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1、第4章 图像变换,4.1 傅里叶变换4.2 离散余弦变换4.3 K-L变换4.4 小波变换,2023/11/3,第4章 图像变换,为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到其他空间，并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理，然后通过逆变换操作转换到图像空间。本章讨论图像变换重点介绍图像处理中常用的正交变换，如傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换等。,2023/11/3,1.一维连续傅里叶变换 设f(x)为x的函数，如果f(x)满足下面的狄里赫莱条件：(1)具有有限个间断点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积。则定义f(x)的傅里叶变换为：,2023
2、/11/3,4.1 连续傅里叶变换,从F(u)恢复f(x)称为傅里叶反变换，定义为：,2023/11/3,上述二式形成傅里叶变换对，记做：,函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复数，它可以由下式表示：F(u)=R(u)+jI(u)R(u),I(u)分别为F(u)的实部和虚部。,写成指数形式：,4.1 连续傅里叶变换,F(u)为复平面上的向量，它有幅度和相角：,2023/11/3,幅度：,相角：,幅度函数|F(u)|称为f(x)的傅里叶谱或频率谱，(u)称为相位谱。,称为f(x)的能量谱或称为功率谱。,4.1 连续傅里叶变换,2.二维连续傅里叶变换 傅里叶变换可以推广到两个变量连续可积的函数f(x
3、,y)若f(x,y)满足狄里赫莱条件，则存在如下傅里叶变化对：,2023/11/3,二维函数的傅里叶谱、相位和能量谱分别表示为：,2023/11/3,1.一维离散傅里叶变换 对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。设共采了N个点，则这个离散序列可表示为f(0),f(1),f(N-1)。借助这种表达，并令x为离散空域变量，u为离散频率变量，可将离散傅里叶变换定义为：,4.1.2 离散傅里叶变换,傅里叶反变换定义由表示：,2023/11/3,可以证明离散傅里叶变换对总是存在的。其傅里叶谱、相位和能量谱如下：,4.1.2 离散傅里叶变换,2.离散傅里叶变换（DFT）的矩阵表示法 由DFT
4、的定义，N4的原信号序列f(x)=f(0),f(1),f(2),f(3)的傅里叶变换F(u)展开为：,2023/11/3,4.1.2 离散傅里叶变换,将e指数项化简可写成矩阵形式：,2023/11/3,记作：,可用复平面的单位圆来求W的各元素。如图4-1所示。当N=4时，参看图4.1(a)。把单位圆分为N=4份，则正变换矩阵第u行每次移动u份得到该行系数。,4.1.2 离散傅里叶变换,2023/11/3,(a),(b),图4.1 复平面单位圆(a)N4(b)N8,4.1.2 离散傅里叶变换,2023/11/3,同理N=8见图4-1(b)的单位圆。N=8的W阵应把单位圆分为8份，顺时顺次转0份,
5、1份、,7份，可得W阵为:,4.1.2 离散傅里叶变换,2023/11/3,4.1.2 离散傅里叶变换,2.二维离散傅里叶变换 一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此，数字图像处理主要是二维数据处理。如果一幅二维离散图像f(x,y)的大小为M*N，则二维傅里叶变换可用下面二式表示。,2023/11/3,4.1.2 离散傅里叶变换,在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情况下总是M=N。正逆变换对具有下列对称的形式：,2023/11/3,4.1.2 离散傅里叶变换,3.二维离散傅里叶变换的性质 二维离散傅里叶变换有一些重要的性质，这些性质为使用提供了极大的方便。1）分离性 二维离散傅
6、里叶变换具有分离性,2023/11/3,4.1.2 离散傅里叶变换,2023/11/3,分离性质的主要优点是可借助一系列一维傅里叶变换分两步求得F(u,v)。第1步，沿着f(x,y)的每一行取变换，将其结果乘以1/N,取得二维函数F(x,v);第2步，沿着F(x,v)的每一列取变换，再将结果乘以1/N,就得到了F(u,v)。这种方法是先行后列。如果采用先列后行的顺序，其结果相同。如图4.6所示。,4.1.2 离散傅里叶变换,2023/11/3,行变换,列变换,图4.6 把二维傅里叶变换作为一系列一维的计算方法,4.1.2 离散傅里叶变换,对逆变换f(x,y)也可以类似地分两步进行。,2023/
7、11/3,4.1.2 离散傅里叶变换,2）平移性 傅里叶变换和逆变换对的位移性质是指：,2023/11/3,由f(x,y)乘以指数项并取其乘积的傅立叶变换，使频率平面的原点位移至(u0,v0)。同样地，以指数项乘以F(u,v)并取其反变换，将空间域平面的原点位移至(x0,y0)。当u0=v0=N/2时，指数项为：,4.1.2 离散傅里叶变换,即为：,2023/11/3,这样，用（-l）(x+y)乘以f(x,y)就可以将f(x,y)的傅里叶变换原点移动到N*N频率方阵的中心，这样才能看到整个谱图。另外，对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值。此外，与连续二维傅里叶变换一样，二维离散傅里叶变
8、换也具有周期性、共轭对称性、线性、旋转性、相关定理、卷积定理、比例性等性质。这些性质在分析及处理图像时有重要意义。,4.1.2 离散傅里叶变换,3.DFT应用中的问题 1）频谱的图像显示 DFT在计算机图像处理中计算的中间过程和结果要图像化。对DFT来讲不但f(x,y)是图像,F(u,v)也要用图像来显示其结果。谱图像就是把|F(u,v)|作为亮度显示在屏幕上。但在傅里叶变换中F(u,v)随u,v的衰减太快，其高频项只看到一两个峰，其余皆不清楚。由于人的视觉可分辨灰度有限，为了得到清晰的显示效果，即为了显示这个频谱，可用下式处理，设显示信号为D(u,v),2023/11/3,4.1.2 离散傅
9、里叶变换,即用显示D(u,v)来代替只显示|F(u,v)|不够清楚的补救方法。谱的显示加深了对图像的视觉理解。如一幅遥感图像受正弦网纹的干扰，从频谱图上立即可指出干扰的空间频率并可方便地从频域去除。如图4.7为图像的傅里叶频谱图像,2023/11/3,4.1.2 离散傅里叶变换,2023/11/3,图4.7 图像的傅里叶频谱图像，原始图像，(b)频谱直接显示，(c)频谱经过变换后的结果,(b),(c),4.1.2 离散傅里叶变换,a.,a.,2.频谱图像的移中显示 常用的傅里叶正反变换公式都是以零点为中心的公式，其结果中心最亮点却在频谱图像的左上角，作为周期性函数其中心最亮点将分布在四角，为了
10、观察方便，将频谱图像的零点移到显示的中心。当周期为N时，应在频域移动N/2。利用DFT的平移性质，先把原图像f(x,y)乘以(-1)(x+y)然后再进行傅里叶变换，其结果谱就是移N/2的F(u,v)。图4-8所示。应当注意，显示是为了观看，而实际F(u,v)数据仍保留为原来的值。,2023/11/3,4.1.2 离散傅里叶变换,2023/11/3,图4.8 频谱图像的移中显示(a)未移至中心的频谱图像，(b)移至中心后的频谱图像,(a),(b),4.1.2 离散傅里叶变换,3.旋转性 应用中，对两幅图像进行傅里叶变换后，为求两幅图像的相似性，常须对频域图进行旋转寻找匹配。此时FT公式常用极坐标
11、表示为傅里叶变换对。设f(x,y)为原图中任一点的坐标，为(x,y)点与x轴的夹角，则傅里叶变换对为：,2023/11/3,若空域,频域,4.1.2 离散傅里叶变换,则旋转不变性质为：,2023/11/3,上式表明，在空域中对图像f(x,y)旋转0对应于将其傅里叶变换F(u,v)也旋转0，类似的，对F(u,v)旋转0也对应于将其傅里叶反变换f(x,y)旋转0。,4.1.2 离散傅里叶变换,2023/11/3,(a),(b),图4.9 傅里叶变换的旋转性，对比图4.8,4.1.2 离散傅里叶变换,2023/11/3,4.数字图像傅里叶变换的频谱分布和统计特性 1)数字图像傅里叶变换的频谱分布 数
12、字图像的二维离散傅里叶变换所得结果的频率成分如图4.10所示，左上角为直流成分，变换结果的四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频部分。为了便于观察谱的分布，使直流成分出现在窗口的中央，可采用图示的换位方法，根据傅里叶频率位移的性质，只需要用f(x，y)乘上 因子进行傅里叶变换即可实现，变换后的坐标原点移动到了窗口中心，围绕坐标中心的是低频，向外是高频。,4.1.2 离散傅里叶变换,2023/11/3,图4.10 二维傅里叶变换的频谱分布,4.1.2 离散傅里叶变换,2023/11/3,图4.11 频率位移示例,4.1.2 离散傅里叶变换,2023/11/3,图4.11为二维离散傅里叶变
13、换的频率位移特性。围绕坐标中心的是低频，向外是高频，频谱由中心向周边放射，而且各行各列的谱对中心点是共轭对称的，利用这个特性，在数据存储和传输时，仅存储和传输它们中的一部分，进行逆变换恢复原图像前，按照对称性补充另一部分数据，就可达到数据压缩的目的。,2）图像傅里叶变换的统计分布（1）傅里叶变换后的零频分量F（0，0），也称作直流分量，根据傅里叶变换公式有：,它反映了原始图像的平均亮度。,4.1.2 离散傅里叶变换,2023/11/3,（2）对大多数无明显颗粒噪音的图像来说，低频区集中了85的能量，这一点成为对图像变换压缩编码的理论根据，如变换后仅传送低频分量的幅值，对高频分量不传送，反变换前再将它们恢复为零值，就可以达到压缩的目的。（3）图像灰度变化缓慢的区域，对应它变换后的低频分量部分；图像灰度呈阶跃变化的区域，对应变换后的高频分量部分。除颗粒噪音外，图像细节的边缘、轮廓处都是灰度变化突变区域，它们都具有变换后的高频分量特征。,4.1.2 离散傅里叶变换,
