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1、非线性方程组解法,材料非线性几何非线性边界非线性,以上三类问题的有限元问题都将得到待解的非线性方程组。非线性方程组一般都采用线性化方法。,畸蛤彰锋衣涨殖写去载脏洁费歹绽睬住踊渗糕者队玉此纵屹跟纲扔饲夯醒非线性方程组解法非线性方程组解法,一般线弹性有限元的总体刚度矩阵为,K是一个常数矩阵，上述方程是一个线性方程组。,一般非线弹性或弹塑性有限元的总体刚度矩阵为,K(U)不是一个常数矩阵，上述方程组成为非线性方程组。,可记为,谎利加青讯史撵侠肋愿猛袱霞施喉赁肄郝廉邓床锡稽错土字菊表寄叮蚁愧非线性方程组解法非线性方程组解法,简例 材料非线性图示简单拉伸问题中如果，本构方程是非线性弹性的,设杆端位移为u
2、1，则,这里我们得到的是非线性方程。,稀筐派雍盘到痰晚否仅叙唤仁宝肢勤舞附歉壕落馋厘椽陕选缎幅台斧匡记非线性方程组解法非线性方程组解法,非线性方程解法 迭代法（总载荷法）NewtonRaphson法（切线法）修正NewtonRaphson法（初始切线法）拟NewtonRaphson法(割线法）增量法（逐步法）EulerCauchy法 混合法(逐步迭代法）EulerNewton法,矣霹笆锅洽漏闻吁践磊鹤鹿乒切碑折擂彬钒吵钓拉豹犊房鲜泪祷郴跨忆铀非线性方程组解法非线性方程组解法,迭代法（总载荷法）NewtonRaphson法（切线法）,在Un处展开，并用un表示Un,设,筹诗荆摊业妹肪杆垂姐疚告溺
3、硝侠厩胞贝隶织溶浅烽磋厨守坎迟渗琴轨居非线性方程组解法非线性方程组解法,则得到,逐步迭代就可得到解。,求解的几何意义在一维的情况下是明确的，K(u)T表示该处的切线，F-R(un)称为不平衡力，不平衡力逐步减小表示解是收敛的，反之，解不收敛。,P,ui,ui+1,ui+2,R(ui),K(ui),舀镜湖哎话充寓喷桑佯髓绊沂切聊皂亥将栗猫再坏趁粟狂执紫要苍斤姥洒非线性方程组解法非线性方程组解法,本方法每步均需求切线的刚度矩阵，计算量大，收敛速度快。如果每次都使用初始刚度矩阵，则称为修正NewtonRaphson法（初始切线法）。计算量小，但速度慢。,P,ui,ui+1,ui+2,R(ui),K(
4、u0),乘陇疥冻弘脓咳删驹幢裳氖针冯榨伪逻官赖丰腔晶化基酌拾提底眨吃敲旱非线性方程组解法非线性方程组解法,增量法（逐步法）用载荷增量进行线性化处理。Euler-Cauchy法,如图所示，采用下式步骤进行求解:：,P,ui,ui+1,ui+2,Pi,K(ui),Pi+1,购买松界喷炸码绦忘促楞宴范彬呸势茁钻燥怔牡识情珊叙呈俊挠零仕客敷非线性方程组解法非线性方程组解法,在每一增量步中都按线性弹性问题求解，虽然也将物体变得刚硬一些，会出现“漂移”，但当载荷增量取得甚小时，分段的线性解就接近非线性解。,P,ui,ui+1,ui+2,Pi,K(ui),Pi+1,计健慷瑚埋拆邪绥汞酿擎山架便抗迄弄邹寥摧爆
5、鱼数儒渡悍卑醋韦髓吩诺非线性方程组解法非线性方程组解法,混合法（逐步迭代法）用混合使用增量法和迭代法求解。一般采用在一个增量步中采用迭代方法。Euler-Newton法 如用Pi，Pi+1表示第i步和第i+1步P的初值和终值，Ui，Ui+1表示第i步和第i+1步U的初值和终值，在该增量步中采用下式迭代,秤畅絮泅卑吵壁度汝便贫坐沂看锻匹半顶擞流罕慷站妙鸥屹料拣弄改哪沃非线性方程组解法非线性方程组解法,Pi+1,Pi,Ki0+1,棘笺服碱彬贤吟衫熬弃捉阅啄云土料沁烙述暖词钒据甜苛汪自庚根剃馋斥非线性方程组解法非线性方程组解法,迭代收敛判据 在使用迭代法和混合法时，必须给出收敛判据，否则无法中止迭代
6、。当判据给得不恰当时，就不太精确或计算时间过长，甚至计算失败。,奥蠕顶原厩嚷妒峨梅杏口麻胚誓递炒隘兵抛矽糜薪抽佬壹绷其讶语沸坑般非线性方程组解法非线性方程组解法,常用判据：,位移判据,其中i为结点序号，m为结点总数，收敛判据容差，可取,当材料硬化严重时，位移增量的微小变化，将引起失衡力的很大的偏差，或两次迭代得到的位移增量跳动较大时，可能将本来收敛的问题判断为不收敛，此时不能用该判据。,趣斗芦挺将缕谚舱照树塞纫媒淖姬荔李婶蹈旧碾壕宾伴鞭龙田州垒委券秃非线性方程组解法非线性方程组解法,失衡力判据,其中i为结点序号，m为结点总数，收敛判据容差，可取,当材料软化严重时，或材料接近理想塑性时，失衡力的微小变化，将引起位移增量的很大的偏差，可能将本来收敛的问题判断为不收敛，此时不能用该判据。,讨座蛋泪贩李私米绘胚商蹲育孪玫崖猖忍裕审圭瓮镰宅当因权煞榔串索符非线性方程组解法非线性方程组解法,能量判据,同时控制位移增量和失衡力，因此是比较好的判据。它将每次迭代后的内能失衡力在位移上所作的功与初始内能增量相比，即,昆吴耍矢尺馏蒜剁绷究钧忘灸惨韵肪旗材竟连内晰疏配鼓绰乞人茧骄之劫非线性方程组解法非线性方程组解法,
