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1、概率论与数理统计第一章习题及答案习题1.11 .将一枚匀称的硬币抛两次，事务AB,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事务A,B,C中的样本点。解：=(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)A=(正，正)，(正，反)；B=(正，正)，(反，反)C=(正，正)，(正，反)，(反，正)2 .在掷两颗骰子的试验中，事务48,C力分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”,“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事务48,4十民无。,6。,人一8-。一。中的样本点。解：=(1,1),(1,2),(1,6),(2,1),
2、(2,2),(2,6),(6,1),(6,2),(6,6)；AB=(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)：A+B=(1J),(1,3),(1,5),(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)；AC=;BC=(1,1),(2,2)；A-B-C-D=(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)3 .以A8,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下事务：(1)只订阅日报;(2)只订日报和晚报;(3)只订一种报；(4)正好订两种报；(5)至少订阅一种报；(6)不订阅任何报；(7)至多订阅一种报；(8)三
3、种报纸都订阅；(9)三种报纸不全订阅。解：(1) ABC；(2) ABC；(3) ABC+ABC+ABCi(4) ABC+ABC+ABC;(5) A+BC;(6) ABC;(7) ABC+ABC+ABC+ABCAB+AC+BC(8) ABC；(9) A+B+C4 .甲、乙、丙三人各射击一次，事务4,七，分别表示甲、乙、丙射中。试说明F列事务所表不的结果：A2,A2+A3,AA2,A1+A2,AAO944,+A,A3+AA3解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5 .设事务4,8,C满意
4、ABCw中，试把下列事务表示为一些互不相容的事务的和：AB+C,AB+CfB-AC.解：如图:A+B+C=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC;AB+C=ABC+C;B-AC=ABC+ABC+ABC=BA+ABC=BC+ABC6 .若事务4,8,。满意4+。=8+。，试问A=B是否成立？举例说明。解：不肯定成立。例如：A=3,4,5,B=3,C=4,5,那么，A+C=8+C,但AW8。7 .对于事务A,8,C,试问A-(B-C)=(A-3)+C是否成立？举例说明。解：不肯定成立。例如：A=3,4,5,B=4,5,6,C=6,7,那么A-(BC)=3,但是(AB)+C=3,6,
5、7。8 .设P(G=g,P(B)V,试就以下三种状况分别求尸(3彳)：(1)AB=f(2)Au3,(3)P(AB)=SO解HTV(1) P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=-；2(2) P(BA)=P(B-A)=P(B)-P（八）=-；6_113(3) P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=-o2889.已知P（八）=P(B)=P(C)斗P(AC)=P(BC)=-fP(AB)=O求416事务A3,C全不发生的概率。解：P(ABC)=p(+B+c)=l-P(A+C)=1-P（八）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)11IICl1八13=
6、1I10F0=4441616810 .每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事务的概率：A=三个都是红灯”=“全红”；B=“全绿”；C=“全黄”；D=“无红”；E=“无绿”；F=三次颜色相同；G=颜色全不相同”；H=颜色不全相同”。解:P(A) = P(B) = P(C)=333=；P(D) = P(E)=2228333 27333 91QP（三）=P(F)=I=-9911 .设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中随意抽取3件(分三种状况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次)，试求：(1) 取
7、出的3件中恰有1件是次品的概率；(2) 取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件：(1)P=Gg=O.0588；(2)P=生力=O0594；每次拿一件，取后放回，拿3次：2XQR2QS3(1)P=3=0.0576；(2)P=Ir=0.0588；1()031003每次拿一件，取后不放回，拿3次：1999812 .从0,1,2,9中随意选出3个不同的数字，试求下列事务的概Al=三个数字中不含0与5,A2=三个数字中不含0或5o解：P(A2)=13 .从。,L2,9中随意选出4个不同的数字,计算它们能组成一个4位偶数的概率。解：P53-4 4114 .一个宿舍中住有6位同学，计算下列事务的
8、概率：(1)6人中至少有1人生日在10月份；(2) 6人中恰有4人生日在10月份；(3) 6人中恰有4人生日在同一月份；解：116f4112(1)P=I-三0.41；(2)P=6-0.00061；126126/-P.C74(3)r=7=U.UU/312615.从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解O.或Pd弩u062习题1.21 .假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%、10%,从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令A=取到的是i等品，i=l,2,32 .设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品
9、中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解:P(AB) P(B)P(A) - I-P(A)令A=两件中至少有一件不合格，B=两件都不合格”P(BlA)二3 .为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和H。两种报警系统单独运用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93,在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85,求(1) 两种报警系统I和II都有效的概率；(2) 系统11失灵而系统I有效的概率；(3) 在系统11失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解：令A=”系统(I)有效，B=系统(II)有效”则P（八）=0.92,P(B)=0.93,P(BA)=0.85(1) P(AB
10、)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=P(B)-P（八）P(BIA)=0.93-(1-0.92)0.85=0.862(2) P(BA)=P(A-AB)=P（八）-P(AB)=0.92-0.862=0.058(3) P(AIK)=)二58三0.8286P(B)1-0.93(4) 0P（八）vl,证明事务A与B独立的充要条件是P(BA)=P(BIA)证：4与B独立，.3与B也独立。.P(BIA)=P(B),P(BIA)=P(B).P(BA)=P(BA)U：0P（八）1.0P（八）0,P(B)0,则有(1) 当A与B独立时，A与8相容；(2) 当A与B不相容时，A与B不独立。证明：P（八）0,P
11、(B)0(1)因为A与B独立，所以P(AB)=P（八）P(B)0fA与8相容。(2)因为P(AB)=0,而P（八）P(B)0,/.P(AB)P（八）P(B),A与B不独立。7 .已知事务A,3,C相互独立，求证AUB与。也独立。证明：因为A、B、。相互独立，P(AB)C=P(ACUBQ=P(AQ+P(BC)-P(ABC)=P（八）P(C)+P(B)P(C)-P（八）P(B)P(C)=P（八）+P(B)-P(AB)P(C)=P(AUB)P(C).AUB与C独立。8 .甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不须要工人照看的概率分别为0.7,0.8和0.9,求在这段时间内，最多只有一台机床须要
12、工人照看的概率。解：令4,A2,A3分别表示甲、乙、丙三机床不须要工人照看，那么P(A1)=0.7,P(A2)=0.8,P(A3)=0.9令8表示最多有一台机床须要工人照看，那么P(B)=P(A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0.7X0.8X0.9+0.3X0.8X0.9+0.7X0.2X0.8+0.7X0.80.1=0.9029 .假如构成系统的每个元件能正常工作的概率为,(称为元件的牢靠性)，假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的牢靠性。系统I2A=第i个元件正常工作，i=
13、12,2P（八）=P，A，4,，42”相互独立。那么P（八）=p(A2.A11)(4+1Art+2-A2m)=H(A44)p(+1aw+2.a2jJ-P(A1A2-A2h)=11p（八）+11p（八）-11（八）Z=Ii=+1Z=I=2Pn-P2n=Pn(2-P,)P(B)=P(A+AeXA2+A/2)(+4“)1注：利用第7题的方法可以证=11P(4+a-)明(Aj+An+i)与(4+An+j)ij时独立。=IllP（八）+P(A)-P(A,)P(AM)r=l=Y2P-P2=Pn(2-P)n1010张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求（1）前三人中恰有一人中奖的概率；（2）其次人中奖
14、的概率。解：令4=第i个人中奖”，i=l,2,3（1）P(AiA2A3A1A2A3+A1A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P（八）尸(41A)P(AlAH)+P（八）尸(41A)P(A31)+P（八）P(AIA1)P(A3IA1A)-1X-X-8 10 9 84656=X-X1109810(2)P(A2)=P(A1)P(A2A1)+P(A)P(2IA1)410364-+x=910911.在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。依据以往的记录，每10000人中有4人患有肝癌，试求：(1)某人经此检验法
15、诊断患有肝癌的概率；(2)已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他的确是肝癌患者的概率。解：令B=被检验者患有肝癌”，A=用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那么，P(AlB)=0.95,P(AIB)=O.10,P(B)=0.0004(1)P（八）=P(B)PCAIB)+P(B)P(AIB)=0.00040.95+0.99960.1=0.10034(2) P(BA) =P(B)尸(AlB)P(B)P(Aj8)+P(耳)P(AI月)0.00040.950.00040.95+ 0.9996x0.1三 0.003812.一大批产品的优质品率为30%,每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事务的概率：(1)取到
16、的5件产品中恰有2件是优质品；(2)在取到的5件产品中已发觉有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。解:令Bi=5件中有i件优质品”,f=0,1,2,3,4,5P(B国P(瓦)(1) P(B2)=(0.3)2(0.7)3C030875(2) P(Jb,.)=P(B2)=I=I 0.371P(B2)0.30871-P()-1-(0.7)513.每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，假如检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%,1件次品被误判是正品的概率是5%,试计算：(1)抽取的1件产品为正品的概率；(2)该箱
17、产品通过验收的概率。解：令4=抽取一件产品为正品”A=箱中有i件次品，i=0,l,2B=该箱产品通过验收”22I1_；(1) P（八）=ZP(4)P(AlAj)=XWX-=0.9I=Oi=O3IU(2) P(B)=P（八）P(BIA)+P()P(B)=0.90.98+0.10.05=0.88714 .假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以干脆出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了52)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求：(1)全部能出厂的概率；(2)其中恰有2件不能出厂的概率；(3)其中至少有2件不能出
18、厂的概率。解：令A=仪器需进一步调试；B=仪器能出厂”A=仪器能干脆出厂”；AB=仪器经调试后能出厂”明显B=X+A8,那么P（八）=O.3,P(BIA)=0.8P(AB)=PA)P(BIA)=0.30.8=0.24所以P(B)=P（八）P(AB)=0.7+0.24=0.94令Bi=件中恰有i件仪器能出厂”，i=0,1,(1) P(B,J=。)(2) P(Bnl)=C2(0.94),2(0.()6)2=C；(0.94),-2(0.()6)2-2(3) P()=l-P(Bl)-P(Bti)=I-c：0.06(0.94)n-1-(0.94)wJt=O15 .进行一系列独立试验，每次试验胜利的概率均
19、为p,试求以下事务的概率:(1)直到第次才胜利；(2)第r次胜利之前恰失败2次；(3)在次中取得r(l)次胜利;(4)直到第次才取得-(1r)次胜利。解，(1) P=P(I-PyT(2) P=CZiipr(-p)k(3) P=Crnpr(-p)n-r(4) P=C：二力(l-p)i16.对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4,其次次为0.5,第三次为0.7击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2,击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6,若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。解：令A=恰有i次击中飞机，i=0,123B=”飞机被击落”明显：P（八）=(l-0.4)(
20、l-0.5X1-0.7)=0.09P(A)=0.4(l-0.5)(l-0.7)+(1-0.4)0.5(1-0.7)+(1-0.4)(l-0.5)0.7=036P(A2)=0.40.5(1-0.7)+0.4(1-0.5)0.7+(1-0.4)0.5X0.7=0.41P(A3)=0.40.50.7=0.14而P(BlA)=O,P(BIA1)=0.2,P(BIA2)=0.6,P(BA3)=所以P(B)=ZP(Aj)PA,)=0.458；=0P(B)=I-P(B)=1-0.458=0.542习题1.3解答1.设X为随机变量，且P(X=A)=Id=I,2,),则2人(1)推断上面的式子是否为X的概率分布
21、；(2)若是，试求P(X为偶数)和P(X5).解:令P(X=k)=Pk=*,k=1,2,(1)明显0Pa1，且081J_=r=-p=1Jt=Izl2所以P(X=Z)=-!r,Z=1,2,为一概率分布。2人811(2)P(X为偶数)=7=k=EZ1-4JOO81-L1P(X5)=Xpa=X-=7=-k=5k=522102 .设随机变量X的概率分布为P(X=Q=磬(%=1,2,)，且KlA0,求常数C.3 .设一次试验胜利的概率为MOp1).201解：VP(X=0)=-e-=-,/.2=In20!2P(X1)=1-P(X1)=1-P(X=0)+P(X=1)=l-+-ln2=-(l-ln2)2228
22、 .设书籍上每页的印刷错误的个数X听从POiSSon(泊松)分布。经统计发觉在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求随意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。#)2解：VP(X=l)=P(X=2),即e4=eyl,2=21!2!:.P(X=O)=I,尸=(2)4=屋9 .在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数听从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)，求(1)某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率;(2)某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；10 在长度为f的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X听从参数为勺
23、的PoiSSOn(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计).求(1)某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；解：3N(1)t3,2=P(X=O)=e25-(2) t=5,=-P(X1)=1-P(X=O)=l-e210.已知X的概率分布为：X210123P2a1To3aaa2a试求(1)a；(2)Y=2-i的概率分布。解：(1),.2a+3+2=l101.a=o10(2)Vl-Io38”13To5W5试求：(1) f的值； (2) X的概率密度；(3) P(-2X2).解：,/ (-r) 0.5 + 0.5 3 =
24、122f(x)gx + g , X-1,0)- + , X0,3) 620,其它(3) P (-2.-Kc解： 令 J /(x)dr = 1-oj smxdx= 10-COS =1Ccosfl = 0,。=一 2P(X ) = fsizh: = -cosxJ= 6172613.乘以什么常数将使e*+变成概率密度函数?cexxdx = (屈12 e4dx = 即 CeZ品-14.随机变量X N(,2),其概率密度函数为1_x4x41 e 6(oox+)(V-2)-2(JJ)223试求,。2；若已知Lf(xdx=cf(x)dx,求C.Ix-4x+4fM=-r=6y6(T2=330C若f(x)dx=
25、fxdx,由正态分布的对称性C-OO可知c=2.15 .设连续型随机变量X的概率密度为f()= 2x,O,Oxl其他以丫表示对X的三次独立重复试验中x出现的次数，试求概率p(y=2).1oP(I)=CR寸万。16 .设随机变量X听从1,5上的匀称分布，试求PaVXex2)假如(1) x11x25；(2)1x15X2.解：X的概率密度为/(X)=U，1%5O,其他X2i1(1)P(x1Xx2)=-dx=-(x2-1)I44(2) P(x1Xx2)=-d=-(5-x1)17.设顾客排队等待服务的时间X(以分计)听从4=的指数分布。某顾客等待服务，若超过IO分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，
26、以y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求y的概率分布和P(Y1)解:XIOqP(X10)=1-P(X10)=1-1-e5=e-2.P(Y=k)=Q(e-2)k(l-e-2)5k,k=0,1,2,3,4,5P(rl)=l-(l-e2)50.5167习题1.4解答1.已知随机变量X的概率分布为P(X=I)=0.2，P(X=2)=Q3,P(X=3)=0.5,试求X的分布函数；P(0.5X2);画出尸(X)的曲线。0 0.2 0.51,X1P(0.5 X 2) = 0.5,1X2,2X3,x3F(X)C I 3C-2人丫- - -V5 20.0.2.设连续型随机变量X的分布函数为O,X10.4,
27、-lxlF(x)=i0.8,lx31,x3试求：(1)X的概率分布；(2)P(X2X1).解(1)X3-11P0.20.40.4(2) P(X21X1)=P(X=-)=-P(X1)3(3) 家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是04设X为途中遇到红灯的次数，试求(1)X的概率分布；(2)X的分布函数。线。P(X=.=c；(|)人()3,k=O,l,2,3列成表格8125Fa)=271255412536125(2)Fa)=4.试求习题O14111+X+24O27125811251171251.3x0O1lx2中第H题X的分布函数，并画出尸(X)的曲x-
28、lx0x0试求：(1) AB的值；(2) P(TVX1)；(3)概率密度函数/U).解(1又(2) F(+) = Iim (A + Be-2x) = 1 /.A = Ix+oo.】im (A + Be2x) = F(O) = 0 /.B = -A = -I XT(T)P(-l X006.设X为连续型随机变量，其分布函数为a,XV1;F(x)=e.试确定尸(x)中的。力Cd的值。解SS=OAtz=I又F(+)=1.d=l又Vlim0xlnx+cx+l)=a=0.c=-lx又.IimSxlnx-x+l)=d=ls.be-e+-1即Z?=lxe7.设随机变量X的概率密度函数为X)=J,试确定(+x2
29、)的值并求尸(X)和P(x(i+2)即arctanx=1:.a=xaF(x)=fdt=+arctanx,-0ox(1+/2)2P(X，)=P(N(f)=O)=e0”.F(t)=P(Xt)=-P(Xt)=l-e-u当/o二.F(X)=Iox0X听从指数分布(2=0.1)(2)/=l-ez*026(3)F(5)-F(3)0.139.设XN(TJ6),试计算(1)P(X-L5);(3)P(X1).解：944-6-B344(1)P(X-1.5)=1-P(X-1.5)=1-GCL5+1)=1-(-1)三0.5498484+1-4+15-3(3)P(X|1)=P(X2)=P(X2)=(一)+1-(一)=(
30、一)+1-(一)三0.8253444410.某科统考成果X近似听从正态分布N(70,IO?),第I(X)名的成果为60分，问第20名的成果约为多少分？P(XxX60)=100P(XxX60) =P(Xx)(X60)-P(Xx)P(X60)-P(X60)P(X 60) = 1-60-7010= (l) 0.8413.P(Xx)=0.20.8413=0.16826P(Xx)=l-I=(l)=0.16826.(2=0.83174,士工0.96,x79.6IJio11 .设随机变量X和y均听从正态分布，XN(,42),yN(4,52),而Pl=P(X-4),p2=P(Y+5),试证明Pl=Pi证明:.P=P(X4一4)=(T)p2=P(r+5)=l-6(+：)=1-(l)=(-l)Pl=P2-12 .设随机变量X听从句上的匀称分布，令y=cx+j(co),试求随机变量y的密度函数。解：(y-d1y-dc/、Jx，abf(y)=ICJIClcO,其它1_ f(y) = c(b-a) Oca + dycb + d其他、i，rktlLc/、,cb+dya当CVO时，f(y)=cb-a)O,其他
