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1、五年级奥数：奇数与偶数 一、填空题 1五个连续奇数的和是85,其中最大的数是_,最小的数是_.2.三个质数 、 、 ,如果 1, + = ,那么 =_.3.已知a、b、c都是质数,且a+b=c,那么abc的最小值是_.4.已知a、b、c、d都是不同的质数,a+b+c=d,那么abcd的最小值是_.5. a、b、c都是质数,c是一位数,且ab+c=1993,那么a+b+c=_.6.三个质数之积恰好等于它们和的7倍,则这三个质数为_.7.如果两个两位数的差是30,下面第_种说法有可能是对的.这两个数的和是57.这两个数的四个数字之和是19.这两个数的四个数字之和是14.8.一本书共186页,那么数
2、字1,3,5,7,9在页码中一共出现了_次.9.筐中有60个苹果,将它们全部取出来,分成偶数堆,使得每堆的个数相同,则有_种分法.10.从1至9这九个数字中挑出六个不同的数,填在下图所示的六个圆圈内,使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数.那么最多能找出_种不同的挑法来.二、解答题11. 在一张9行9列的方格纸上,把每个方格所在的行数和列数加起来,填在这个方格中,例如a=5+3=8.问:填入的81个数字中,奇数多还是偶数多?123456789 1 2 3 4 5 6 7 8 912.能不能在下式:1 2 3 4 5 6 7 8 9=10的每个方框中,分别填入加号或减号,使等式成立?13.在八个房
3、间中,有七个房间开着灯,一个房间关着灯.如果每次同时拨动四个房间的开关,能不能把全部房间的灯关上?为什么?14.一个工人将零件装进两种盒子中,每个大盒子装12只零件,每个小盒子装5只零件,恰好装完.如果零件一共是99只,盒子个数大于10,这两种盒子各有多少个?答 案1. 21,13这五个数的中间数855=17,可知最大数是21,最小数是13.2. 2因为 1, + = ,所以 .这里的关键是明确质数除2以外都是奇数,假如 不等于2,则它一定是奇数,那么 + =偶数,显然这个偶数不会是质数.所以, 一定等于2.3. 30因为所有的质数除2以外都是奇数,题中a+b=c,仿上题,由数的奇偶性可以推知
4、a=2,b,c都是质数,根据abc的值最小的条件,可推知b=3,c=5,所以abc的最小值是235=30.4. 3135在所有质数中除2是偶数以外,其余的都是奇数,如果a,b,c,d中有一个为2,不妨设a=2,则b,c,d均为奇数,从而a+b+c为偶数,不符合条件a+b+c=d,所以a,b,c,d都是奇数.再根据abcd的值最小的条件,可推知a=3,b=5,c=11,d=19.因此abcd的最小值为351119=3135. 5. 194由ab+c=1993知,ab与c奇偶性不同.当ab为偶数,c为奇数时,c的值为3、5或7,不妨设b为2,则a的值为995,994或993.因为995、994、9
5、93都不是质数,所以不合题意舍去.当ab为奇数,c为偶数时,c=2,ab=1991,1991=11181,从而a的值是11,b的值是181.2、11、181均为质数符合题意.所以a+b+c=2+11+181=194.6. 3,5,7依题意,设三个质数为X,Y,Z,则X+Y+Z=,这样三个质数必定有一个质数是7.如果X=7,则YZ=Y+Z+7,即YZ-=7.根据数的奇偶性:偶-奇=奇；奇-偶=奇,进行讨论.当YZ为偶数, Y+Z为奇数时,则Y必定是2,从而有23-=1,25-=3,211-=9,均不符合条件.当YZ为奇数, Y+Z为偶数时,则Y、Z均为奇数.若Y=3,Z=5,则35-=7,符合条
6、件.所以,这三个质数分别是3,5和7.注以上五题都是质数与奇偶数的性质求解小、巧、活的例子.尤其要注意2是所有质数中唯一的偶数这一特征.命题者常在此涉足.7. 因为两个两位数的差是30,所以这两个两位数一定都是奇数,或都是偶数,且偶数+偶数=偶数,奇数+奇数=偶数,所以第种说法显然不对.因为差是30,所以它们的个位数字相同,那么相加一定是偶数；又差的十位数字是奇数,故两个两位数的十位数字一定是一奇一偶.通过以个分析,可得出:两个两位数的四个数字相加之和肯定是奇数,而不是偶数,所以第种说法也是错的.第种说法有可能对.注在排除第一种说法不对时,也可直接运用整数的奇偶性质:两个整数的和与差有相同的奇
7、偶性,即设a,b为整数,那么a+b与a-b有相同的奇偶性.证明+=2a为一偶数,所以a+b与a-b的奇偶性相同.这条性质在处理奇偶性问题中用途很广.8. 270因为1,3,5,7,9为连续奇数,分别算出186页总页码中个位、十位、百位上出现的奇数次数,再相加后所得的奇数总和即为数字1,3,5,7,9在页码中一共出现的总次数.从1186,个位上出现的奇数为1862=93次；从10186,十位上出现的奇数为109=90次；从100186,百位上出现的奇数为186-100+1=87次.所以,186页书中1,3,5,7,9在页码中一共出现了93+90+87=2709. 8由于每堆个数相同且分成偶数堆知
8、本题是要求60的偶因子的个数,因为每个偶因子对应于一种符合条件的分法,60的偶因子有：2,4,6,10,12,20,30和60,所以有8种分法.10. 17在所有质数中,除2是偶数外,其余是奇数.由所给出的数字,根据数的奇偶性质可知,六个数必定三偶三奇间隔排列.这样,按三个偶数的4种排列列举如下：2226444888662_4_6_: 2,1,4,7,6,5, 2,3,4,1,6,5, 2,3,4,7,6,5, 2,3,4,7,6,1, 2,9,4,1,6,5, 2,9,4,7,6,1, 2,9,4,7,6,5,共七种；248_: 2,1,4,3,8,5, 2,1,4,3,8,9, 2,1,4
9、,9,8,5, 2,3,4,9,8,5共四种；2_6_8_: 2,1,6,5,8,3, 2,1,6,5,8,9两种；4_6_8_: 4,1,6,5,8,3, 4,1,6,5,8,9,4,7,6,5,8,3, 4,7,6,5,8,9共四种.所以,最多能找出17种不同的排列.注也可以按照三个奇数的10种排列将偶数2,4,6,8填入空位,同样也有17种不同的排列.实质上,我们只要把上述的17种排列的每一种,按适当的轮换方法即得.例如,2,1,4,3,8,5 1,4,3,8,5,2.11.根据自然数和的奇偶性:奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,奇数+偶数=奇数,知,第一行填的数中偶数比奇数多1个,第
10、二行填的数中偶数比奇数少1个,第三得填的数中偶数比奇数多1个,第四行填的数中偶数比奇数少1个,可见,前8行中奇数和偶数的个数一样多,而第九行中偶数多.所以,81个数字中偶数多.12. 由题7评注知,在一个只有加减法运算的自然数式子中,如果把式子中减法运算改成加法运算,那么所得结果的奇偶性不变.因此无论在给出的式子每个方框中怎样填加减号,所得结果的奇偶性,与在每个方框中都填入加号所得结果的奇偶性一样.但是,每个方框中都填入加号所得结果是45,是个奇数.而式子的右边是10,是个偶数.也就是说从奇偶性上判断,要使题中式子成立是不可能的.13.不能.先看亮着灯的房间,每个房间的开关拨奇数次为关灯,奇数
11、个奇数之和为奇数,需拨奇数次.再看关着灯的那个房间,需拨偶数次为关灯.所以,为使全部房间关灯,拨动开关总次数为奇数.现在每次只能拨动四只开关,所以,拨动的总次数只能为偶数.综合以上两方面知,不能把全部房间的灯关上.14.根据每个大盒子装12只零件,不管大盒子个数是奇数还是偶数,由12偶=偶,12奇=偶,可知大盒子所装零件总只数是偶数,根据99-大盒子所装零件总只数=小盒子所装零件总只数可知,小盒子所装零件总只数是奇数,且能被5整除.这样,小盒子所装零件总只数的个位数必定是5,则大盒子所装零件总只数的个位数必定是4,由22=4,27=14,那么大盒子个数是2个或7个两种可能,相应小盒子个数是15或3个.因为7+3=10,所以这个工人用了2个大盒子,15个小盒子.4 / 4
