 .掌握极限存在性的判定及应用。3 .熟练掌握求函数极限的基本方法；熟练掌握重要极限Iim皿，Iim(I+工-及其X0XX-XOX应用。4 .掌握无穷小(大)量及其阶的概念，并将它们运用到求极限中。重点：函数极限的概念、性质及计算。难点：Heine定理与CaUChy准则的应用。教学内容：3.1函数极限概念一、X趋于8时函数的极限定义1设f为定义在a,+8)上的函数，A为定数。若对D0,m正数M(2a),使得当xM时有f(x)-AA(f+8).X4注1.Iimf(X)=A可看作数列极限Iimf(n)=a的直接推广。它们不同
2、之处在于，X+0,对VMa,3x,M使得3)-A2即.+例L证明：Iim=0；x3XC,1.3x+13(2) Iim=;x+3c2x-12(3) IimarctanX=X-KC2定义1设f是定义在U(-8)(即(-8,b)上的函数，A为定数.若对D0,3正数M(-MWb),使得当XV-M时有f(x)-A0,m正数M(2a),使得当冈M时有f(x)-Aoo).x0o思考题：用“-M”语言叙述Iimf(x)A及Iimf(X)A.XT-COX它们的几何意义？例2.证明：Iiml-2x2(2) Iimax=O(al);00(3) Iimarctanx=-.X-CO2例3.证明：(1)Iim=0;X-X
3、CX(4) IimJI+4=1.ooIlX2命题设f为定义在U(8)上的函数，则Iimf(x)=AIimf(x)=Iimf(x)=A.X0X+0,30(,),使得当OVIX-XOIV5时有f(x)-Axo(2)Iimcosx=csoxo.XTXO例7.证明：(1)IimVx=Jx7:XTXo(2)Iim71-x2=7 Iim X；-xo(lol1).XTXO由-6定义立得Iimc=c,IimX=Xo(C为常数，Xo为定实数)xx0xx0注1.定义2中的5,相当于数列极限-N定义中的N,它依赖于,但也不是由E所唯一确定.一般，愈小，5相应也小一些.注2.Iimf(x)=A研究的只是XfXo这一过
4、程中函数值f(x)的变化趋势，它与f(x)XTXO在点XO是否有定义或取什么值无关.因此，只需在XO的空心邻域中考虑.注3.0x-x0ou0(x0;)；f(x)-Af(x)U(A;).于是，Iimf(x)=A0,30,当WU(x;3)时有f(x)U(A;).XTXQOD0,30,使得f(U(xo;)U(A;).注4.6定义的几何意义.定义3设函数f在U；(xo；6)=(o,o+D(或U?(xo；5)=(xo-5；xo)内有定义，A为定数.若对Ve0,30(,),使得当XOVXVXO+6(或Xo-VVo)时有f(x)-Af(xo-O),即f(xo+O)=Iimf(x),f(xo-O)=Iimf(
5、x).XXqXXq例8.求下列函数在指定点的单侧极限：(l)f(x)=卜2,x0,在=o点；x,xO(或VO),则对r(OVrrO(或f(x)V-rVO)注.在应用局部保号性时，常取r=3.2定理3.5(保不等式性)设Iimf(x)与Iimg(x)都存在，且在某邻域U0(x0;鼠)内有XTXOxx0f(x)g(x),则Iimf(x)Iimg(x).XTXOXTXO注.即使将条件中不等号改为严格不等号，但结论中不等号不能改为严格不等号！定理3.6.(迫敛性)设Iimf(x)=Iimg(x)=A,且在某U0(x0;6，)内有xx0xx0f(x)h(x)g(x),则Iimh(x)=A.XTXO例L求
6、下列极限：1Csin+2X1(2) Iim(sinJX+1-sinVx)；X-Ml).x03.3函数极限存在的条件定理3.8(归结原则Heine定理)设f在UO(X0；5，)内有定义。则Iimf(X)存在=XTXO对任何点列xnU0(x0i1)且XnfXO(n-8),极限imf()都存在且相等.n注L归结原则可简述为：Iimf(x)=A=对任何XnfXO(n-8)有Hmf(xn)=A.XTXQn-x注2.证明极限不存在的两种方法：(I)3xn：XnfXoOlf8),使Iimf(Xn)不存在：X呢刷x：)：X；fo(n-8),x；fo(L8).但Iimf(xQlimf(x：).注3.归结原则的意
7、义.例L证明IimSinL及IimLSinL不存在.x0X0XX对于四种类型的单侧极限，归结原则可表为更强的形式，以fi为例.定理3.9设f在U：(xo)有定义.则Iimf(x)=Ao对任何以Xo为极限的递减数列XTXixnu2(xo),有Iimf(Xn)=A.n相应于数列极限的单调有界定理，四类单侧极限也有相应的定理.仍以X-Xi为例.定理3.10设f为定义在u：(xo)上的单调有界函数，则右极限Hmf(X)存在.o定理3.11(Cauchy准则)设f在Ux;)内有定义.则Iimf(X)存在OD0,XTXO30(,),使得对WX、xU0(xo;)Wf(x,M(Xn)I0,对DO,3xxU0(
8、x0;6),使得f(x，)f()XTXo2o3.4两个重要的极限,.sinx.一、Iim=1oX例1.求Iim2空；XTn-Xn1.sinsinx(2)Iim;oX1-cosx(3)Iim；.X0V lim(l + l-V)n.n* n3.5无穷小量与无穷大量一、大穷小量X例2.求lim(l+kx)(kO);x0(2)lim(l-)x；XWX例3.求(1)IimTnsin；noo定义1设f在某u(xo)内有定义.若Iimf(x)=0XTXo则称f为当XfXO时的无穷小量.若g在某U(xo)内有界，则称g为当XfXo时的有界量.特别，任何无穷小量必是有界量.注L类似可定义当fx；,X-*XoX+
9、8,X-8,X8时的无穷小量与有界量.注2.无穷小量的性质：两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.(ii)无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.注3.Iimf(x)=Aof(x)-A是当XfXO时的无穷小量.XTXO二、无穷小量阶的比较1 .高阶无穷小量2 .同阶无穷小量3 .等价无穷小量注意：并不是任何两个无穷小量都可进行这种阶的比较！定理3.12设f、g、h在UO(Xo)内有定义，且有f(x)-g(x)(XfXo)(1)若Iimf(x)h(x)=A,则Iimg(x)h(x)=A；xx0xx0c若Uh(x)d1i1.h(x)(2)*Iim=B,则Iim=B.XTXof(x)XTXO
10、g(x)例1.确定k值，使Jl+3-Jl-3与Xk当Xfo时是同阶无穷小量.例2.利用等价无穷小量代换求下列极限：小1.arctanX(1) hm;osin4x,.tanX-sinx(2) Iim.XTOsinx注.在利用等价无穷小量代换求极限时，只能对所求极限式中积或商的因式进行替换，而对极限式中相加或相减部分则不能随意替换.三、无穷大量定义2设f在某Uo(Xo)内有定义.若对VGO,亦0,使得当XU0(x0;)(uU。(Xo)时有f(x)G(*)则称函数f当x-xo时有非正常极限8,记作Iimf(x)=8.XTXO若(*)式换成“f(x)G”或f(X)V-G”，则分别称f当Xfo时有非正常
11、极限+8或.8,记作Iimf(x)=+8或Hmf(x)=.xx0xx0注.其它情形类似定义.定义3对于自变量X的某种趋向(或n-8时)，所有以8,+8或-8为非正常极限的函数(包括数列)，都称为无穷大量.例3.证明：lim-L=+oo;XToX2(2)当al时，Iimax=+.XJO注L无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数.注2.无穷大量是无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量.定理3.13(i)设f在UO(Xo)内有定义且不等于0。若f为当XfXO时的无穷小量，则为XfXo时的无穷大量.f(ii)若g为XfXO时的无穷大量，则L为XfXO时的无穷小量.g四、曲线的渐近线定义4若曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某定直线L的距离趋于0,则称直线L为曲线C的渐近线.1.若Iim82=k,又Iimf(x)-kx=b.则y=kx+b为曲线y=f(x)的斜渐近线.X-KOXX4(X30)(X00)2.若Iimf()=oo(或Iimf(x)=,Iimf(x)=).则X=Xo为曲线y=f(x)的垂直渐XTXoXXqXXo近线.例4.求曲线f()=2的渐近线.X2+2x-3
