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1、-抛物线专题复习讲义及练习1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ()：标准方程图形焦点准线围对称轴轴轴顶点 0，0离心率2.抛物线的焦半径、焦点弦的焦半径;的焦半径； 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.AB为抛物线的焦点弦，那么 ，=3.的参数方程为为参数，的参数方程为为参数.考点1 抛物线的定义题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例1 点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q2，1的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离解析过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，当P点为
2、抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】1.抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、成等差数列， 那么有 A B C D. 解析C 由抛物线定义，即：2. 点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时, M点坐标是 ( )A. B. C. D. 解析 设M到准线的距离为,那么，当最小时，M点坐标是，选C考点2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程例2 求满足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛
3、物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上【解题思路】以方程的观点对待问题，并注意开口方向的讨论.解析 (1)设所求的抛物线的方程为或,过点(-3,2) 抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为(2)令得，令得，抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时，此时抛物线方程.所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面【新题导练】3.假设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,那么的值解析4.对于顶点在原点的抛物线，给出以下条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的
4、点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为2，1.能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_.要求填写适宜条件的序号解析 用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除，从而满足条件.5. 假设抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程解析 设点是点在准线上的射影，那么，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或考点3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证例3 设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),那么直线AB必过的定点坐标为_.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位
5、置解析设直线OA方程为,由解出A点坐标为解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点【名师指引】1由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；2B点坐标可由A点坐标用换k而得。【新题导练】6. 假设直线经过抛物线的焦点，那么实数解析-17.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,假设A、B在抛物线准线上的射影为,那么 ( ) A. B. C. D. 解析C根底稳固训练1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，那么这样的直线 A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在解析C ，而通径的长为42.在平面直角坐标系中，假设抛物
6、线上的点到该抛物线焦点的距离为5，那么点P的纵坐标为A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析 B 利用抛物线的定义，点P到准线的距离为5，故点P的纵坐标为43.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且那么抛物线的焦点坐标为( ) ABCD解析 D. 4.如果，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，F是抛物线的焦点，假设成等差数列且，那么= A5 B6 C 7 D9解析B 根据抛物线的定义，可知，2，n，成等差数列且,=65、抛物线准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60的直线与抛物线在x轴上方的局部相交于点A，ABl，垂足为B，那么四边形ABEF的面积等于 A B C D解析
7、C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H，设，那么，四边形ABEF的面积=6、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，那么为解析. 过A 作轴于D，令，那么即，解得综合提高训练7.在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标解析解法1：设抛物线上的点，点到直线的距离，当且仅当时取等号，故所求的点为解法2：当平行于直线且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为，代入抛物线方程得，由得，故所求的点为8.抛物线为非零常数的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为1求的坐标；2当点在何处时，点到直线的距离最小？解：1抛物线方程为故焦点的
8、坐标为2设直线的方程是9. 设抛物线的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点点 C在抛物线的准线上，且BCX轴证明直线AC经过原点O证明:因为抛物线的焦点为，所以经过点F的直线AB的方程可设为，代人抛物线方程得 假设记，那么是该方程的两个根，所以因为BCX轴，且点C在准线上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为即也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O10.椭圆上有一点M-4，在抛物线p0的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.1求椭圆方程；2假设点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.解：1上的点M在抛物线p0的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆
9、焦点.c=-4，p=8M-4，在椭圆上由解得：a=5、b=3椭圆为由p=8得抛物线为设椭圆焦点为F4，0，由椭圆定义得|NQ|=|NF|MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF|=，即为所求的最小值.参考例题：1、抛物线C的一个焦点为F，0，对应于这个焦点的准线方程为x=-.1写出抛物线C的方程；2过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求AOB重心G的轨迹方程；3点P是抛物线C上的动点，过点P作圆x-32+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.解：1抛物线方程为：y2=2x. 4分2当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-)，
10、代入y2=2x，得：k2x2-(k2+2)x+.设Ax1，y1，B(x2，y2)，那么x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.设AOB的重心为Gx，y那么，消去k得y2=为所求， 6分当直线垂直于x轴时，A，1，B，-1， 8分AOB的重心G，0也满足上述方程.综合得，所求的轨迹方程为y2=， 9分3设圆的圆心为Q3，0，半径r=，根据圆的性质有：|MN|=2. 11分当|PQ|2最小时，|MN|取最小值，设P点坐标为(x0，y0)，那么y=2x0.|PQ|2=x0-32+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5，当x0=2，y0=2时，|PQ|2取最小值5，故当P点坐标为2，2时
11、，|MN|取最小值. 抛物线专题练习一、选择题本大题共10小题，每题5分，共50分1如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为A1, 0B2, 0C3, 0D1, 02圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是Ax2+ y 2-x-2 y -=0Bx2+ y 2+x-2 y +1=0Cx2+ y 2-x-2 y +1=0Dx2+ y 2-x-2 y +=03抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是A1，1BCD2，44一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，假设水面下降1m，那么水面宽为AmB 2mC4.5mD9m5平面过点A-2，0
12、，且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是Ay 2=2xBy 2=4xCy 2=8x Dy 2=16x6抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点-5，m到焦点距离是6，那么抛物线的方程是Ay 2=-2xBy 2=-4xCy 2=2xDy 2=-4x或y 2=-36x7过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|=A8B10C6 D48把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是ABCD9过点M2，4作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有A0条B1条C2条D3条10过抛物线
13、y =ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，假设线段PF与FQ的长分别是p、q，那么等于A2aBC4a D二、填空题本大题共4小题，每题6分，共24分11抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，假设AB的长为4，那么焦点到AB的距离为12抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是13P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，那么这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是14抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，那么抛物线方程为三、解答题本大题共6小题，共76分15动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程(12分
14、)16抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M3，m到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值12分17动直线y =a，与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨迹的方程(12分)19如图，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等假设AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立适当的坐标系，求曲线段C的方程(14分)20抛物线过动点M，0且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，求的取值围；假设线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值(14分)参考答案一选择题本大题共10小
15、题，每题5分，共50分题号12345678910答案ADABCBACCC二填空题本大题共4小题，每题6分，共24分112 12 131，0 14三、解答题本大题共6题，共76分1512分解析：设动圆圆心为Mx，y，半径为r，那么由题意可得M到C0，-3的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C0，-3为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为16 (12分)解析：设抛物线方程为，那么焦点F，由题意可得，解之得或，故所求的抛物线方程为，1712分解析：设M的坐标为x，y，A，又B得消去，得轨迹方程为，即1812分解析：如图建立直角坐标系，设桥拱抛物线方程为，由题意
16、可知，B4，-5在抛物线上，所以，得，当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，那么A，由得，又知船面露出水面上局部高为075米，所以=2米19(14分) 解析：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点由题意可知：曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点设曲线段C的方程为，其中分别为A、B的横坐标，所以，由，得联立解得将其代入式并由p0解得，或因为AMN为锐角三角形，所以，故舍去p=4，由点B在曲线段C上，得综上得曲线段C的方程为20(14分) 解析：直线的方程为，将，得设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，那么又，解得设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为，那么由中点坐标公式，得，又为等腰直角三角形，即面积最大值为Tesoon. 天星天星om权tesoon天星om权天星om权Tesoon. 天星tesoontesoontesoon天星. z.
