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1、“双减”背景下的课后作业设计18.1勾股定理（第一课时）摘要：随着“双减”政策的出台，对一线教师的课堂教学也提出了更高的要求，特别是作业设计方面，既要符合双减政策的要求，将时间还给学生，又要巩固和提高学生所学知识。现阶段我们八年级所学内容既有深度又有难度，是整个初中阶段的分水岭。其中，勾股定理是人类早期发现并证明的定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要的工具，也是数形结合的纽带，被誉为“几何学的基石”。下面就勾股定理第一课时的作业设计，谈谈自己的做法，希望能给我们数学教师在新形势的作业布置有一点帮助。关键词：双减勾股定理作业【背景】作为一名一线的数学教师，我深刻感受到近两年教育的变化,用“翻
2、天覆地”来形容我觉得都不过分。我校教师在深入学习“双减”相关政策之后，积极行动起来，以提高课堂效率和精心设计作业为抓手，双管齐下，探索减轻学生负担的好方法。作为八年级数学备课组组长，在每周备课组研修活动中，我都会对下一周的教学内容和作业进行统一部署。特别是课后作业设计，本备课组基本上告别了以前量多取胜的方式，对每一课时的作业都进行精心设计和研究，努力做到“少而精”，让作业改革落到实处。【初探】在设计第十八章勾股定理第一课时的作业时，经过对教材的分析，我发现本章的教学要让学生经历对问题情境的观察、分析、一般化等思维活动，提出猜想，从而体验勾股定理的探索过程，且能通过了解勾股定理的证明，培养学生良
3、好的思维习惯以及利用数学史话介绍，培养学生爱国主义的思想感情。在教学建议中，也鼓励与提倡解决问题策略的多样化，我想到勾股定理的证明方式有多种方式，能不能在介绍教材中的证明方法后，鼓励学生积极探索勾股定理证明的不同思路呢？我将我的想法在备课组会议中提出来，得到大家的一致认可，以下就是我的实施过程。【引导】课堂上，我首先展示出课本上的网格图，让学生通过割补法计算出正方形的面积，找到以直角三角形三边为边长的正方形面积，从而猜想出勾股定理。教材紧接着给同学们展示出一种常见的证法。大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，两者相等。我们对正方形面积进行分析：大正方形面积可表示为：(a+b)2右边大正方形面
4、积可表示为:C2+12abX4*.*(a+b)2=C2+12ab4a2+b2=c2.从而得出证明。在教学过程中，我特别强调拼图和面积法两大法宝，学生在经历证明之后，普遍感到不可思议，既有趣也有难度。为了加深学生的理解，我让学生阅读教材后面数学史话，观察赵爽弦图，尝试给出证明。【深入】有了前面的基础，大多数同学很快完成证明，达到了练习的目的。临近下课，我布置这一课时的作业：1.完成课后习题第1、2、3题；2查阅勾股定理的历史并尝试给出证明，鼓励自主创新设计图形，我们将在下周一展示优秀作业。这样的作业设计有两个考虑，一是巩固所学的勾股定理并利用定理解决一些实际问题；二是设计开放性习题，鼓励学生自主
5、探究，大胆尝试，培养数学兴趣，提升数学素养。【反馈】课后习题的完成没有什么问题，在这就不多做评价。第二部分习题的答案收上来后，让我大吃一惊，我深深感受到学生的思维是那么的活跃，下面是经过整理后的一些内容。不少同学都在网上搜索、查阅了与勾股定理有关的历史材料，在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，于是我国古代学者就把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此，我们称上述定理为勾股定理。周髀算经记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，后来人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，记录于三国时代的赵爽创制了一幅“勾股圆方图”
6、，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明，后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理在分享完相关历史材料后,我不失时机地告诉学生，早在4000多年前，我们的祖先就已经发现勾股定理，比西方国家要早许多年。大禹在治水时，就利用“勾股术”来进行高低水位差计算，我国著名的数学家华罗庚教授在数学的用场和发展一文中指出，用勾股定理的数形结合的图形，实现地球“人”与外星球“人”沟通的语言学生在交流这些相关史实时候，油然而生的是对我国灿烂文明的敬佩与自豪。作业的另一部分是对勾股定理证明的探索和思考，在学生探究的众多证明方法中，我选择以下有代表性的四个进行说明。(法1)细心的同学发现，在课后习题中提到了一种证法，是
7、利用两个全等的直角三角形构造一个直角梯形来进行证明，又称总统证法。以下就是证明过程：以a、b为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角Cl形的面积等于2ab.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.VRtEAD三RtCBE,，ZADE=ZBEc,VZAED+ZADE=90o,ZAED+ZBEC=90o.ZDEC=180o-90=90.,DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于:2c2.又YNDAE=90。,ZEBC=90o,DBC.1，四边形ABCD是一个直角梯形，它的面积等于:2(ab)2.2(a+b)2=22ab+2c2.；a2+b2=c2.(法2)
8、据学生介绍下面这种证法是选自课时A计划这一本辅导资料。按图所示摆放，其中NDAB=90,求证：a2b2=c2.证明：连结DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a,FC=DE=b,YS四边形ADCB=SACD+SABC=1.11,2D2+2abS四边形ADCB=SADB+SDCB=1、2c2+2a(b-a)Illl2b2+2ab=2c2+2a(b-a)a2+b2=c2参照上述证法，利用图也可以完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图所示摆放，其中NDAB=90,也可以证出a2+b2=c2o(法3)直角三角形BAC,绕其锐角顶点逆时针旋转90得ADAE,所以NBAE=90,且四边形A
9、CFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于RtZBAE和RtZBFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法.这种证明思路是利用S正方形ACFDS正方形ABFESZBAE+SZBFE=即S四边形ACFD=SZiBAE+SZBFE.*b2=l(b+a)(b-a)2C2+2,整理得：a2+b2=c2(法4)展示欧几里得证明方法，这也是教材阅读材料给出的证明方法，具体是用三个边长分别为a、b、C的正方形，把它们拼成如图所示的形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CLj_DE,交AB于点M,交DE于点L.FABCAD.VSFAB=l.ca2
10、32,.SCD2S长方形DLM=22,S长方形ADLMa2=同理可证：S长方形MLBEb2=TS正方形ADEB=S长方形ADLMS长方形MLEB+c2=a2+b2,BPa2+b2=C2.【归纳】“可以用一次的想法是决窍，如果它可以用两次以上，那它就成为一种方法”。面积法作为初中数学一种解题方法（回顾用面积法证明等腰三角形底上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高），通过此次作业训练，再次让学生对面积法有了更加深刻的认识。也让学生体会到面积法在数学中的应用。再次将数学思想和方法渗透于平时的教学之中。【应用】勾股定理不仅是解决直角三角形三边计算相关问题重要的工具，它还有更加奇妙的应用，凡遇到线段平方
11、类型问题，往往能要借助勾股定理来解决问题。下面给出以下两个问题，是等腰直角三角形的两个常见结论，在中考和一些自主招生试题中，经常以压轴题的形式出现。例1：如图，在aABC中，ZBC=90o，B=AC,D是BC上的点.求证:BD2A+CD2=2AD2证明：作AE_LBC于E,如上图所示：Y在aABC中，ZBAC=90o,AB=AC,BE=CE=AE,设BE=m,DE=n.则BD=m+n,CD=m-11.在RtAADE中，由勾股定理可得：AD2=m2+n2VBD2+CD2(m+n)2+(m-n)2二I112+2mnn2m2+-2mn+n2二2(m2n2+)即：BD2+CD2=2AD2在这里，一定要
12、让学生体会，在图形线段转换中，用小字母表示图中的线段，会化繁为简，有事半功倍之妙。经过思考，学生发现，过点D作DE_LAB,DFAC,利用ABDE和ACDF是等腰直角三角形，表示出DE和DF,在直角三角形AADE中，利用勾股定理,也同样得出证明。借机，我又设计了新课的作业，继续拓宽解题思路。提出问题，由“BD2+CD2”想到BD与CD能转化为一个直角三角形的两直角边吗？还记得旋转吗？让学生课后再次去探究新的解法。一题多解，能有效激发学生的探究欲望和学习兴趣。作业2：在等腰直角三角形ABC中，ZDAE=45o，证明：AD2+BE2=DE2本题让学生初步认识“半角模型”。再次让学生体会旋转，构造直
13、角三角形在题中的运用。【反思】有效的作业不仅是对新知识的巩固，也是教学效果反馈的手段，更是对数学兴趣培养的延续。在新的教学理念下，刷题的方式已经不适应现阶段要求，作业设计不仅要巩固新知，也应该加强对学生思维能力和分析问题、解决问题能力的训练，要让学生在作业中品尝问题解决时所带来的喜悦，也要通过自主探究和查阅资料，目的就是让学生养成主动解决问题的品质，让学生在学习活动中形成经验。回顾此次作业设计，我深刻体会到学生的思维是很灵活的，绝大多数学生是愿意动手动脑的，以往我们总是抱怨学生不认真完成作业，却忽略了作业的优化设计。在今后的教育教学中，我一定多思考，将作业设计当做和课堂教学一样重要，设计出学生愿意思考，主动完成的作业。参考文献:1：义务教育数学课程标准（2022年版）.北京师范大学出版社魏雪梅：探究“减负”背景下初中数学有效作业设计.试题与研究.2019(08)
