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1、第3章 数字滤波器,1,第 3 章 数字滤波器,3.1 数字滤波器概述3.2 数字滤波器分析3.3 数字滤波器设计,第3章 数字滤波器,2,3.1 数字滤波器概述,数字滤波器是数字信号处理的重要基础，在对信号过滤、检测、参数估计等处理中，有着广泛的应用。数字滤波器是一个用有限精度算法实现的线性时不变离散系统，它实质就是一个运算过程，可以实现各种变换和处理。它将输入的数字信号(序列)通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，任何一个线性时不变系统都可以看作是数字滤波器。,第3章 数字滤波器,3,传统数字滤波器 应用：对模拟滤波器的功能进行模拟。功能：频率选择。可用频域特性表示：Y(ej)=H(e
2、j)X(ej)只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择 H(ej)，使滤波后的结果 H(ej)X(ej)符合人们的要求，即达到了滤波的目的。这就是传统数字滤波器的基本滤波原理，又称传统滤波思想。,第3章 数字滤波器,4,现代数字滤波器 数字滤波器越来越多地在计算机上实现，促使数字滤波算法不断推新利用计算机实现数字滤波器时，既可以在频域中进行(如频率选择)，也可以在时域中进行。这使得许多非频域滤波算法产生，将滤波的概念从狭义的频率选择与处理功能扩展为任何可实现的变换与处理，也因此产生了现代数字滤波器。,第3章 数字滤波器,5,3.1.1 数字滤波器分类,1.按频率响应幅度特性分类 按
3、传统的滤波概念，数字滤波器也像模拟滤波器一样，根据其频率响应振幅的通带特性，分为低通、高通、带通、带阻4种类型。,第3章 数字滤波器,6,图 6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性,第3章 数字滤波器,7,显然，数字滤波器的频带限于|（即|f|1/(2T)）的范围，幅频特性从通带到止带(阻带)的交界点是其重要参数。由于各种因素及误差的存在，实际的滤波器特性不可能达到理想化的要求，具有误差容限。通带：0p 阻带：s 过渡带：ps c：截止频率 1：通带幅度误差容限 2：阻带幅度误差容限,图 6.1.2 低通滤波器的技术要求,第3章 数字滤波器,8,通带和阻带内允许的衰减一般用分贝数
4、表示。通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s 表示：,(6.1.3),(6.1.4),如将|H(ej0)|归一化为 1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：,(6.1.5),(6.1.6),幅度下降到0.707时，=c，p=3dB，称c为3dB通带截止频率。,第3章 数字滤波器,9,2.按冲激响应h(n)长度分类 将数字滤波器看作线性时不变系统时，可以用冲激响应描述它。如果冲激响应h(n)(即单位脉冲响应)为无限长序列，则由该h(n)确定的滤波器称为无限冲激(脉冲)响应(IIR)滤波器；如果冲激响应h(n)(即单位脉冲响应)为有限长序列，则由该h(n)确定的滤波器称为有限
5、冲激(脉冲)响应(FIR)滤波器。IIR与FIR滤波器在设计方法上有明显的不同。,第3章 数字滤波器,10,3.按实现方法(或结构形式)分类 数字滤波器可用常系数线性差分方程表示：如果滤波器的当前输出y(n)由输入的当前值x(n)与过去值x(n-1),x(n-2),x(n-M)和输出的过去值y(n-1),y(n-2),y(n-N)确定，该滤波器称为递归滤波器；如果滤波器的当前输出y(n)仅由输入的当前值x(n)和过去值x(n-1),x(n-2),确定，与输出y(n)的过去值无关，该滤波器称为非递归滤波器。,第3章 数字滤波器,11,从结构上看，递归滤波器系统必有反馈回路，而非递归滤波器系统无反
6、馈回路，其系统函数为：作为递归系统，H(z)在Z平面上有不在原点上的极点。而非递归系统可以在时域直接用卷积描述。通常，IIR用递归结构实现较容易，FIR用非递归结构实现较容易。,(6.1.1),(6.1.2),第3章 数字滤波器,12,3.1.2 数字滤波器结构,数字滤波器结构常用方框图、信号流图和矩阵表示。当用计算机实现滤波器时，可以把滤波器结构看作软件算法说明，依此编写程序；当用专用数字硬件实现滤波器时，可将滤波器结构作为硬件实现的逻辑框图，依此设计硬件。,第3章 数字滤波器,13,1.方框图与信号流图 数字滤波器通常有三种基本运算，即乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用方框图与流图表示如
7、图所示。,图5.2.1 三种基本运算的方框图、流图表示,第3章 数字滤波器,14,方框图可以直观地展示滤波器的组成部件及它们的连接关系，便于实现。信号流图与方框图等效，但表示方法简单，又便于应用较完善的数字网络理论，故常被采用。,第3章 数字滤波器,15,2.几种基本的滤波器结构 每个数字滤波器都可以对应不同的结构，而结构的不同又会影响滤波器的精度(误差)、稳定性、经济性、运算速度等性能。FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：,其单位脉冲响应h(n)是有限长的，h(n)表示为,其它n,第3章 数字滤波器,16,而IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信
8、号流图中存在环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如一个简单的一阶IIR网络差分方程为 y(n)=ay(n-1)+x(n)其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各有不同的特点。,第3章 数字滤波器,17,IIR滤波器基本网络结构,(1)直接型 滤波器用N阶常系数线性差分方程表示如下：,第3章 数字滤波器,18,图5.3.1 IIR网络直接型结构,第3章 数字滤波器,19,图5.3.2 例5.3.1流图,例5.3.1 IIR数字滤波器的系统函数H(z)为,画出该滤波器的直接型结构。解：由H(z)写出差分方程如下：,第3章 数字滤波器,20,(2)级联型(串联型)在(5.1
9、.2)式表示的系统函数H(z)中，分子分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数，现将分子分母多项式分别进行因式分解，得到,(5.3.1),形成一个二阶网络Hj(z)，Hj(z)如下式：式中，0j、1j、2j、1j和2j均为实数。,(5.3.2),第3章 数字滤波器,21,这样，H(z)可以分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式：H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z)(5.3.3)式中Hi(z)表示一个一阶或二阶数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示。,图5.3.3 一阶和二阶直接型网络结构(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二
10、阶网络结构,第3章 数字滤波器,22,在IIR级联结构中，极点、零点的配对方式及所得二阶子系统级联的次序具有较大的灵活性。对于无限精度运算来说，所有各种配对方式和级联次序都是等效的，但对于有限精度运算而言，由于有限字长的影响，实际上他们可能差别很大，有一个最优选择问题，这也是为什么要讨论网络结构的原因之一。对于IIR，级联结构中的每一个二阶子系统只是关系到数字滤波器的某一对极点和一对零点，单独调整第k对极点和(或)零点(调整二阶子系统系数)，不影响其他极、零点，故级联结构的优点就是便于准确地实现数字滤波器的零、极点，也便于调整整个数字滤波器的性能。另外，这种结构受参数量化影响较小，实际中使用较
11、多。,第3章 数字滤波器,23,例5.3.2 设系统函数H(z)为：,试画出其级联型网络结构。解：将H(z)分子分母进行因式分解，得到,图5.3.4 例5.3.2流图,第3章 数字滤波器,24,(3)并联型 如果将级联形式的H(z)，展开部分分式形式，得到IIR并联型结构。,式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为,(5.3.4),式中，0i、1i、1i和2i都是实数。如果a2i=0则构成一阶网络。由(5.3.4)式，其输出Y(z)表示为 Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z),第3章 数字滤波器,25,对于IIR，并联
12、结构中的每个二阶子系统的极点位置可单独调整，但不能像级联结构那样直接控制零点。在运算误差方面，由于并联型各二阶子系统的误差互不影响，故并联型比级联型误差稍小些。,第3章 数字滤波器,26,例5.3.3 画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。解:将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：,将每部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图5.3.5所示。,图5.3.5 例5.3.3流图,第3章 数字滤波器,27,有限长脉冲响应基本网络结构,FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为,第3章 数字滤波器,
13、28,(1)直接型 按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图5.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构，由该结构确定的滤波器也叫横向滤波器。(2)级联型 将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样就构成由一阶或二阶因子组成的级联结构(也有最优选择问题)，其中每一个因式都用直接型实现。,图5.4.1 FIR直接型网络结构,第3章 数字滤波器,29,例5.4.1 设FIR网络系统函数H(z)为：H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。解：将H(z)进行因式分解，得到 H(z)
14、=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)其直接型结构和级联型结构如图5.4.2所示。,图5.4.2 例5.4.1流图,第3章 数字滤波器,30,3.数字滤波器设计步骤(1)按照实际任务要求，确定滤波器的性能指标；(2)用一个因果、稳定的离散线性时不变系统的系统函数(或频率响应)去逼近这一性能要求。可以用IIR系统函数，也可以用FIR系统函数；(3)利用有限精度算法实现系统函数。这里包括选择结构、合适的字长、有效的处理方法。在实际实现时，还要选择是用计算机软件还是专用数字滤波器硬件实现，或者采用两者的结合。后面介绍的滤波器设计方法主要解决(2)。,第3章 数字滤波器,31,3.2
15、 数字滤波器分析,(1)对于一个已有的滤波器，如何了解它的性能，它是否可以为我们所用，需要通过分析才能加以确定。(2)数字滤波器的设计常常不是一次性设计就可以达到目的，一般需要有一个反复修正、多次逼近希望构造的滤波器(性能)的过程。在这个过程中，除了采取有效的设计方法外，还需要对所设计的滤波器进行分析，以便确定所设计的滤波器是否满足性能要求，采用何种实现方法确保系统在有限精度条件下的性能与设计指标相符。因此，对数字滤波器进行分析，也是滤波器设计的一个环节，对滤波器的成功设计十分有用。,第3章 数字滤波器,32,下面通过一些简单的例子来说明数字滤波器的分析方法，并给出一些有用的概念。例1：某数字
16、滤波器的系统函数为H(z)=z+1(1)确定零、极点结构及频率特性；(2)推导滤波器的递推公式；(3)确定冲激响应h(n)；(4)画出滤波器结构图。,第3章 数字滤波器,33,解：(1)H(z)由单一零点构成，结构图为图1(a)。由系统函数确定频率响应为 用上式计算或根据零、极点结构进行几何作图得频率特性曲线为图1(b)。,第3章 数字滤波器,34,由频率特性曲线可知，该滤波器为低通滤波器。但也可以看出低通特性不够理想。,图1(b)幅频、相频特性曲线,第3章 数字滤波器,35,(2)Y(z)=H(z)X(z)=(z+1)X(z)作Z反变换得输入输出递推公式为 y(n)=x(n+1)+x(n)该
17、递推公式表明，滤波器的输出由输入信号的当前值x(n)和超前时刻值x(n+1)决定。如果要求实时实现该滤波器，显然是做不到的。所以，该滤波器是不可实现的。从H(z)可以看出，当零点数目极点数目时，递推公式中必然出现输入的超前时刻值，从而导致实时不可实现性。,第3章 数字滤波器,36,(3)h(n)的求解可利用4种方法实现：a.对H(z)求Z反变换得h(n)；b.将H(z)展开成z-1多项式，利用Z变换定义，(z-1)i项系数即为h(i)；c.利用冲激响应h(n)的概念，即令x(n)=(n)，利用递推公式求出y(n)，则h(n)=y(n)；d.递推公式与卷积y(n)=h(n)*x(n)均是对滤波器
18、输入输出关系的描述，用非递归递推公式与卷积表示式做比较确定出h(n)。若求解出h(n)，滤波器的输出就可以用卷积实现(用FFT实现快速卷积)，这是滤波器实现的一种途径。,第3章 数字滤波器,37,y(n)=x(n+1)+x(n)=h(n)*x(n)=h(-1)x(n+1)+h(0)x(n)由于h(n)中含有n0的序列值，所以该系统(滤波器)是非因果的，同样也说明其具有不可实现性。增加(零点数-极点数)个原点上的极点，可将系统的不可实现转化为可实现，且保持系统的幅频特性不变，即,第3章 数字滤波器,38,(4)软件可按递推公式实现，硬件可按结构图实现。,第3章 数字滤波器,39,例2：将例1系统
19、函数改为解：(1)该滤波器为高通滤波器。有z=1处的零点，使高通性能得到改善(利用零、极点作用)。,(略小于1),图2(a)Z平面零、极点结构图,图2(b)幅频特性曲线,第3章 数字滤波器,40,(2)为递归滤波器。递归实现有累计误差。(3)将H(z)展开为z-1多项式，即 为IIR滤波器。,第3章 数字滤波器,41,也可将该递归滤波器转化为非递归形式，即 用非递归结构实现该滤波器时，必然出现截断误差，且所需要的存储量与计算量远大于递归型滤波器。用Z平面中非原点上的极点等效非递归结构中的诸多零点，使非递归滤波器可以转化为递归形式。(4),第3章 数字滤波器,42,例3：写出有10个等冲激响应系
20、数的滑动平均滤波器的非递归与递归递推公式，并且(1)画出它的阶跃响应，确定滤波器输出的过渡过程时间(启动瞬变宽度)；(2)画出它在 0f(1/2T)Hz频率范围内的频率响应幅度特性。解：,第3章 数字滤波器,43,第3章 数字滤波器,44,(1)若输入x(n)为阶跃函数u(n)，且y(n-i)=0(i0)，则阶跃响应为,第3章 数字滤波器,45,(2)平滑滤波器实质为低通滤波器，属于FIR，可以用递归型结构实现，也可以用非递归滤波器实现。,(a)零、极点分布图(b)幅频特性曲线,第3章 数字滤波器,46,例4：系统函数为 式中r=0.990，0=100(弧度/s)，T是采样间隔。对频率分布于-
21、400400(弧度/s)范围内的信号以500(样本/秒)采样后，用该滤波器对信号进行滤波，试求：(1)零、极点结构图及0/T范围内的幅频特性曲线；(2)滤波器作用；(3)包含一个复共轭极点对有什么好处？(4)递推公式。,第3章 数字滤波器,47,/5,解：(1)T=1/500(s)=2ms 0T=100/500=/5(弧度)()=0,第3章 数字滤波器,48,(2)该滤波器称为陷波器，它可以对某个特定频率分量进行滤除。本系统滤除的频率分量为50Hz为电源干扰(工频干扰)，所以该滤波器可以滤除电源干扰。(3)极点作用：改善性能。(4)为递归结构。,第3章 数字滤波器,49,3.3 数字滤波器设计
22、,传统数字滤波器的设计依据是频率响应。从频率域设计一个数字滤波器的一般方法是：(1)在Z平面内根据滤波器性能指标适当地选择一组零、极点，构成H(z)；(2)根据H(z)确定其频率响应特性H(ej)，分析H(ej)与设计目标Hd(ej)的逼近程度；(3)若H(ej)与Hd(ej)的误差在容限范围内，则H(z)即为所设计系统，否则调整零、极点数目及位置，重复上述操作。,第3章 数字滤波器,50,显然，在此设计中有效地选择一组零、极点十分重要，它可以使我们尽快获得所需滤波器。但这项工作的完成却较为困难，它需要许多先验知识或经验，才能使我们做到有的放矢。为了有效地设计滤波器，已研究出针对IIR或FIR
23、滤波器的设计方法。3.3.1 IIR 滤波器设计3.3.2 FIR 滤波器设计3.3.3 最佳滤波器设计,第3章 数字滤波器,51,3.3.1 IIR 滤波器设计,设计IIR滤波器最常用的方法是将满足设计指标要求的模拟滤波器数字化。这样做有以下原因：(1)模拟滤波器设计技巧成熟，有用的成果多，有些方法有较简单的现成设计公式，因此，容易利用模拟滤波器研究出数字滤波器的设计方法，且容易获得简单的实现方法；(2)许多应用需要用数字滤波器模拟一个模拟滤波器。,第3章 数字滤波器,52,一些经典的模拟滤波器有：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器、切比雪夫(Chebys
24、hev)滤波器、考尔(Cauer)滤波器、椭圆(Elliptic)滤波器等。在模拟滤波器数字化过程中，从连续空间S平面映射到离散空间Z平面，应满足2个性质：(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的，即左半S平面的点(Res0)应映射到Z平面单位圆内(|z|1)；(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，以保持原模拟滤波器的频率选择性，即S平面的虚轴应映射到 Z平面的单位圆上。,第3章 数字滤波器,53,下面介绍几种常用、有效的IIR滤波器设计方法。3.3.1.1 冲激响应不变法 3.3.1.2 双线性变换法 3.3.1.3 频率变换法 3.3.1.4 直接设计法,第3章
25、 数字滤波器,54,设计思想：将模拟滤波器冲激响应的采样序列作为数字滤波器的冲激响应函数，即h(n)=ha(t)|t=nT，T为时域采样间隔 由时频关系可知，若ha(t)Ha(j)，h(n)H(ej)，则 上式说明，将模拟滤波器系统函数Ha(s)作周期延拓，并经 z=esT映射，即得到数字滤波器系统函数H(z)。,3.3.1.1 冲激响应不变法,第3章 数字滤波器,55,如果模拟滤波器系统函数可表示为则此时，S平面s=si处的极点变换为Z平面z=esiT处的极点，且Ai不变(注：零点不保证这种映射关系)。,(6.3.1),(6.3.2),(6.3.3),(6.3.4),第3章 数字滤波器,56
26、,考虑到较小时，数字滤波器可能有较高的增益，如模拟滤波器充分带限时，有因此实际实现该方法时，采用,第3章 数字滤波器,57,由于冲激响应不变法采用 映射关系，因此平面与平面映射关系如图6.3.1。,(6.3.6),图 6.3.1 S平面与Z平面之间的映射关系(z=esT),第3章 数字滤波器,58,图 6.3.2 冲激响应不变法的频率混叠现象,显然，是一种周期性映射，即对多映射，它是造成数字滤波器频谱混叠效应的根本原因，如图6.3.2。,第3章 数字滤波器,59,冲激不变法优点：(1)模拟与数字频率间是线性关系(=T)，除混叠外，频率响应形状基本保持不变。如果模拟滤波器是线性相位低通滤波器，变
27、换后，数字滤波器仍是线性相位低通滤波器。(2)保持模拟到数字滤波器的冲激响应波形不变。这种波形不变的概念可以推广，如阶跃响应不变法就是利用阶跃响应波形不变原理，使数字滤波器保持模拟滤波器良好的阶跃响应特性(上升时间短，过冲峰值低)。冲激不变法的缺点：与平面的多值映射，造成数字滤波器频谱可能出现混叠。冲激不变法仅适用于带限滤波器，适当选择采样间隔，可消除该方法中的混叠效应。对高通、带阻滤波器，该方法造成高频出现严重的混叠失真，应附加限带要求或不用该方法。,第3章 数字滤波器,60,一般a(s)的极点si是一个复数，且共轭成对出现，形成一个二阶基本节，如果模拟滤波器的二阶基本节形式为,极点为,(6
28、.3.11),则数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为,(6.3.12),(6.3.13),(6.3.14),若模拟滤波器二阶基本节为(6.3.13)，则数字滤波器为(6.3.14),第3章 数字滤波器,61,例6.3.1已知模拟滤波器的传输函数a(s)为 用冲激响应不变法将a(s)转换成数字滤波器的H(z)。解：首先将a(s)写成部分分式：,极点为s1=-(0.3224+j0.7772)，s2=-(0.3224-j0.7772),那么 H(z)的极点为则,第3章 数字滤波器,62,图 6.3.3 例 6.3.1 的幅度特性,第3章 数字滤波器,63,例：模拟滤波器原型为则用冲激响应不变
29、法得数字滤波器为,fs=10Hz,第3章 数字滤波器,64,3.3.1.2双线性变换法,冲激响应不变法使数字滤波器在时域上较好地模仿了模拟滤波器，但由于从S平面到Z平面的多值映射，使设计出的数字滤波器不可避免地出现频谱混叠。双线性变换的基本思想就是选择一种变换关系，使S平面与Z平面间建立一对一的单值映射关系，消除混叠现象，以便有效地保持幅度频率响应特性不变。,第3章 数字滤波器,65,一种单值变换关系为：由此确定的S平面与Z平面对应关系见图6.4.1。,(6.4.3),(6.4.4),第3章 数字滤波器,66,图 6.4.1 双线性变换法的映射关系,第3章 数字滤波器,67,例6.4.1 试分
30、别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图 6.4.4 所示的 RC 低通滤波器转换成数字滤波器。解：首先按照图 6.4.4 写出该滤波器的传输函数Ha(s)为,利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数 H1(z)为,第3章 数字滤波器,68,利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数 H2(z)为,H1(z)和 H2(z)的网络结构分别如图 6.4.5(a)(b)所示。,图 6.4.5 例 6.4.1 中 H1(z)和 H2(z)的网络结构(a)H1(z)(b)H2(z),1,第3章 数字滤波器,69,图 6.4.6 例 6.4.1中数字滤波器 H1(z)和 H2(z)的幅频特性,第3章 数字
31、滤波器,70,双线性变换所确定的模拟频率和数字频率间的关系为：令s=j，z=e j，并代入(6.4.3)式中，有,(6.4.5),图 6.4.2 双线性变换法的频率变换关系,第3章 数字滤波器,71,在不大时，模拟频率和数字频率间的映射大致是线性的，但在大部分频率刻度上，映射是高度非线性的，即当不断增大时，增长得越来越慢，当+时，终止于=处。这给双线性变换法在何时可以应用增加了很大的限制，它要求被变换的连续系统的幅频响应必须分段为常数，否则，数字幅频响应会产生弯曲变形。这种频率的非线性关系可以通过频率的预畸变进行校正而加以补偿。,第3章 数字滤波器,72,图 6.4.3 双线性变换法幅度和相位
32、特性的非线性映射,第3章 数字滤波器,73,带有预畸变处理的双线性变换法设计步骤为：(1)由待设计数字滤波器转折(临界)频率(通、阻带截止频率)及采样频率(1/T)应用 计算出预畸变后模拟滤波器的转折频率(参考图6.4.3)；(2)按预畸变后模拟转折频率设计模拟滤波器系统函数Ha(s)；(3)作双线性变换，即这样就可以保证变换后的数字滤波器临界频率满足设计要求。,第3章 数字滤波器,74,例：对冲激响应不变法最后一例应用双线性变换法。解：,第3章 数字滤波器,75,双线性变换法与冲激响应不变法相比，显然幅频无混叠。,(a)冲激响应不变法,(b)双线性变换法,fs=10Hz,第3章 数字滤波器,
33、76,优点：(1)双线性变换法在模拟滤波器和数字滤波器之间提供了一种简单的映射，本质上是一种代数变换，它将S平面上的虚轴映射到Z平面的单位园上；(2)它具有将可实现的稳定的连续系统映射为可实现的稳定的数字系统的性质；(3)宽带锐截止模拟滤波器可以映射为宽带锐截止数字滤波器，同时不产生频响混叠。缺点：(1)连续系统的频率响应必须分段为常数，以补偿模拟频率和数字频率刻度间的非线性影响；(2)经双线性变换后的数字滤波器没有保持模拟滤波器的冲激响应和相位响应。,第3章 数字滤波器,77,3.3.1.3 频率变换法,数字滤波器设计也可以像模拟滤波器一样，采用频率变量作适当的变换，由归一化的低通滤波器产生
34、出各类数字滤波器来。结合模拟滤波器变换为数字滤波器的各种方法，可以从2个途径由归一化的模拟低通原型滤波器得到所需特性的数字滤波器：,第3章 数字滤波器,78,1.模拟频率变换 频率变换在S域中进行：,第3章 数字滤波器,79,从上述变换可以看出：频率变换是高度非线性的。由于被变换滤波器的频率响应在感兴趣的频带内要求逼近一个分段为常数的特性，使这种非线性不致于引起设计困难。当低通特性变换到其他特性时，其幅度特性和波动情况仍然保持不变(如图示)。,第3章 数字滤波器,80,设计步骤：(1)将待设计的IIR数字滤波器技术指标转换成归一化原型模拟低通滤波器的技术指标；(2)按技术指标设计归一化原型模拟
35、低通滤波器，得系统函数为HaN(s)；(3)将归一化模拟低通滤波器HaN(s)通过频率变换，转换成所需性能的低通、高通、带通、带阻模拟滤波器Ha(s)；(4)采用冲激响应不变法、双线性变换法等进行数字化，将模拟滤波器Ha(s)转换成所需性能的数字滤波器H(z)。,第3章 数字滤波器,81,2.数字频率变换 频率变换在Z域中进行：p 为数字原型低通滤波器截止频率,低通 低通 p p,低通 高通 p p,p:要求的截止频率,p:要求的截止频率,第3章 数字滤波器,82,低通 带通 p L H,L:要求的下截止频率 H:要求的上截止频率,低通 带阻 p L H,L:要求的下截止频率 H:要求的上截止
36、频率,第3章 数字滤波器,83,设计步骤：(1)将待设计的IIR数字滤波器技术指标转换成归一化原型模拟低通滤波器的技术指标；(2)按技术指标设计归一化原型模拟低通滤波器，得系统函数为HaN(s)；(3)对归一化模拟低通滤波器HaN(s)，采用冲激响应不变法、双线性变换法等进行数字化，转换成截止频率为p的数字低通滤波器Hd(z)；(4)利用Z域频率变换，将数字低通滤波器Hd(z)转换成所需性能的数字滤波器H(z)。,第3章 数字滤波器,84,与模拟频率变换法相比，数字频率变换法适用范围更大。因为在途径1中，若实现的目标是高通或带阻数字滤波器，则数字化时不宜采用冲激响应不变法，否则高通或带阻模拟滤
37、波器在数字化时将产生混叠效应而造成高通或带阻数字滤波器频率特性的改变。,第3章 数字滤波器,85,3.3.1.3 直接设计法,前述IIR滤波器设计方法，均是通过模拟原型滤波器数字化获得数字滤波器的，这是一种间接的设计方法，数字滤波器的幅度特性受到所选模拟滤波器特性的限制，不适宜设计任意幅度特性的数字滤波器。以下方法可以在数字域直接设计任意幅度特性的数字滤波器。,第3章 数字滤波器,86,1.零极点累试法方法：(1)根据欲设计数字滤波器的幅频特性|Hd(ej)|确定零、极点位置，依此写出系统函数H(z)，计算幅频特性|H(ej)|；(2)比较|H(ej)|与|Hd(ej)|，若不满足设计指标，修
38、正零、极点位置与数目，重复上步操作。零极点累试法在确定零极点位置时要注意：(1)极点必须位于 z 平面单位圆内，保证数字滤波器因果稳定；(2)复数零极点必须共轭成对，保证系统函数有理式的系数是实的。,第3章 数字滤波器,87,图 6.6.1 例 6.6.1 图(a)零极点分布(b)幅度特性,第3章 数字滤波器,88,2.幅度平方误差最小法 设IIR滤波器由K个二阶网络级联而成，系统函数为,(6.6.1),式中，A是常数，ai、bi、ci、di是待求系数。设Hd(ej)是希望设计的滤波器频响，如果在(0,)区间取N点数字频率i(i=1,2,N)，在这N点频率上，定义|Hd(ej)|和|H(ej)
39、|的幅度平方误差E为显然，当E0时，H(ej)Hd(ej)。,(6.6.2),第3章 数字滤波器,89,设计原则：使E最小。按照(6.6.2)式，E是(4K+1)个未知数的函数，表示为 令 则解方程组 即可获得(4K+1)个待定系数，由此确定出系统函数H(z)。,(6.6.3),第3章 数字滤波器,90,幅度平方误差最小法实质为最小二乘准则，该准则追求的目标是使总的逼近误差能量最小，但允许在个别频率点上有较大的误差。例如，在过渡带附近。在设计过程中，由于对系统函数零点或极点的位置没有加任何限制，有可能使某些零点或极点位于单位圆外。为保证设计出的滤波器是稳定的，必须对不稳定(单位圆外)的极点进行
40、修正，即用z=1/p*处的极点代替z=p处的极点(假设|p|1)。如果所设计滤波器要求是最小相位的，则对于单位圆外的零点可以采用同样的方法重新确定零点位置。用新确定的零、极点再按上述方法重新设计，最终找出逼近设计目标的H(z)。,第3章 数字滤波器,91,图 6.6.2 例 6.6.2 图(a)要求的幅度特性(b)k=1,2时的幅度特性,例6.6.2 设计低通数字滤波器，其幅度特性如图6.6.2(a)所示，截止频率s=0.1rad。,第3章 数字滤波器,92,若使用的误差函数为,(6.6.12),则称为最小p误差准则。使Ep最小，即可获得所需H(z)。3.幅值平方函数设计法 数字滤波器幅值平方
41、函数表示为如果H(z)H(z-1)可以因式分解确定出零、极点，则Z平面单位圆内的极点及对称零点的一半即构成了H(z)。由于因式分解并非总是可行，因此这种方法受到很大限制。,|)p,第3章 数字滤波器,93,3.3.2 FIR 滤波器设计,IIR数字滤波器设计方法能够较好地保留模拟滤波器的优良特性，因而得到广泛应用。但这一特性的获得是以相位的非线性为代价的。在许多应用中，如数据传输等波形传递系统中所需的滤波器，既要求有满意的幅频特性，又要具有线性相位特性。FIR即具有此独特的优点，它在设计出任意幅频特性的同时，可以保证精确、严格的线性相位特性。,第3章 数字滤波器,94,3.3.2.1 FIR数
42、字滤波器的线性相位特性3.3.2.2 窗函数法3.3.2.3 频率采样法3.3.2.4 IIR和FIR数字滤波器的比较,第3章 数字滤波器,95,3.3.2.1 FIR数字滤波器的线性相位特性,1.线性相位条件 FIR数字滤波器的单位冲激响应h(n)为实序列且有限长(0nN-1)，其频率响应为,(7.1.1),(7.1.2),第3章 数字滤波器,96,如果h(n)满足偶对称条件，即 h(n)=h(N-n-1)0nN-1(7.1.5)则它具有严格线性相位特性(称为第一类线性相位滤波器)，其相位特性为()=-,为常数(7.1.3)=(N-1)/2 此时有p=q=常数，其中 相延迟 群延迟 群延迟是
43、滤波器平均时延的度量，为频率函数。,第3章 数字滤波器,97,如果h(n)满足奇对称条件，即 h(n)=-h(N-n-1)(7.1.6)则它具有线性相位特性(称为第二类线性相位滤波器)，其相位特性为()=0-,0是初始相位(7.1.4)0=/2=(N-1)/2 此时相位为分段线性函数，滤波器具有恒定群延迟。说明信号通过该滤波器不仅有(N-1)/2个采样周期的群延迟，而且有/2的相移。,第3章 数字滤波器,98,证明：(1)第一类线性相位条件,将(7.1.5)式代入上式得,令m=N-n-1，则有,(7.1.7),第3章 数字滤波器,99,按照上式可以将H(z)表示为,将z=e j代入上式，得到：
44、,按照(7.1.2)式，幅度函数Hg()和相位函数分别为,(7.1.8),(7.1.9),第3章 数字滤波器,100,(2)第二类线性相位条件,(7.1.10),令m=N-n-1,则有,同样可以表示为,n-,第3章 数字滤波器,101,因此，幅度函数和相位函数分别为,(7.1.11),(7.1.12),2.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点 1)h(n)=h(N-n-1)，N=奇数,Hg()以(N-1)/2为中心，且偶对称，故幅度函数表示为,第3章 数字滤波器,102,令m=(N-1)/2-n,则有,(7.1.13),(7.1.14),式中,由于(7.1.13)式中cos(n)项对=0
45、,2皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对=0,2偶对称。,第3章 数字滤波器,103,2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数 Hg()中相等的项合并成N/2项，即,令m=N/2-n,则有,(7.1.15),(7.1.16),幅度特性的特点是对=奇对称，且=处零点使Hg()=0。,第3章 数字滤波器,104,3)h(n)=-h(N-n-1)，N=奇数,令m=(N-1)/2-n，则有,(7.1.17),(7.1.18),幅度特性Hg()在=0,2处为零，即z=1处是零点，且Hg()对=0,2呈奇对称。,第3章 数字滤波器,105,4)h(n)=-h(N-n-1)，N=偶数,令m=N/2-n,则有,
46、(7.1.19),(7.1.20),(,幅度特性Hg()在=0,2处为零，即z=1处是零点，且Hg()对=0,2呈奇对称，对=呈偶对称。,第3章 数字滤波器,106,第3章 数字滤波器,107,奇对称 h(n)=-h(N-n-1),第3章 数字滤波器,108,3.线性相位FIR滤波器零点分布特点 第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(7.1.7)式和(7.1.10)式，综合起来表示为：,(7.1.21),图7.1.1 线性相位FIR滤波器零点分布,零点必须是互为倒数的共轭对，确定其一，另外3(或1)个随之确定。,第3章 数字滤波器,109,4.线性相位FIR滤波器网络结构 设N为偶数，则有
47、,令m=N-n-1,则有,(7.1.22),如果N为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出，,(7.1.23),第3章 数字滤波器,110,图7.1.2 第一类线性相位网络结构,第3章 数字滤波器,111,图7.1.3 第二类线性相位网络结构,第3章 数字滤波器,112,结论：FIR线性相位特性说明，只要将h(n)设计成有限长对称结构，则由h(n)确定的滤波器必然具有线性相位特性。从设计角度来看，线性相位特性的最大好处就是可以简化FIR滤波器的设计。因为此时滤波器对输入信号的所有频率分量呈现相同的纯时间延迟(该延迟等于相频特性的斜率，即时常数)，所以设计该类滤波器时只需逼近期望的幅频特性即可
48、。,第3章 数字滤波器,113,5.FIR滤波器特点 由于h(n)有限，FIR滤波器系统函数和递推公式表示为 系统函数由(N-1)个零点及(N-1)个原点上的极点构成，故滤波器特性完全由零点确定。滤波器输出只取决于输入，故结构为横向、非递归结构。可利用FFT通过快速卷积确定滤波器输出，有时也可用递归结构实现FIR滤波器(更经济)。由于零点对系统稳定性没有影响，所以FIR滤波器总是稳定的；又由于h(n)全部定义在正时间轴上，所以FIR滤波器也总是因果的。,第3章 数字滤波器,114,3.3.2.2 窗函数法,1.设计思想 设计FIR滤波器最直接最简单的方法就是将无限时宽冲激响应截短得到有限长度冲
49、激响应。窗函数法的设计依据是滤波器的理想频率响应Hd(ej)，由此可确定出与其对应的单位脉冲响应hd(n)，即 由于Hd(ej)一般为分段恒定，且在通带与阻带边界上有突跳点，故hd(n)一般具有无限时宽。,n,第3章 数字滤波器,115,为了构造长度为N的线性相位滤波器，用RN(n)(矩形窗序列)截取hd(n)，得 h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3)再使h(n)对(N-1)/2对称，这样即获得了数字滤波器，其系统函数为H(z)这就是用窗函数法设计FIR滤波器的基本思想。,第3章 数字滤波器,116,图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗,第3章 数字滤波器,117,2.窗函数的
50、影响研究结果表明，这种加窗处理方法会产生Gibbs现象(振荡)。对(7.2.3)式进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得式中Hd(ej)和RN(ej)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即RN()称为矩形窗的幅度函数。,(7.2.5),第3章 数字滤波器,118,将Hd(ej)写成,Hd()为理想数字滤波器的幅度特性，将Hd(ej)和RN(ej)代入(7.2.4)式，得,将H(ej)也写成,(7.2.6),第3章 数字滤波器,119,图7.2.2 矩形窗对理想低通 幅度特性的影响,第3章 数字滤波器,120,由上述分析可知，对hd(n)加矩形窗后，H()和理想Hd()有以下差别：(1)在理想
