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1、FIR滤波器和IIR滤波器原理及实现,主要内容,模拟到数字滤波器的转换数字滤波器的分类及应用FIR数字滤波器的原理和结构IIR数字滤波器的原理和结构DA FIR滤波器的设计MAC FIR滤波器的设计FIR Compiler滤波器的设计HLS FIR滤波器的设计,模拟到数字滤波器的转换,从模拟滤波器到数字滤波器的两种常用方法：微分方程近似法 双线性变换法,思考：设计IIR数字低通滤波器的两种方法分别是什么？,模拟到数字滤波器的转换,一个最简单形式的模拟到数字转换是后向差分运算，即,微分方程近似法,连续域：,拉普拉斯变换,离散域：,z变换,连续域：,拉普拉斯变换,离散域：,z变换,z变换,无法保证
2、z域滤波器是稳定的,模拟到数字滤波器的转换,微分方程近似法,给定的普通巴特沃斯特特性滤波器，其传递函数表示为:可产生该模拟电路的数字近似为:,模拟到数字滤波器的转换,即使一个稳定的模拟滤波器模型，但后向差分运算后并不能保证所产生的数字滤波器也是稳定的。对于稳定性的要求，通常使用双线性变换法。映射关系：s域左半平面映射到z域单位圆的内部。变换公式：通过双线性变换法产生的滤波器z域中，总是存在极点和零点。,双线性交换法,模拟到数字滤波器的转换,数字信号处理器设计软件使用双线性变换时，总是基于已知的模拟和数字滤波器原型。简单的RC电路如下图：系统的传递函数为：,双线性交换法,Vout(s),(a)时
3、域,(b)频域,图8.1 简单RC电路的描述,拉普拉斯变换,模拟到数字滤波器的转换,简单的RC滤波器传递函数等价于一个但极点的巴特沃斯滤波器的传递函数，该巴特沃斯滤波器的3dB截止频率为：令RC=1，则对于数字系统，设T=1，即fs=1Hz，使用双线性变换因此差分方程表示为,双线性交换法,模拟到数字滤波器的转换,双线性交换法,使用双线性变换后的IIR数字滤波器及系统的处理结构如下图。,图8.2 数字滤波器及处理系统结构,注：模拟和数字的输入输出有满足滤波器性能的ADC和DAC提供。对于相同的电压输入Vin，希望观察到的两个系统的输出是相似的。,数字滤波器的分类和应用,数字滤波器的分类：有限冲激
4、响应（FIR）滤波器：非递归线性滤波器无限冲激响应（IIR）滤波器：递归线性滤波器自适应数字滤波器（ADF）：能够将自身适应为预期信号，且具有自主学习能力。非线性滤波器：可以执行非线性操作，例如中值滤波器和最大/最小滤波器。,数字滤波器的分类和应用,数字滤波器的分类和应用,数字滤波器的应用：滤除语音信号中的高频噪声的低通滤波器；能够从心电图信号中去除50Hz噪声的带阻滤波器；能够加强音乐信号（图形均衡器）中特定频带的带通滤波器；能够均衡电话信道响应的均衡滤波器；能够提取数字化的带限IF(中频)调制信号的带通滤波器；能够滤除公共场所声波中的谐振频率的陷波器；转换器中执行抽取操作的低通滤波器；中值
5、滤波器。,FIR数字滤波器的原理和结构,FIR数字滤波器的特性：FIR数字滤波器的模型FIR数字滤波器的冲激响应特性FIR数字滤波器的频率响应特性FIR数字滤波器的z域分析FIR数字滤波器的线性相位及群延迟特性FIR数字滤波器的最小相位特性,FIR数字滤波器的特性,FIR数字滤波器的原理和结构,FIR数字滤波器的模型 FIR数字滤波器是对N个采样数据执行加权和平均（卷积）的处理，处理过程如下式：具有3个权值（或抽头）滤波器的差分方程为：取z变换后，得到：,FIR数字滤波器的特性,FIR数字滤波器的模型,三抽头FIR数字滤波器结构如下图所示：低通FIR数字滤波器的结构如下图所示：,FIR数字滤波
6、器的模型,低通FIR数字滤波器的结构如下图所示：,适当地选择从W0到WN-1的系数，以保证滤波器能达到设计的性能要求。,图8.4 一个低通FIR滤波器的结构,FIR数字滤波器的模型,最简单的低通滤波器为滑动平均滤波器：,图8.6 平滑滤波器幅频特性,图8.5 平滑滤波器结构,对N个采样值求平均值,平滑去除了信号的高频部分,FIR数字滤波器的模型,低通FIR数字滤波器的结构如下图所示：,适当地选择从W0到WN-1的系数，以保证滤波器能达到设计的性能要求。,图8.7 一个高通滤波器的结构,FIR数字滤波器的模型,微分器的结构如下图所示：,图8.8 一阶微分器的结构,低频衰减,高频通过,1.输入为低
7、频信号，由于相邻采样值变化很小，故输出为很小的数值。2.输入为高频信号，由于相邻采样值变化较大，故输出的幅度很大。,FIR数字滤波器的冲激响应特性,当一个单位冲激输入到FIR滤波器时，可在滤波器输出端获得该滤波器的冲激响应特性。,FIR数字滤波器的冲激响应特性,给系统施加一个单位冲激实际上相当于在所有的频率上激励系统。如果取一个冲激的离散傅里叶变化，所得的频谱图是平的。为什么呢？分析：（1）产生幅度为1而频率分别为10Hz,20Hz,30Hz,40Hz,200Hz的一系列正弦波。当把所有正弦波加在一起时，存在周期为10Hz，形状类似于冲激函数的信号。如图8.11所示。,FIR数字滤波器的冲激响
8、应特性,分析：（2）如果将序列的频率增加至2000Hz，则冲激将变得更加尖锐。如图8.12所示。（3）减少谐波之间的频率间隔，将频率变为1Hz,2Hz,3Hz,4Hz,2000Hz，也减少了脉冲周期。如图8.13所示。因此在极限状态下，当频率间隔趋于0时，最后的结果只是一个冲激脉冲。,FIR数字滤波器的频率响应特性,对冲激响应求取离散傅里叶变换，就可获得所涉及FIR数字滤波器的幅度-频率响应和相位-频率响应特性图。,傅里叶变换用来求取时域信号的频率成分。对特定频率幅度和相位的响应，求取傅里叶变换的逆变换，就可以设计出 满足要求的数字滤波器。,FIR数字滤波器的频率响应特性,对矩形滤波器求取ID
9、FT，则冲激响应为非因果的，且具有无限的长度。,FIR数字滤波器的频率响应特性,为了实现因果的冲激响应，需要在滤波器中添加延迟，相应地在频域中出现了一个相移。当截断了滤波器的长度时，对频域的影响是出现了波纹。如图8.16所示。,FIR数字滤波器的z域分析,给出4个权值系数的FIR数字滤波器的结构，如图8.17所示，该滤波器的传递函数的根可由下面的计算过程求得,图8.17 4阶滤波器的结构,为滤波器的“零点”。当取这些零点的值时，H(z)=0。零点可能为复数。,FIR数字滤波器的z域分析,图8.17.1频响的几何表示法,结论：极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度 零点位置主要影响频响的谷点位
10、置及形状。,FIR数字滤波器的z域分析,FIR数字滤波器可以由三个一阶的滤波器级联构成。如图8.18所示。,FIR数字滤波器的线性相位及群延迟特性,如果滤波器的N个实值系数为对称或者反对称结构，该滤波器具有线性相位。线性滤波器特性，如图8.19所示。,经过滤波器的信号均被延迟了秒,FIR数字滤波器的线性相位及群延迟特性,非线性滤波器特性，如图8.20所示。,每个正弦信号的延迟各不相同,FIR数字滤波器的线性相位及群延迟特性,线性滤波器最重要的特性就是其权值为对称或者反对称的，如图8.21所示。,FIR数字滤波器的线性相位及群延迟特性,群延迟定义为相位响应的导数，表示：如果群延迟为常量，则相位响
11、应一定是线性的。线性相位滤波器将各种输入频率分量延迟了相同的量，所以对称FIR滤波器具有恒定的群延迟。,FIR数字滤波器的最小线性相位特性,如果滤波器的所有零点存在于z域平面中的单位圆内，就称该FIR滤波器是具有最小相位。如果滤波器的有些零点存在于z域平面中的单位圆外，就称该FIR滤波器是具有非最小相位。,FIR滤波器的设计规则,在实时应用中，滤波器系数越多，对FIR滤波器处理能力的要求就越高。滤波器的设计指标越接近理想滤波器，所要求的滤波器的长度也越长。在实际设计时，需要根据FIR滤波器的处理性能进行一个权衡。,FIR滤波器的设计规则,设计FIR滤波器所需要提供的参数有：（1）滤波器的类型：
12、低通、高通、带通、带阻滤波器。（2）滤波器的采样频率。（3）滤波器权值的个数。（4）阻带衰减。（5）通带纹波。（6）过渡带带宽（Hz）。,FIR滤波器的设计规则,如图8.24，考虑设计下面的FIR低通数字滤波器，该滤波器使用凯撒窗，滤波器的截止频率为400Hz,采样频率为fs=8000Hz。,FIR滤波器的设计规则,如图8.25所示，该FIR数字滤波器的冲激响应需要55个滤波器权值系数。,FIR滤波器的设计规则,如图8.26所示，给出了该FIR数字滤波器冲激响应的DFT变换，即频率特性。可以看出其响应更加接近理想滤波器。,FIR滤波器的设计规则,使用帕克思-麦克莱伦窗设计FIR滤波器，如图8.
13、27所示，给出了该滤波器的设计参数。,FIR滤波器的设计规则,如图8.28所示，该FIR数字滤波器的冲激响应需要181个滤波器权值系数。,FIR滤波器的设计规则,如图8.29所示，给出了该FIR数字滤波器冲激响应的DFT变换，即频率特性。,FIR滤波器的设计规则,对于一个采样率为fs，滤波器权值个数为N的数字滤波器算法，如果使用一个每秒执行M次乘-累加运算（MAC）的DSP来说，其参数应满足下面的关系例如：一个每秒执行20000000MAC/秒的DSP，采样速率为fs=8000Hz,则滤波器的最大权值个数为：N=20000000/8000=2500,FIR滤波器的转置结构,FIR滤波器的卷积公
14、式可以表示成另一种形式，即直接FIR滤波器的转置结构：FIR滤波器的转置结构如图8.30所示。,FIR滤波器的转置结构,FIR滤波器的转置结构,转置结构的FIR滤波器减少了关键路径的延迟，因此其工作速度更高；转置FIR滤波器需要的延迟寄存器的数量是标准FIR滤波器的2倍，因为由于要存储乘法器的部分和，转置FIR延迟线的字长（至少）是16位。转置FIR滤波器需要更多的互连线。转置FIR滤波器的性能提高是以增加硬件的开销为代价的。,转置FIR滤波器,IIR数字滤波器的原理和结构,IIR数字滤波器的原理和结构：IIR数字滤波器的原理IIR数字滤波器的模型IIR数字滤波器的z域分析IIR数字滤波器的性
15、能及稳定性,IIR数字滤波器的原理,无限冲激响应（IIR）数字滤波器既包含递归的部分也包含非递归部分。IIR滤波器的设计关键是确保递归部分的稳定。IIR滤波器不具有线性相位，存在相位失真。IIR滤波器的设计基于双线性变换法。,图8.32 IIR滤波器结构,IIR数字滤波器的模型,IIR数字滤波器信号流图如图8.33所示。,IIR数字滤波器的模型,IIR数字滤波器用下式描述：对于一个具有N个前馈系数和M-1个反馈系数的IIR滤波器，表示式为：向量表示式：滤波器系数与数据向量分别为：,IIR数字滤波器的z域分析,图8.33所示IIR数字滤波器用下式描述：在z域中的传递函数用下式表示：零点：分子的根
16、；极点：分母的根。,IIR数字滤波器的z域分析,为了保证IIR数字滤波器的稳定性，所有极点的幅值均小于1.即极点位于z平面的单位圆内。可以直接计算一阶递归滤波器的稳定性，然后通过观察每个一阶部分的稳定性来判断全部系统的稳定性。考虑一个全极点IIR滤波器：可用一系列一阶滤波器的级联来实现。,图8.34 多个一阶滤波器级联构成IIR滤波器,确认分母多项式的根小于1,IIR数字滤波器的性能及稳定性,一个系数的IIR滤波器：y(k)=x(k)+b1y(k-1),如图8.35所示。（1）当b11时，冲激响应可以延续很长时间，如图8.36所示b1=-0.9。（2）1个系数的FIR仅具有长度为1 的冲激响应
17、。,IIR数字滤波器的性能及稳定性,一个系数的IIR滤波器可能具有无限长的冲激响应，故将其命名为无限冲激响应滤波器。当使用有限精度计算（例如固定字16位字长），输出小于可以表示的最小的数时，响应将最终趋于零。通过慎重选择递归滤波器的权值系数，可以生成一个具有非常长的冲激响应的IIR滤波器。在大多数滤波器设计软件中，允许指定最多10个递归权值系数。将一个离散单元脉冲(k)作用于IIR滤波器：h(k)=bk结论：（1）如果|b|1，则该滤波器冲激响应为发散（不稳定）。,IIR数字滤波器的性能及稳定性,只有一个系数的滤波器，稳定性易于判断。系数大于1的递归滤波器，如果两个系数均小于1，但累计效应将导
18、致滤波器的不稳定。用z平面表示IIR数字滤波器时，可以通过判断滤波器极点的位置来确保滤波器输出有界。当存在一个冲激输入时，滤波器将振荡。如图8.38所示，使用一个简单的IIR滤波器产生特定频率的正弦波。临界稳定。,IIR数字滤波器的性能及稳定性,一个全极点IIR滤波器可用SFG结构表示:,如果IIR滤波是稳定的，则需要所有的1，2，31,IIR数字滤波器的性能及稳定性,一阶部分的级联不存在发散，极点可能是复数。但是，只要滤波器的系数为实数，这些复数总是以共轭对出现。在z域中绘制零点和极点图。极点均在单位圆内，则该IIR滤波器系统是稳定的；零点在单位圆外，则该IIR滤波器系具有最大的相位。不管零
19、点为何值，非递归滤波器总是无条件稳定的。,DA FIR滤波器的设计,分布式算术（Distributed Arithmetic,DA）是实现数字滤波器的一种方法，其基本思想为将数字滤波器内的乘法和加法运算用查找表（LUT）和一个移位累加器实现。在使用DA实现滤波器时，要求滤波器的系数是已知的。这样，xn*Wn的乘法运算，就变成了与常数的相乘。,DA FIR滤波器的设计原理,DA可以用于计算乘积的和。FIR滤波器的表达式：,DA FIR滤波器的设计原理,2.DA FIR滤波器结构,DA FIR滤波器的设计原理,2.DA FIR滤波器结构为了实现基于DA的FIR滤波器，需要构建以下几个模块：（1）移位寄存器；（2）查找表；（3）查找表加法器；（4）缩放比例加法器。,
