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1、第一章 行列式,1 n阶行列式的定义2 行列式的性质3 行列式按行(列)展开4 克拉默法则,1 n阶行列式的定义,二阶与三阶行列式 排列与逆序 n阶行列式的定义,一、二阶与三阶行列式,二元线性方程组,由消元法，得,当 时，该方程组有唯一解,1.二阶行列式,求解公式为,二元线性方程组,请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.,其求解公式为,二元线性方程组,我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.,记号,数表,表达式 称为由该数表所确定的二阶行列式，即,其中，称为元素.,i 为行标，表明元素位于第i 行；j 为列标，表明元
2、素位于第j 列.,二元线性方程组,若令,(方程组的系数行列式),则上述二元线性方程组的解可表示为,2.三阶行列式,定义 对于有9个元素 排成3行3列的式子,记,称为三阶行列式.,主对角线,副对角线,三阶行列式的计算,对角线法则,注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.,实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.,例1 计算行列式,解,按对角线法则，有,方程左端,解,由 得,例2 求解方程,二、排列与逆序,定义,由正整数 组成的一个没有重复数字的n元有序数组，称为一个n级排列，简称排列，记为。,例如,4231,653412,1523,是一个4级排列,是一个6级排列,不是一个排
3、列,n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.,定义 在一个n级排列 中，如果数，则称数 与 构成一个逆序。在一个n级排列中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记为,例如 在排列32514中，,3 2 5 1 4,思考题：还能找到其它逆序吗？,答：2和1，3和1也构成逆序.,计算排列的逆序数的方法,则此排列的逆序数为,设 是 1,2,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。先看有多少个比 大的数排在 前面，记为；再看有多少个比 大的数排在 前面，记为;最后看有多少个比 大的数排在 前面，记为;,例1：,求排列 32514 的逆序数.,解：,练习：,求排列 453162 的逆序数.
4、,解：,因为3排在首位，故其逆序的个数为0；,在2的前面比2大的数有1个，故其逆序的个数为1；,在5的前面比5大的数有0个，故其逆序的个数为0；,在1的前面比1大的数有3个，故其逆序的个数为3；,在4的前面比4大的数有1个，故其逆序的个数为1。,易见所求排列的逆序数为,定义,逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。,定义,把一个排列 中某两个数，的位置互换，而其余数不动，得到另一个排列，这样的变换称为一个对换，记为。,将两个相邻元素对换，称为相邻对换,定理1,任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性。,即经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。,证明：,第一种情形。
5、,先看相邻对换的情况,设排列为，对换 与，变为,显然，这些元素的逆序数经过对换并不改变，,与 两元素的逆序数改变为：,当 时，经对换后 的逆序数增加1而 的逆序数不变；,当 时，经对换后 的逆序数不变而 的逆序数减少1；,所以，,排列 与排列 的奇偶性改变。,第二种情形。,再看一般情况。,设排列为，对它做 次相邻对换，变成,再做 次相邻对换，变成,总之，经 次相邻对换，排列 变成,所以这两个排列的奇偶性改变。,定理2,个自然数 共有 个 级排列，其中奇偶排列各占一半。,证明,级排列的总数为 个。,设其中奇排列为 个，偶排列为 个。,若对每个奇排列都做同一对换，则由定理1，,个奇排列均变成偶排列
6、，故；,同理，对每个偶排列做同一变换，则,个偶排列均变成奇排列，故。,从而，,三、n阶行列式的定义,规律：三阶行列式共有3!项。每项都是取自不同行、不同列的三个元素的乘积。每项的符号取决于：当该项元素的行标按自然数顺序排列后，如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，奇排列则取负号。,所以，三阶行列式可以写成,其中 表示对所有3级排列求和。,二阶行列式有类似规律。下面将行列式推广到一般的情形,定义,由 个元素 排成n行、n列构成的记号：,简记作，其中 为行列式D的(i,j)元,称为n阶行列式，其中 表示对所有n阶排列求和。,规律,n 阶行列式共有 n!项每项都是取自不同行不同列的 n 个元素的
7、乘积，每项各元素行标按自然数顺序排列后就是行列式的一般项形式：3.若行列式每项的行标都按自然数的顺序排列，其中 是指项的符号，且列序构成 n 级排列，若此排列为奇排列则此项取负号，若此排列为偶排列则此项取正号，所以行列式项的符号一半为正，一半为负。,思考题：成立吗？,答：符号 可以有两种理解：若理解成绝对值，则；若理解成一阶行列式，则.,注意：当n=1时，一阶行列式|a|=a，注意不要与绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式.,例如,所表示的代数和中有4！=24项。行标排列为1234，元素取自不同行；列标排列为1234，元素取自不同列，且逆序数,即元素乘积 前面应冠以正号，所以 为D的一项。行标
8、排列为1234，元素取自不同行；列标排列为4312，元素取自不同列，且逆序数,即排列4312为奇排列，所以元素乘积 前面应冠以负号，所以 为D的一项。有两个元素取自第四列，所以它不是D的一项。,定理3,n阶行列式也可以定义为,证明,按行列式定义有,记,由上面讨论知：,对于 中任一项，总有且仅,有 中某一项 与之对应并相等,于是，,与 中的项可以一一对应并相等。,从而，,例1,计算n阶行列式,的值，其中,解,记行列式的一般项为,中有很多项为零，现在考察有哪些项不为零。,一般项中第一个元素 取自第一行，但第一行中只有 不为零，因而，即 中只有含有 的那些项可能不为零，其他项均为零；一般项中第二个元
9、素 取自第二行，第二行中有 和 不为零，因第一个元素 已取自第一列，因此第二个元素不能再取自第一列，即不能取，所以第二个元素只能取，从而，即 中只有含 的那些项可能不为零，其他项均为零；这样推下去，可得，。因此，中只有 这一项不为零，其他项均为零。由于，因此这一项应取正号，于是可得,下三角形行列式,同理,上三角形行列式,特殊情况：,(1),对角行列式,行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线,由行列式定义不难得出：一个行列式若有一行（或一列）中的元素皆为零，则此行列式必为零,(2),(3),例2,计算行列式,解,一般项为，,现考察不为零的项。,取自第一行，,同理可得，。,即行列式中不为零的项只有,所以，,但第一行只有，故只可能。,例3,已知 是六阶行列式中的一项，求 并确定该项的符号。,解,由行列式的定义可知，,行列式的每一项的元素均取自不同行、不同列，,所以有，,再将该项的行标按自然数的顺序排好，得,列标的逆序数为,为偶排列。,故此项符号为正号。,例4,利用行列式计算,解,所以,
