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1、第八章平面向量一、基础知识定义1既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a.Ial表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。定义2方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量)，规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律O定蜃1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2非零向量a,b共线的充要条件是存在实数0,使得a=劝.f定理3平面向量的基本定理，若平面
2、内的向量a,b不共线，则对同一平面内任意向是c,存在唯一一对实数X,y,使得c=xa+yb,其中a,b称为一组基底。定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与X轴，y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，任取一个向量c,由定理3可知存在唯一一组实数x,y,使得c=xi+yi,则(x,y)叫做C坐标。定义4向量的数量积,若非零向量a,b的夹角为。，则a,b的数量积记作ab=aibcos=a1bcos,也称内积，其中IbleOS。叫做b在a上的投影(注：投影可能为负值)。定理4平面向量的坐标运算：若a=(x,y),b=(x2,y2),1-a+b=(x+X2,y1+y2),a-b=(x-x2,yi-y
3、2)2.a=(x,y),a(bc)=ab+ac,3.a b=XiX2+y1y2, cos(a, b)/ 、2 I2xf + y, xi+y2(a,bO),4.abx1y2=x2y1,a_Lbxlx2+yy2=O.定义5若点P是直线PR上异于pi,p2的一点,则存在唯一实数,使6P=PP2,叫P分6P2所成的比，若O为平面内任意一点，则而二。q+40由此可得若p,P,P2的坐标分别为(XI,1X,+x.X=-y(,y),(2,y2),贝卜1+/=-.%+私T必一)y=1+2定义6设F是坐标平面内的一个图形,将F上所有的点按照向量a=(h,k)的方向，平移Ial=/个单位得到图形尸，这一过程叫做平
4、移。设P(,y)是F上任意一点，平移到FM上对应的点为“(x,y),x,=x+h则称为平移公式。y=y+攵定理5对于任意向量a=(x,y),b=(x2,y2),abab并且a+ba+b.证明因为IaFb2-abp=(R+Jj2)(k+y?)-(xix2+yy2)2=(xy2-x2y)2O,又Iab0,ab0,所以ab2ab.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得a+bWa+b注：本定理的两个结论均可推广O1)对n维向量,a=(x,X2,X11).b=(y,y2,y11)同样有Iabab,化简即为柯西不等式：(X；Xi+：Xyj2+j2+Fy：)(x1y1+x2y2+xnyn)2O,又Iab0,
5、ab0,所以IaIbab.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得a+ba+b注：本定理的两个结论均可推广。I)对n维向量，a=(x,X2,Xn),b=(y,y,y11),同样有Iabab,化简即为柯西不等式：(X；+2+X；)(y；yHy；)(Xy+X2y2+XnynR2)对于任意n个向量,a,a2,anWla,a2,ana+a2+an0二、方向与例题I.向量定义和运算法则的运用。例1设O是正n边形AA2An的中心，求证：QA+QA2+QA.=O.,2TT【证明】记S=OAl+OA1+0A”,若So。，则将正n边形绕中心o旋转一后与n原正n边形重合，所以3不变，这不可能，所以3=5.例2给定A
6、BC,求证：G是ABC重心的充要条件是GA+GB+GC=0.【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D,E,F,延长AD至P,使DP=GD,则AG=2GD=GP.又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BGqPC所以无=而.所以以+而+3?=3?+而+而=5.充分性。若GA+GB+GC=O,延长AG交BC于D,使GP=AG,连结CP,则GA=PG.因为GE+记+正=5,则无=正，所以GBCP,所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G为重心。例3在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2o【证明】如
7、图所示，结结BQ,QDo因为丽+而=丽丽+而=双，所以BQ+DQ=(BP+PQ)2+(DP+PQ)2*212*2=BP+DP+2PQ+2BPPQ+2DPPQ2*22222=BP+DP+2PQ+2(BP+DP)PQ=BP+DP+2PQ.又因为B。+QC-BC,BQ+QABAQN+QCO,2222。同理BA+BC=QA+QC+23Q,CD+DA=QA+QC+2玩】2222.22由，可得84+BC+CD=4QA+2(Q+QD)22-22-22=AC+2(28P+2PQ)=AC+BD+4PQ。得证。2.证利用定理2证明共线。例4AABC外心为0,垂心为H,重心为G。求证：O,G,H为共线，且OG：GH
8、=I:2。.2.(证明】首先OG=OA+AG=OA+AM3=OA+-(AB+AC)=OA+-(2a+OB+OC)33=(OA+OB+OC).其次设BO交外接圆于另一点E,则连结CE后得CEBC.又AHJ_BC,所以AH/CE。又EAj_AB,CHlAB,所以AHCE为平行四边形。所以AH=EC,所以而=而+而=苏+反=苏+丽+历=苏+无+历，所以丽二3历，所以5G与而共线，所以O,G,H共线。所以OG：GH=1：2o3 .利用数量积证明垂直。例5给定非零向量a,b.求证：a+b=a-b的充要条件是ab.【证明】a+b=a-bU(a+b)2=(a-b)2a2+2ab+b2=a2-2ab+b2ab
9、=0a_Lb.例6已知AABC内接于。O,AB=AC,D为AB中点，E为ACD重心。求证：OEJ_CD。【证明】设5=,5=历=c,则OD=(a+b),-TT：11.111OE=+c+-(+Z?)=-c+-a+-b.312J326又CD=-(a+b)-c,所以无.丽=(工(236八22r212333=-a(b-c).(因为IaF=IbF=ICF=IoHF)3又因为AB=AC,OB=OC,所以OA为BC的中垂线。所以a(bc)=O,所以OEj_CD。4 .向量的坐标运算。例7已知四边形ABCD是正方形，BEAC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证：AF=AEo【证明】如图所示，以
10、CD所在的直线为X轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1,则人工坐标分别为(-1,1)和(0,1),设点的坐标为(相丫),则靛=8.-1),衣=(L-1),因为前恁，所以-x-(y-l)=O.又因为Iwl=I就1,所以2+y2=2.由，解得X =l + 3丁、l-32所以衣=(过史士2族2=4+2i22Z,13+s设F(x,1),则CF=(x,l)-由CTr和CE共线得一x,=0.所以x=(2+,即F(2所以IA用2=4+2/，所以AF=AEo三、基础训练题1 .以下命题中正确的是.a=b的充要条件是Ial=Ib且ab:(ab)c=(ac)b；若ab=ac.则b=c：若a.b不共线，则
11、xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m,y=n；若AB=CD=b且Ab共线，则A,B,C,D共线；a=(8,1)在b=(-3,4)上的投影为2 .已知正六边形ABCDEF,在下列表达式中:前+CD+EC:2前+反；FE+ED；2EDFA与AC相等的有.3 .已知a=y-x,b=2x-y,a=b=l,ab=0则x+y=.4 .设s,t为非零实数，a,b为单位向量，若ka+tbI=Ita-Sb则a和b的夹角为.5 .已知a,b不共线，MN=a+kb,MP=Ia+b,则“kl-l=O”是“M,N,P共线”的条件.6 .在ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且BN=2NA,BM与CN交于D,
12、若80=/l,则=.7 .已知班而不共线，点C分而所成的比为2,OC=+B,则见一=.8 .已知。4=a,Q8=b,a.b=a-b=2,当AOB面积最大时，a与b的夹角为.9 .把函数y=22-4x+5的图象按向量a平移后得到y=22的图象，C=(L-1),若。_L，cb=4,则b的坐标为.10 .将向量a=(2,1)绕原点按逆时针方向旋转一得到向量b,则b的坐标为.411 .在RsBAC中，已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问P。，JBC的夹角。取何值时而诙的值最大？并求出这个最大值。12 .在四边形ABCD中，AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,如果25=皿。=(1=(
13、12,试判断四边形ABCD的形状。四、高考水平训练题13 .点0是平面上一定点，A,B,C是此平面上不共线的三个点，动点P满足(ABACOP=0A+A-=-+-=-,0,+).则点P的轨迹一定通过4ABC的心。lA8AC)2 .在ZiABC中，AB=a,BC=b,且ab(而+552苏)=5,则AABC的形状为5 .设O点在ABC内部，且OA+2OB+3OC=O,则4AOB与AOC的面积比为.6 .P是ABC所在平面上一点，若PAPB=PBPC=PCPA,则P是ABC的心.7 .已知OP=(COSaSine),0Q=(I+SinJJ+cosJ)(e0,4),则IPQl的取值范围是8 .已知a=(
14、2,l),b=(j),若a与b的夹角为锐角，则的取值范围是.9 .在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2,则OA(OB+OQ的最小值为.10 .已知集合M=aa=(l,2)+M3,4),入R,集合N=aa=(-2,-2)+(4,5),R.mjMN=.Il.设G为ABO的重心，过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q,已知OP=xOA,OQ=yOB，OAB与OPQ的面积分别为S和T,T(1)求y=f(x)的解析式及定义域；(2)求一的取值范围。S12 .已知两点M(-LO),N(1,0),有一点P使得而丽/丽丽丽7丽成公差小于零的等差数列。(1)试问点P的轨迹是什么？(2)若点P坐标为(
15、xo,yo),e为PM与PN的夹角,求tan9.五、联赛一试水平训练题13 在直角坐标系内，O为原点，点A,B坐标分别为(1,0),(0,2),当实数p,q满足+=1pq时，若点C,D分别在X轴，y轴上，且无=55=4而，则直线CD恒过一个定点，这个定点的坐标为.14 p为AABC内心，角A.B,C所对边长分别为a,b,c.O为平面内任意一点，OA=X9OB=y,OC=Z.则OP=(用a,b,C,x,y,Z表示).15 已知平面上三个向量a,b,c均为单位向量，且两两的夹角均为120,若ka+b+cl(kR),则k的取值范围是.16 平面内四点A,B,C,D满足|筋|=3,1前I=7,1而I=
16、IIJ苏1=9,贝丽的取值有个.17 已知AiA2A3A4A5是半径为r的。O内接正五边形，P为。O上任意一点，则PAl2+ll2+PI2+%I2+1玩|2取值的集合是.18 O为AABC所在平面内一点，A,B,C为4ABC的角，若sinAOA+sinBOB+sinCOC=O,则点0为AABC的心.19 对于非零向量a,b,a=Ibr是(a+b)1(a-b)v的条件.20 在AABC中，AB=a,BC=C,CA=b,又(cb)：(b*a)：(ac)=l：2：3,则ABC三边长之比|a|：|b|：c=.21 已知P为ZkABC内一点，且PA+2PB+3PC=O,CP交AB于D,求证：DP=PC.
17、22 .已知AABC的垂心为H,HBC,HCA,HAB的外心分别为0,02,Ch,令HA=a,HB=b,HC=c,HO、=p,求证：(1)2p=b+c-a；(2)H为OQ2O3的外心。23 .设坐标平面上全部向量的集合为V,a=(a,a2)为V中的一个单位向量，已知从V到V的变换T,由T(X)=-X+2(xa)a(xV)确定,(1)对于V的任意两个向量X,y,求证：T(x)T(y)=xy；(2)对于V的任意向量x,计算TT(x)-x:(3)设U=(1,0)；V=(0,1)若T()=V，求a.六、联赛二试水平训练题1 .已知A,B为两条定直线AX,BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射
18、线BY上的两=必为另-定上的点，APARMB NQ TS点，=为定比，M,N,T分别为线段AB,PQ,RSBQBC比，试问M,N,T三点的位置关系如何？证明你的结论。2 .已知AC,CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M,N分别内分AC,CE,使得AM：AC=CN:CE=r,如果B,M,N三点共线，求r.3 .在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A,B的点M,点P,Q,R,S是M分别在直线AD,AB,BC,CD上的射影，求证：直线PQ与RS互相垂直。4 .在AABC内，设D及E是BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC的中点，G是AB的中点,又设H是线段EG和DF的交点，求比
19、值EH：HGo5 .是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？6 .已知点O在凸多边形AA2An内，考虑所有的NAiOAj,这里的i,j为1至n中不同的自然数，求证：其中至少有n-1个不是锐角。7 .如图，在AABC中，0为外心，三条高AD,BE,CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N,求证：(I)OB_LDF,OClDE,(2)OH1MNo8 .平面上两个正三角形AAHG和AA2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点0作OA=AxA2,OB=B1B2yOC=C1C2,求证abc为正三角形。9 .在平面上给出和为5的向量a,b,c,d,任何两个不共线，求证：a+b+c+da+d+b+d+c+d.
