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1、第 6 章 Z变换,6.1 z变换基础6.2 传输函数6.3 逆z变换6.4 传输函数与稳定性,返回,6.2.1 传输函数和差分函数6.2.2 传输函数很脉冲响应6.2.3 计算滤波器输出6.2.4 传输函数的级联和并联,6.2 传输函数,返回,6.3 逆z变换,6.3.1 标准式6.3.2 简单的逆 z 变换6.3.3 长除法求逆 z 变换6.3.4 部分分式展开法求逆 z 变换,返回,6.4 传输函数与稳定性,6.4.1 极点与零点6.4.2 稳定性6.4.3 一阶系统6.4.4 二阶系统,返回,专业词汇,z transform z变换 region of convergence 收敛域i
2、nverse z transform 逆z变换transfer function 传输函数partial fraction expansion 部分分式展开cover-up method 覆盖法zero 零点 pole 极点marginally stable 临界稳定 unstable 不稳定,6.1 z变换基础,序列xn的z变换定义为X(z)=xnz-nxn 的z变换处于 z 域，z 域是含有复数的频域z 实部为横轴，虚部为纵轴的复平面上的复变量，把序列 xn 的 z 变换记为 Zxn=X(z)由 X(z)计算 xn 进行 z 的逆变换 xn=Z-1X(z),Z 变换 n=0 称为单边 Z
3、变换，其特点是可考虑起始 条件，更易收敛，实际中应用较多。,n=-称为双边 Z 变换，由-起无法考虑起 始条件，在理论上的意义更大。,n=0,Z 变换的收敛域 Z 变换是 Z-1 的幂级数，只有当此级数收敛，Z 变换才有意义，而且同一个 Z 变换是式，收敛域不同，可以代表不同序列的 Z 变换函数。,Z 变换收敛域是定义 Z 变换函数极其重要的因素。,n=0,比值法判定：若有一正项级数|an|，其后项与前项比值极限为 lim=R，R1时级数收敛。,n,an+1 an,例 6.1 计算序列 xn=n 的 z 变换 X(z)。,解：信号n 只在 n=0 处有非零值，因此：Zxn=X(z)=nz-n=
4、0=1 此 z 变换对所有的 z 值都有定义，故其收敛为整个 z 平面。,n=0,例 6.2 计算序列 xn=n-1 的 z 变换。,解：信号只在 n=1 一个地方有非零值，因此：Zxn=X(z)=n-1z-n=0z-1=z-1 除了 z=0 外其余的 z 都有意义，因此其收敛域为 z0 的整个平面。,n=0,例 6.3 计算 xn=un 的 X(z)。,例 6.4 信号 xn 如图 6.1所示，计算信号的 z 变换。,图 6.1,例 6.5 计算序列 xn=(-0.5)nun 的 z 变换。,基本 z 变换列于表 6.1,信号xn x(z)收敛域,n 1 z un|z|1 nun|z|nun
5、|z|1cos(n)un|z|1sin(n)un|z|1ncos(n)un|z|nsin(n)un|z|,z z 1,z z,z(z 1)2,z2-zcos z2 2zcos+1,z2-zsin z2 2zcos+1,z2-zcos z2 2zcos+2,z sin z2 2zcos+2,例：6.6 求信号 xn=2un-2 的 z 变换。,返回,6.2 传输函数,6.2.1 传输函数和差分方程。若计算差分方程 z 变换,则对方程中的每一项都要进行z 变换。若 Zyn=Y(z)Zyn-2=Z-2 Y(z)Zxn=X(z)Zxn-2=Z-2 X(z)对差分方程每项 z 变换后，Z域中的输入输出比
6、为 H(z)=H(z)称为传输函数。,输出输入,Y(z)X(z),对差分方程一般式：a0yn+a1yn-1+aNyn-N=b0 xn+b1xn-1+bMxn M,逐项进行变换，得：a0 Y(z)+a1z-1 Y(z)+aN z-NY(z)=b0 X(z)+b z-1 X(z)+bM z-M X(z),例：6.8 求下列差分方程所描述系统的传输函数：2yn+yn-1+0.9ynn-2=xn-1+xn-4,解：逐项进行 z 变换得：2Y(z)+z-1 Y(z)+0.9z-2Y(z)=z-1X(z)+z-4 X(z),Y(z)是滤波器输出 yn 的 z 变换，X(z)是滤波器输入 xn 的 z 变换
7、，左右两边分别提取公因式 Y(z)和X(z)有：(2+z-1+0.9z-2)Y(z)=(z-1+z-4)X(z),例 6.9 由下列差分方程计算系统传输函数：yn 0.2yn-1=xn+0.8xn-1,例 6.10 计算下列差分方程的系统传输函数：yn=0.75Xn 0.3xn-2 0.01xn-3,解：这个非递归差分方程所对应的传输函数为：H(z)=0.75 0.3z-2 0.01z-3,例 6.11 求下列系统传输函数的差分方程：H(z)=,1+0.5z-11 0.5z-1,例 6.12 求下列系统传输函数的差分方程：H(z)=,叉乘得：Y(z)(8z2 6z+1)=X(z)(z),逆 z
8、 变换得：8yn+2 6yn+1+yn=xn+1,此差分方程看起来不熟悉，最新的输出为 yn+2，而不是 yn；然而差分方程简单表示了相对不同时刻的数据联系。只要每一项都进行相同的移位，差分方程不变。全部向后移两位，差分方程为：8yn 6yn-1+yn-2=xn-1或 yn 0.75yn-1+0.125yn-2=0.125xn-1,返回,6.2.2 传输函数和脉冲响应,图6.4 差分方程，脉冲响应，传输函数描述系统,时域的卷积等效频域点积；时域的点积等效频域卷积,H(z)是脉冲响应的 z 变换，也就是滤波器的传输函数是其脉冲响应的 z 变换。Zh(n)=H(z)=h(n)z-n 脉冲响应 h(
9、n)是传输函数的逆 z 变换 h(n)=z-1 H(z),K=-,例 6.13 数字滤波器的脉冲响应为：hn=n+0.4n-1+0.2n-2+0.05n-3求此滤波器的传输函数。,解：滤波器的传输函数就是脉冲响应的 z 变换：H(z)=1+0.4z-1+0.2z-2+0.05z-3 注意，此传输函数得到差分方程：yn=xn+0.4xn-1+0.2xn-2+0.05xn-3,返回,6.2.3 计算滤波器输出 用传输函数 H(z)=,Y(z)X(z),Y(z)=H(z)X(z),yn=Z-1Y(z),返回,6.2.4 传输函数的级联和并联,图 6.5,例 6.14 求图 6.6 所示级联所对应的差
10、分方程,图 6.6,解：例 4.7 已经分析了相同的级联系统，当时得出的各级差分方程为：y1n=x1n 0.1x1n-1+0.2x1n-2 y2n=x2n 0.3x2n-1+0.1x2n-2 y3n=x3n 0.4x3n-1,并已将这些差分方程合并整理，得出了级联滤波器的差分方程。此例中，用传输函数可以更容易地获得相同的结果。三个滤波器的传输函数分别为：,H1(z)=1-0.1z-1+0.2z-2H2(z)=1+0.3z-1+0.1z-2H3(z)=1+0.4z-1,则总的传输函数是它们的积：H(z)=H1(z)H2(z)H3(z)=1 0.2z-1+0.19z-2 0.058z-3 0.00
11、8z-5,例 6.15 求图 6.7 所示滤波器转置直接 2 型实现的传输 函数。,图 6.7,解：图中所示为两个二阶滤波器的级联组合。用 4.6.2.2 节的方法，两个滤波器的差分方程为：y1n=-0.1y1n-1+0.5y1n-2+2.5x1n+0.9x1n-1-0.4x1n-2 y2n=0.2y1n-1 0.2y2n-2+1.2x2n+0.5x2n-1+0.1x2n-2,将每节的传输函数相乘，可以很容易得出此滤波器的差分方程：H(z)=H1(z)H2(z),2.5+0.9z-1 0.4z-2 1.2+0.5 z-1+0.1z-2 1+0.1z-1 0.5z-2 1 0.2z-1+0.2z
12、-2,3+2.33z-1 0.22z-2 0.11z-3+0.04z-4 1 0.1z-1 0.32z-2+0.12z-3 0.1z-4,=,=,返回,6.3 逆 z 变换,6.3.1 标准式 z 变换中所有 z 的指数均为正，分子分母最高次幂项的系数为 1。,解：变换为标准式的第一步是将所有延迟项的指数化为正。如果最负指数项为 z-N，则传输函数每一项乘以 z-N，从而使所有指数为正。此例中，最大的延迟是分母中的 z-2 项，每一项乘以 z-2，传输函数变为：,H(z)=,z4z2 2.5z+1,变换的第二步是确保分母最高次幂的系统为 1，为此，传输函数分子分母同除以 4 得到标准式：H(z
13、)=,0.25 z z2 0.625z+0.25,真有理函数(proper rational function)：分子的次数小于或等于分母的次数。严格真有理函数(strictly rational function)：分子的次数小于分母的次数。假有理函数(improper rational function)：分子次数高于分母的次数。,例 6.18 将真有理函数传输函数：H(z)=转换为严格真有理函数。,z2+0.1z+0.3 z2 0.5z+0.9,传输函数的分式部分是严格真有理函数。,返回,6.3.2 简单的逆 z 变换 本书研究的 z 变换都假定为单边(右)信号，如表 6.1所列，因此收
14、敛域不予特殊说明。为了确定信号，查表求逆 z 变换时，要从表中找出其 z 变换。,解：由表 6.1 得到逆 z 变换：xn=Z-1X(z)=(0.8)nun,例 6.20 求出函数：X(z)=的逆 z 变换。,解：表 6.1中，与 X(z)相似的 z 变换形式为：,其中 cos=0.9，则=cos-1(0.9)=0.451，逆 z 变换为 xn=cos(n)un=cos(0.451n)un。,例 6.21 系统的传输函数为：a.求系统的差分方程 b.求系统的脉冲响应,H(z)=,解：a.系统的差分方程是 yn+0.25yn-1=xn-2。,b.系统的脉冲响应是传输函数的逆 z 变换，将传输函数
15、 整理分解出表 6.1 中所列的形式：,z-2 1+0.25z-1,例 6.22 数字滤波器的输入为 xn=un，其输出为 yn=(0.89)nun。a.计算滤波器的传输函数 b.计算滤波器的脉冲响应,解：a.由表 6.1 得 X(z)=和 Y(z)=，因此,b.由所给信息求脉冲响应的惟一简便方法是求传输函数的 逆 z 变换。首先将 H(z)通过长除换为严格真有理函数 的形式，然后整理分解出表 6.1 中的变换：,由表可知，1 的逆 z 变换为 n，的逆 z 变换为0.11X(0.89)nun，因子 z-1 引起一位延迟，因此脉冲响应为：,hn=Z-1H(z)=n 0.11X(0.89)nun
16、-1,例 6.23 计算 z 变换 X(z)=的时域信号 xn。,5 z2+0.2z,解：此 z 变换是标准式，一种方法是分解 X(z)，并分离出表6.1 中所列的变换：,5z/(z+0.2)的逆 z 变换为 5x(-0.2)nun，经过因子 z-2所引起的两位延迟后，逆 z 变换为：,xn=5x(-0.2)n-2 un-2,返回,6.3.3 长除法求逆 z 变换 另一种计算逆 z 变换的方法是用传输函数的分子除以分母，然后对每一项进行逆变换。它的优点是比较直接，适用于任意有理函数；缺点是一般很难得到像前面例子所得到的那种闭合解，下面的例子讲述了这个方法。,例 6.24 用长除法求,所以：H(
17、z)=1 0.5z-1 0.6z-2+0.64z-3-对每一项进行逆 z 变换得脉冲响应：hn=n 0.5n-1 0.6n-2+0.64n-3-,返回,6.3.4 部分分式展开法求逆 z 变换(严格真有理数)将 z 的多项式分解成表 6.1 中的项,返回,6.4 传输函数与稳定性,6.4.1 极点与零点 极点：使传输函数分母为零时 z 的取值。（对数 字滤波器特性影响最大）零点：使传输函数分子为零时 z 的取值。（调整 极点所引起的滤波器特性）,例 6.30 求传输函数,的数字滤波器的极点和零点。,解：化成标准式计算,零点为，极点为 0.25和,通常标准式传输函数的分子分母进行因式分解,H(z
18、)=,K(z z1)(z z2)(z zM)(z p1)(z p1)(z p3)(z pN),zj称为滤波器零点，在 z 复平面上用 表示；pj称为滤波器极点，在 z 复平面上用 表示；K称为滤波器增益。,Z 平面上零极点的位置可以给出滤波器特性的迹象。,例 6.32 数字滤波器的零点为 z=-0.2和 z=0.4，极点 为 z=-0.7j0.6，增益为 0.5。a.画出滤波器的极 零点图 b.求滤波器的传输函数,解：a.极零点如图 6.13 所示。,图 6.13,b.每个零点产生传输函数分子的一个因子，每个极点 产生传输函数分母的一个因子，则传输函数为：,返回,6.4.2 稳定性,对于滤波器
19、的设计，稳定性是关键之一。稳定滤波器的输出，最终是稳定到某一规律上，不稳定滤波器的输出，输出会无限增长，并且即使微小改变输入量，输出也可以发生极大的变化。,判断稳定性：,滤波器所以极点都在 Z 平面单位圆里，则其是稳定的，|Z|1若单位圆上有极点，临界的，若单位圆外有极点，不稳定的。,传输函数 H(z)都有收敛域，起收敛禹必须包含单位圆，系统才稳定。等同于极点都位于单位圆内。,对于 H(z)=，|z|1 不稳定。,z z-1,对于H(z)=，|z|，只要|1 稳定。,z z-,返回,6.4.3 一阶系统 一阶系统是指传输函数仅有一个极点。简单一阶系统传输函数,H(z)=,1 1+az-1,z
20、z+a,极点 z=-a,a1,图 6.17(a)画出零极点图,脉冲响应 hn=(-a)nun a1，hn无限；a1，hn趋向0。,图 6.17(b)脉冲响应,差分方程 yn+ayn-1=xn若输入为阶跃信号，则输出阶跃响应趋于一个常数yss。n ynyn-1 xn=1 yss+ayss=1,yss=,1 1+a,例 6.35 滤波器的传输函数为：,H(z)=,2 1+0.4z-1,求出其极零点，并判断稳定性求出滤波器的脉冲响应求出滤波器的阶跃响应,b)hn=2(-0.4)nun,c)Y(z)=H(z)X(z)=,2z z+0.4,8 z-1,=2z2+=z+,-5/7 z+0.4,5/7 z-
21、1,-10/7z z+0.4,10/7z z-1,sn=yu=-(-0.4)n+1un+1+un+1,10 7,10 7,此滤波器的差分方程为 yn+0.4yn-1=2xn输入为阶跃，输出趋于常数 yss+0.4yss=2 yss=1.428(如图 6.20),图 6.20,返回,6.4.4 二阶系统,简单的二阶系统的传输函数,H(z)=,11 z-1+z-2,z2(z p1)(z p2),p11 且 p21 稳定,例 6.37 二阶系统极点为 z=0.7j0.8，无零点，增益为1。a.系统是否稳定？b.求系统的传输函数。,=,1 z2-1.4z+1.13,1 1-1.4z-1+1.13-2,
22、6.24(a),6.24(b),6.24(c),解：稳态输出为：,a.yss=0.826,11+,11+0.2+0.01,b.yss=0.578,11+,11+0.6+0.13,c.yss=6.25,11+,11+1.2+0.36,同样，可以验证图 6.24 其他阶跃响应的稳态输出。,极点的模值对系统趋于最终值所需时间的关系也很大，极点越靠近单位圆输出稳定所需时间越大，极点越靠近圆心，输出稳定越快。图(e)是两个模值不同的系统，对于较小模值为 0.35的极点，其响应特性小时的快些，暂态特性主要取决于模值的极点，几 z=0.8 极点支配输出特性，两极点模值相差越多，输出就更多由主导极点决定。零点位置对系统影响；零点越接近极点，它们对系统影响越大，当零点远离极点时，它的影响可以忽略。,例 6.42 图 6.26 所示为以下系统的脉冲响应和极 零 点图：,a.H(z)=,1 1 1.6z-1+0.9425z-2,b.H(z)=,1 0.3z-1 1 1.6z-1+0.9425z-2,c.H(z)=,1 0.8z-1 1 1.6z-1+0.9425z-2,d.H(z)=,1 1.6z-1+0.8z-2 1 1.6z-1+0.9425z-2,图 6.26(a),图 6.26(b),图 6.26(c),图 6.26(d),返回,
