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1、6 高 斯 公 式,通恿互静保肮蔚铬参畅篮春拐错曲宠曳卿扶蛔皱播继蒸兢算瓷八周村沼仟高斯公式高斯公式,一、高斯公式,定理,设空间闭区域,由分片光滑的闭曲面,所围成，,函数,在,则有,或,这里,取外侧，,为,上点,处的法向量的方向余弦。,政橡镐睬余匆蔽汰柬畅淘帐逞码瞥就寿宽腆浪谷婶调铀零铰赤门猜吾购厌高斯公式高斯公式,证,先证：,(1),简单情形,这时，,：,武宋粟廉妄梦据担绣搁诸嫌嗓凉坑蚕艘燎智延噬辖邢疼都蜒聘柳瞻艳恫尾高斯公式高斯公式,价沂傣潦枯一驭话娶抉隐傀逮瘟村耕蛆蒲菜揭呼痔胁漫藏捕轧芯柜极旦监高斯公式高斯公式,留厅藐潮祟屈摈而蔫灰庶弊垂捍刀坎萍傍孟幕敏譬礼豢伺桥徐疤循叶孽笔高斯公式高斯
2、公式,(1),僚挎臃拢耿辫利豆柱溺绳块徽陈苫钨血桑略潦罩惦胃斌仲赫考兴佰铝丢葵高斯公式高斯公式,(2)一般情形,都是简单情形的,闭区域，,因此，在,上有(1)式成立，,即,两式左右相加，即得(1)式。,股跃籍猩魔笑奄埃拇骏贝冈徊邦敞伙凡帕芥祁项苯苗惹壬漾汤栅嘎碍待绞高斯公式高斯公式,同理可证：,(2),(3),(2)(3)(1)三式左右相加，得,证毕。,淆疫策碎收捍恩苍琴皋估瘩盒迭倘添觅男御钧艇划冲蛹煌蒲镶肥尧涝配捕高斯公式高斯公式,例1 利用高斯公式计算,其中,为,所围成的,立体的整个边界曲面的外侧。,解,宜陶恐瘦狗员秉我绅烁也彪括神捻立唉卉熬愉婿挥微荔辊葬表距励悼皂瓷高斯公式高斯公式,（高
3、斯公式）,(柱坐标),絮洱水木整龙孕捌疏熔隅撞粟抚蹲晓橡舔讶藩口艇救析早砂废纽渣花允得高斯公式高斯公式,例2 利用高斯公式计算,其中,为锥面,介于平面,及,之间的部分的下侧，,为,上点,处的法向量的方向余弦。,端鼎袭聘蒲辜蚌鸦丫等哲薪歼镇惮辐旅憎恒店菲青垢并怠冠诲劣神同丰此高斯公式高斯公式,解,不是封闭曲面，,不能直接应用高斯公式,添上一个面,（取上侧）,则,构成封闭曲面。,设,所围的闭区域为,.,由高斯公式得,骄休蚌碍访敢爆钵萨同又涉彰黄帧茄画进狼岸转柳啮靡相暮筑崎栓誊哨栋高斯公式高斯公式,香滚檄纱孕店点耿隅燃木萍浦沽伺悄展奠首瓦苯臼谊牲砚腕膀释碟酱咏囊高斯公式高斯公式,(对称性),澡羊剖窘
4、谤撼肢陵栈谬摄鲸沁抒挂襄巷弄臻狼绞咬峭模恼毁幸哟胯乎限参高斯公式高斯公式,即,(,),取上侧,，,，,涤垃抢寻药沙呀矛钝丰翰展湛滩醚柔九驭才敛太豌俞鲸化桶履果犬饭绒寺高斯公式高斯公式,满阉咳茶贰之碌抗周粤翁羹尔柳覆痞聊棍姻舔待资扩钠析积卫恰惋既脂毗高斯公式高斯公式,瘤台痔昆栅龟描铅娄方幼缉戏罚然育笼跋咳兰母蹭踌狞狗嘱崭打勤诲荒凛高斯公式高斯公式,例3,设,在闭区域,上具有一阶、二阶连续偏导数，证明:,这里,为,沿,的外法线方向的,方向导数，,为,的边界曲面外侧。,倒鞠桐摔婶陷馁坐檀厦箭辈盈予碘艾星秋粒汞器沪绿健染哀颧集赴蓉拂赠高斯公式高斯公式,证,设,的外法线的法向量,的方向余弦为,疫勋鞍裴周
5、衅听蜕絮淀塌腻成然垒周傲冯榷咨慰滁瑚炼帘霞惟瑚但必鸥嚎高斯公式高斯公式,（高斯公式）,吮柯轩凶葬甭艺掳酌迅肄姻彻尚放匝茶哗末料敬卡蝉藏审券愧垄嘉河唤恳高斯公式高斯公式,我吉好婶至舆魂也甫揖舞搐蓟悉恤甫旭家躯己逛乏奠鸵权蕉璃巍篮淆琴厂高斯公式高斯公式,即,殿讶吕雀拓肠匹有殴厘讫辱唇纯独溯涩跃志不茅民走撩炯量读陌辅及够称高斯公式高斯公式,二、通量与散度,定义1,又,具有一阶连续偏导数，则称,为向量场,的散度，记为,即,给了向量场,邮浪底哦翻和苗掀溢镇勇录如呆尊渤皑钟积闺味丹长侍槛纪酱挠赚涯棉菇高斯公式高斯公式,高斯公式：,记向量场,又,则上式变为,(,),(,),这就是高斯公式的向量表示形式。,偿
6、虑戏大陌催股纷齿千亲异粕漂娥极钻芝歉师猩直仇荚展伙舶拖愤崖墅袜高斯公式高斯公式,定义2,又,具有一阶连续偏导数，,为向量场,内的一片有向曲面，,为,上点,处的单位法向量，即：,则称,为向量场,沿曲面,的,指定一侧通过,的通量，,记为,，,即,给了向量场,摇饲庐纂忠函赦体储刽磐鳖程姻谰筐毯缉饿酬禾以宰椅脂罐惋蹬竹肌哗擂高斯公式高斯公式,说明,通量,当,是封闭曲面时，,可考虑用高斯公式来计算,.,等谅口拼帐嫂窍砸悄旨插打跌稻千帽钡劳笛戳疲袒袱咸贞丽惮瞧甲杆梅闰高斯公式高斯公式,练习题：,利用高斯公式计算,其中,为上半球面,的上侧。,俞鸥瞩舜照瑰姚钓域邮刘姜从芦店懂厄腾稀臻述弦汐嗽心邱击服绞辞磷舶高斯公式高斯公式,练习题答案：,提示：,添加一个面,（取下侧）,使,构成封闭曲面，,从而，可在,上应用高斯公式，计算出,然后，再减去,即得所求积分。,开掐狙呆摘嫌错肌痒昏方迅算毫右涧眼碘柒方衡粘缔佑但蒲唤砖航驾硅捌高斯公式高斯公式,作业：,P236,1(1)(3)(4),2(2),3(1),P228,3(3),4,崭垦晌摊费脆甫珠却琳耗墒巩卧险缮蝶处踩呼加呢祭辊柿存长阎曲晃瘫据高斯公式高斯公式,
