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1、第13章离散图像处理,第13章 离散图像处理,13.1 引言,DFT仅仅是数字图像处理中的一种变换，其实还有很多种变换。,13.2 线性变换,13.2.1 一维离散线性变换,定义x是N1的向量，T是NN的矩阵，则：或定义了向量x的一个线性变换。,核矩阵,第13章离散图像处理,例：二维坐标系统中的一个向量旋转,求逆：T是非奇异的，则原向量x=T-1y。对上例来说，相当于该向量反向旋转。,第13章离散图像处理,13.2.1.1酉变换,若T是酉矩阵，则T-1=T*t,TT*t=T*tT=I,对T的每个元素取共轭复数,转置,当T的所有元素都是实数时，T-1=Tt，TTt=TtT=I,TTt的第(i,j
2、)元素是T的第i行与Tt的第j列（也就是T的第j行）的内积，i=j时为1，否则为0。因此，T的各行是一组正交向量。,例：一维DFT就是酉变换,酉阵,第13章离散图像处理,线性酉变换产生一个有N个变换系数的向量y，每个变换系数都是输入向量x和变换矩阵T的某一行的内积。反变换也类似。正变换可看作是一个分解过程：将信号向量分解成它的各个基元分量，这些基元分量自然以基向量的形式表示，变换系数规定了在原信号中各分量所占的量。反变换可看作是一个合成过程：通过将各分量相加来合成原始向量。上述过程的关键原理：任一个向量都能唯一地分解为分别具有“合适”幅度的一组基向量，然后通过将这些分量相加可以重构原向量。变换
3、系数的个数与向量的元素个数是相同的。变换后的向量是原始向量的一种表示，可由它完整地恢复出原始向量。因此它是原始向量的另一种形式。,第13章离散图像处理,13.2.2二维离散线性变换,将一个NN的矩阵F变换成另一个NN阵G。,变换的核函数，是N2N2的块矩阵，每行N块，共N行，m,n用于寻块，i,k用于块内寻元素,若：,则：,行方向的分量函数,列方向的分量函数,第13章离散图像处理,例：二维DFT，是可分离的、对称的酉阵。正变换：GWFW，反变换：FW*tGW*t,13.2.2.1正交变换与FT不同，许多变换在其核矩阵T中只有实元素，而实数酉阵是正交的，因此，FTtGTt。若T是对称阵，正反变换
4、相同，则：GTFT，FTGT,再进一步，如果两个分量相同，则变换是对称的：,则：,记为GTFT,T是酉阵，是变换的核矩阵,反变换：F T-1GT-1 T*tGT*t,第13章离散图像处理,13.3 基函数和基图像,13.3.1基函数,核矩阵的各行构成了N维向量空间的一组基向量，这些行是正交的，即：TT*tI或：,其中j,k是Kronecker函数：当j=k时j,k=1，而当jk时j,k=0。,任一组正交向量集都可用于一个线性变换，但通常整个集皆取自同一种形式的基函数。如FT用复指数作基函数。,第13章离散图像处理,13.3.2基图像,二维反变换可以看作是通过将一组被适当地加权的基图像求和而重构
5、原图像。变换矩阵G中的每个元素就是其对应的基本图像在求和时所乘的倍（系）数（即权值）。一幅基图像可通过对只含有一个非零元素（令其值为1）的系数矩阵进行反变换而产生，N2个这样的矩阵产生N2幅基本图像。设其中一个系数矩阵为：其中i,j分别为行和列的下标，p,q是标明非零元素位置的整数。,反变换：,这样，对于一个可分离的酉变换，每幅基本图像就是变换矩阵某两行的外积。,第13章离散图像处理,基图像可看作是分解原图像所得的单位集分量，同时也是组成原图像的基本结构单元。正变换通过确定系数来实现分解，反变换通过将基图像加权求和来实现重构。由于存在着无限多组基图像集，从而也就存在着无限多的变换。而某一组特定
6、的基图像集仅对相应的变换有重要的意义。,第13章离散图像处理,DFT的核矩阵：,13.4.1离散傅立叶变换,13.4 正弦型变换,虚指数具有周期性，因此W是酉矩阵。,一维DFT：FWf，fW*tF,N1的信号向量,N1的谱向量,第13章离散图像处理,13.4.1.1谱向量,上图是当f是实向量时，谱向量F中各频率分量所处的位置。零频和最高频率仅出现一次，其他分量以共轭复数的形式出现两次。如果Ft被看作是一个行向量，则前面的N/2+1个元素是谱的右半边，后N/2-1个元素在左半边。当fN是奈奎斯特折叠频率（采样频率的一半）时，对应于F的第i个元素的频率是：,第13章离散图像处理,如果f的后N/2个
7、元素是第一个元素到第N/2-1个元素的镜像，则F为实。为了生成一个适于画出频谱的向量，可对F循环右移（或左移）N/2个元素，这样零频率元素就会位于N/2。而它两边的频率分别向两个方向递增。奈奎斯特频率元素仅在f0出现。,也可以利用傅立叶变换的平移定理，即：,平移量u0N/2时,上式意味着，在执行DFT之前，改变f(x)的奇号元素的符号，可使谱移到适于绘图的位置。,第13章离散图像处理,13.4.1.2二维DFT,对4个像限重新排列，使显示更为方便。此时，零频落在矩阵中心，并沿径向增长。,第13章离散图像处理,13.4.2离散余弦变换DCT,第13章离散图像处理,第13章离散图像处理,13.4.
8、3正弦变换DST,核矩阵的元素：,第13章离散图像处理,13.4.4哈特利（Hartley）变换,基函数：,核矩阵：,哈特利变换是相应傅立叶变换的实部减去虚部。傅立叶变换是哈特利变换的偶部减去j乘以奇部。,第13章离散图像处理,对称、可分离的酉变换，元素均为1，且N=2n，（n整数）,13.5.1哈达玛变换（Hadamard）,13.5 方波型变换,07341625,第13章离散图像处理,01234567,13.5.2沃尔什变换（Walsh）,哈达玛变换的基函数就是沃尔什函数，因此，哈达玛变换也叫作沃尔什变换。注意：有的书中仅将有序哈达玛变换称为沃尔什变换。,第13章离散图像处理,13.5.3
9、斜变换,斜变换的酉矩阵从22的哈尔或哈达玛阵开始,第13章离散图像处理,N=8时的斜变换基函数,第13章离散图像处理,13.5.4哈尔变换,傅立叶变换的基函数间仅是频率不同。而哈尔函数在尺度（宽度）和位置上都是不同的。（双重索引）,第13章离散图像处理,基函数索引：尺度（宽度）和位置的双重索引。令整数0kN-1由其它两个整数p和q唯一决定，即：,k和p、q互为函数。对任意k0，2p是使2p k的2的最大幂，而q1是余数。,定义哈尔函数：,第13章离散图像处理,对于i0,1,2,N-1，令xi/N，则可以产生一组基函数。除了k0时为常数外，每个基函数都有单独的一个矩形脉冲对，这些基函数在尺度（宽
10、度）和位置上都有所变化。索引p规定了尺度，q决定了平移量。,哈尔函数对形式为一个矩形脉冲对的“原型”函数进行尺度变换和平移而得到，有如下两个方面的性质：1)基函数可以由单一索引k决定，但都有由索引p和q规定的尺度/位置（双重索引）。这样，沿k轴来画它的变换系数，就不像传统FT得到的频谱那样可以给出更具启发性的信息。2)假定在信号中沿x轴的某一位置有一个特征（如一条边），则FT可将该位置编码到相应谱中。这个特征位置被唯一地确定，并通过IFT被完全恢复。但它在谱中并不能很直观地显示出来。哈尔变换则直接反映线和边，因为其基函数有类似的特征。,第13章离散图像处理,例：k6时对应p2，q3，则,第13
11、章离散图像处理,哈尔变换基图像,第13章离散图像处理,用通过特征分析得出的基函数进行变换。,13.6.1特征分析,13.6 基于特征向量(eigen vector)的变换,对于NN的矩阵，有N个标量k，k=1,N，满足则称为矩阵的一组（唯一的）特征值。,特征值的解释：当矩阵的每一个对角元素都减去特征值时，将变为奇异阵。,当时，则N1的向量vk称为A的特征向量。,共有N组特征向量vk，每组对应于某一个特征值k，这些特征向量构成一个正交集。如果A是对称阵，k也是实数。,第13章离散图像处理,13.6.2主分量分析,由霍特林（Hotelling）提出，是可以去掉随机向量中各元素间相关性的线性变换。,
12、x是N1的随机向量，其每一个元素都是一个随机变量，其均值mx可通过L个样本向量来估算：,x的协方差矩阵Cx是NN的实对称阵，对角元素是各个随机变量的方差，非对角元素是它们的协方差。,第13章离散图像处理,用矩阵A来定义一个线性变换：其中A的行向量为Cx的特征向量。这些行向量按使得其对应的特征值递减而排列。,比较前面FT的酉阵,变换后的向量y是具有零均值的随机向量，其协方差矩阵与x的协方差矩阵的关系为：,由于A的行是Cx的特征向量，所以Cy是对角阵，且其对角元素为Cx的特征值，从而k也是Cy的特征值。,由于Cy的非对角元素都是0，所以y的各元素之间都是不相关的，也就是说，线性变换A去掉了变量间的
13、相关性。另外，k是第k个变换后的变量yk的方差。,第13章离散图像处理,13.6.2.1降维略去对应于较小特征值的一个或多个特征向量来给y降维。用于图像压缩。令B为MN的矩阵（MN），它是通过丢弃A的底下NM行，并假定m0而构成的。这样，变换向量就变小了，成为M1维的了。,重构时的近似均方差为：,第13章离散图像处理,13.6.3卡胡南-列夫变换（K-L变换）,实际上，霍特林变换、特征向量变换、主分量法等均指的是：,K-L变换的降维能力极强。例如，多光谱图像的每个像素都有多个灰度值，每个灰度值对应于一个谱带。因此，一个10001000的24通道多光谱图像可以被看作是一百万个24元随机向量。但是
14、，一幅多谱图像的不同谱带间通常存在着很大的相关性，因而24个特征值中有许多值都很小，这就意味着一组24幅单色图可以仅用少量主分量图来表示，而只会有很小的误差。,第13章离散图像处理,13.6.4SVD变换（奇异值分解）,SVD的压缩比很高，但解压时需要U和V。因此，对于一组类似的图像来说，可近似地使用同一对核矩阵U和V。（如果是传输，则只需传一次）,第13章离散图像处理,5个特征值,例：,第13章离散图像处理,像FT一样，酉变换将一幅图像分解成基图像加权和，则正变换过程决定了加权系数，而反变换将这些分解出的基图像合成为原图像。变换域滤波就是用反变换重构原图像之前，对加权系数进行修改。对于线性滤波，修改过程是通过将频谱乘以一个传递函数来实现。对一般意义上的滤波，系数矩阵先被修改（如用乘法等），然后反变换产生滤波后的图像。,13.7 变换域滤波,第13章离散图像处理,13.7.1边线和点的检测,哈尔变换对88图像的边缘检测能力。,图像中竖直或水平的线或边缘特征仅分别在变换图像的第一行和第一列产生非零项。,第13章离散图像处理,包含一个单像素冲激的图像,图13-9,
