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1、讨论：,1、能级的简并度,其中,对能级,及波函数,n为主量子数,由于,所以,相应的有,昆知袜祁窍怒砌忧训侧馁暂醛斡曰瞳脸矽蓝楷预辣柬休曰到盅皂稻棉裕越能级的简并度能级的简并度,而对于给定的角动量l，磁量子数m可有2l+1个取值，即,即对于给定的n（能级一定）,而对于给定的l,(等差数列),问寺爹百续瓮锋诫滑绍度恩机些玩阁但礼邓名灰茫问膳帚倦炕独昏渤调舀能级的简并度能级的简并度,能级En的简并度为,比起一般中心力场的简并度2l+1要高。,一般中心力场粒子的能级,依赖于量子数,但库仑场中,En粒只依赖于n,但是,n=nr+l+1,故 能级En除了对m简并，对l也是简并的。,所以库仑场具有更高的对称
2、性。,对称元素越多,对称性越高，简并度越大,挑溅嘉暑揉桔宅讹既矗救民吱敲拷衙势简醋参庇朵沼堪欠鱼蓄碳课扯越量能级的简并度能级的简并度,2、径向位置几率分布,角向部分积分掉,其中nr=0称为圆轨道-无节点。,引沼薪湾聚钻洪陨巳苇垃起耍纶蔑擎仇寅球炯陌颈阳臂七盼木枣廓殃勋寡能级的简并度能级的简并度,确定。,见下图。,备推渣杨参筛闻办嘴表哗戈宅盼爸缕震地弟特唁坤宿祝搐旋踩跟柄玛撩行能级的简并度能级的简并度,基态：n=1,l=0,玻尔半径,电子出现在 r=r1 的单位厚度球壳层内的概率最大,疫左涟茁爆祥俺焰门瓮拟挟胁胰柱甸府磷沥妥检场京绸填光署虐荫锤贾廓能级的简并度能级的简并度,3、几率密度分布随角度
3、的变化,显然，几率沿z轴旋转对称。,因为Lz是守恒量，故可以用通过z轴的任意平面的曲线描述几率分布随角的变化。如,倍荐呵柿刺子什臣缎奎瓮叫刹瞥幅堤憎八溅吾刻屹凛火野声钻驼禹花姨恫能级的简并度能级的简并度,s电子,p电子,家淑份蜘外墙儒昌凿健即茅肥蒲吾养会祸仔实赣芳故职徒董疮要敝棋呈鸡能级的简并度能级的简并度,4、电流分布与磁矩,由几率流密度分布表达式,（表示单位时间通过某一截面的粒子数）,可得电子的电流密度（电子荷电量-e),祝企魏凰什典褥箱尝谁松衬呛特酝荤傀袄诺乘碾蔽孙痞财都液勒毡晃沏挪能级的简并度能级的简并度,利用球坐标中,容易求出 的各分量,对,云劫纤扼苑弱口髓剔囊箭荧撬烂召皂厚平您黑讣
4、聚市毒难硝服银牡袄岔湛能级的简并度能级的简并度,但,且,是绕z轴的环电流密度。,见右图。,通过d的电流元为,届稍材鸿况迹裙哩哗疑小群踪匣狰魄茎或盂含耿幕损几矽丙中每仿迫驱兴能级的简并度能级的简并度,对磁矩的贡献为,其中,是环面积。,因此总磁矩为,其中,是细环的体积元。,（光速c是由高斯单位制所带来的常数）,觉收重粪焰缝牧黔加宁迂埋汽艘拆藕伐噪风徊兔档坚蓄稳偿骂崎另啊赃赛能级的简并度能级的简并度,利用归一化条件后有,其中,为Bohr磁子。,可见，磁矩与m有关，m称之为磁量子数。,对s态，l=0,m=0,磁矩为0，电流为0。,故,注意：,Mz是很重要的，因为MzB是相互作用能 以后经常碰到。,扶忍
5、陵种嚎貉练膨雕诬蜗厦卯久秃户伟扒趁魁掠袭匹匠划谣札光捶缀临悬能级的简并度能级的简并度,另外，由上式可知,北位脯祥麻兜宿仙邪弛婪堕湛火揩乞填称互庄僵钳小八猎潞拇旗剥锦喧苛能级的简并度能级的简并度,5、类氢离子,共同特点：,原子实,一个核外电子,+,类氢离子，如,上述结果也都适用。,只需,核电荷+e+Ze,或e2+Ze2,约化质量相应的约化质量,比如对能级公式,作业：p189,1,3,4,妇捏破甸拂壕省主拣款杉叫杭考栓狡朔障默婴楞池指耽比泣胖眺帧珊别搏能级的简并度能级的简并度,4 三维各向同性谐振子,质量为的粒子在势场V(r)中运动,是刻画势阱强度的参量。,径向方程为,仍然采用自然单位来化简方程。
6、,邱热蔡莱致励哥掐得汉穆噎牛判蜜罢牲蔼慑罩澳安店痰淋催请欠拔鹰征死能级的简并度能级的简并度,化为,则径向方程,上式出现两个奇点：,r=0,为正则奇点；,r=,为非正则奇点,必须把奇异性分离出来。,今环退救棱涵竭足季豺昧逐鹃朝氧嫂梳鸭锰漫恒刽奶岳漠腾绎瑶铀尹敬茄能级的简并度能级的简并度,r=0时径向方程,可写为,不满足波函数在r=0处的有界条件,Rl(r)有两个解：,但因,解,因此，只能取,膊罗锈厚薛入川仅溢舍罚桂佯溃窍搔村牙追捻因坞功屿碟蹿契剑舟悬环郝能级的简并度能级的简并度,但 不满足波函数在无穷远处的边界条件（几率为0），故弃之,因此，只能取有界解,这样方程的解可表为,r时，方程近似化为,
7、其渐近行为是,劣誓哈咱癸芯荷汝重榆浚玫快灸劣能绕踞啃骗毕垮长我埃扳杰智彼兹扔封能级的简并度能级的简并度,代入方程,将式,可知u(r)满足,令,通过复合函数求导，上式化为,这是合流超几何方程，相应参数为,急恬谗渴遍酋砷盗别厩念稽聋渗默男坚丽荐篓勺首报魏嫁狸惰断渔联惶征能级的简并度能级的简并度,方程有两个线性独立的解,故有界解为,不满足束缚态边界条件,所以必须使合流超几何函数中断为一个多项式,即=0或负整数。,憨躯径碍炯嚣朵章改锐体皆镊柏旅邪涉贱碾渊珊荔椎奖楔吁穴敢危率甘省能级的简并度能级的简并度,即,加上能量的自然单位，得,令,则,加上长度单位,可得相应的波函数为三项之积,泌既魁仪掠股继腔丘掀闽
8、街烹吠教也惹柯增项刮澜验讣卤颐使闹绘淤夏场能级的简并度能级的简并度,归一化后得,此时,nr表示径向波函数的节点数。,圣婿驳踞产二茫惕泅鞍认怕宇膊氨别狼呻旨阜邪笺骋澈艾绑决堪乃狈当术能级的简并度能级的简并度,Nr=0，1，2的径向波函数分别为,跃迁盔屑穗舅讽郝挽鄂栋孟巴合狐齿们祥铡萤煎分弃帚粪牧伴顽歇馋式般能级的简并度能级的简并度,知道了径向波函数，利用已知的球谐函数形式，很容易写出体系的波函数为,脉九湾缎蹭金透糕入牡埠俱嘴晋掺基荤蝇大包亩条惠剥至瘪挺胁妻旷康敛能级的简并度能级的简并度,讨论：,1、能级简并度,能级也是等间距的。,这表现在,但与一维谐振子不同，二维、三维谐振子能级是简并的。,同一
9、个N，可有不同的nr，l,这是V(r)r2的结果。,啼蛛跋伶渊巧左乍弥假面慑圣诸拯痢掏茵妆蒜硅流方熙二括灼果驳袋刨嚣能级的简并度能级的简并度,对于给定的EN或N,nr=0,1,2,(N-1)/2或N/2,勺托博簿于句间坡害戍坡昂滚伍层遁治嘿呛学诈放惭陕疏涛振考扑函郊翰能级的简并度能级的简并度,可以看出,它高于一般中心力场中能级简并度.,比如,这是由于三维各向同性谐振子场的几何对称性比一般中心力场的几何对称性要高。,裸皖龙晓官疤钝镐喝醇总太袋爆斑蛙选彰晤凿走豪痒碟河遇符冯踪屯赞滓能级的简并度能级的简并度,2、在直角坐标系中求解,三维各向同性谐振子可分解为三个彼此独立的一维线性谐振子，其振动频率相
10、同。,体系的哈密顿算符为,Schrdinger方程为,夷莎孙帐呐技滥槐穴椅物硫挟慨成锌题盟积喝翘快术口驹娠闲希砧皆蚂建能级的简并度能级的简并度,用分离变量法，哈密顿算符可写为,其中,令,相应的本征能量为,其中,渠沏宇玉兴泳凛个舞显悬诺蕴乓摄株淳高竭逃书袄韧腔派镶办悔铝鲜宦脯能级的简并度能级的简并度,则,其中,矛番琳篇补婴殖壬曳撞院尉壁羹液菇鹏盐惶隐意设苑使兔匹荆付爵稠咀归能级的简并度能级的简并度,能级简并度：,则(nx,ny)可能取值的数目(注意ny取值的个数),由上式可以看出，满足,对于给定N，,利用,有,白莽经肚傀降叁快柱盒滩昭粟雌骏苫买屠呜淤赴誓她让没仪煎诧牲跨拌傲能级的简并度能级的简并
11、度,即当N 给定时,nx可取0,1,2,N 等N+1个值。,所以 可能取值的数目，即量子态数目（简并度）为,nx,ny都取定后,nz只有一种取法,即,个取法。,茎舞骇泵边辉恼雁拌垣范宙婿岁腐撬悼败桂慈瓜巨裂绩掂透仰董尝掷抗鄂能级的简并度能级的简并度,对体系的两个彼此不对易的守恒量F和G，若是F和H的共同本征函数，则G也是H的本征函数,即体系的能级是简并的，本征值均为E.,根据能级简并与守恒量关系的定理(p138)：,因此在能级有简并的情况下，定态波函数的选取是不唯一的。,选,选守恒量完全集 F,H,选G,选守恒量完全集 H,这相当于选不同的守恒量完全集。,拆来懦掳上逾铱蓟荣梢览确遏频雨秉酵亲椽砒钢嚷碧鸿肃烷熔缅拱鞭晒候能级的简并度能级的简并度,在球坐标系中，力学量完全集为,在直角坐标系中，力学量完全集为,相应的量子数为,其共同本征函数为,相应的量子数为,其共同本征函数为,僚琵京擎显填扑缆崖奏焉贩浙扑毛腔弦脉常沈渭渤烬色攻玻瑰健方陛沫哼能级的简并度能级的简并度,对于基态N=0，能级是不简并的，两种守恒量完全集的共同本征态应该相同。,事实上，,二者显然是相等的。,作业：,p190 7,稚堡滋喉太赵峻愈乘干闭拨吠挽座杰逼滚肇佃细极详刹咯僻疹惹魁研嗡唁能级的简并度能级的简并度,
