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1、第五章大数定律与中心极限定理第01讲切比雪夫(ChebySheV)不等式和大数定律第一节切比雪夫(ChebySheV)不等式定理1切比雪夫(ChebySheV)不等式设随机变量X的数学期望E(X)和方差D(X)均存在，则对任意的0,成立下式:P(X-E(X)f其等价形式为PX-E(X)41-缪.【例题计算题】有一大批种子，其中良种占1,现从中任取6000粒。试用切比雪夫不等式估计6000粒中良种所占6比例与-之差的绝对值不超过0.01的概率.【思考】正确答案设X为任取出的6000粒种子中的良种数，则XB(n,p)=B(6000,：),从而cnnE(X)=np=1O,D(X)=np(1-p)=券
2、匕6由切比雪夫不等式有p威水。吁P*T80S=PX-E(X)60)1415000.50C.S=0769.【解析】参见教材P155-156。【例题计算题】在每次试验中，事件A发生的概率为0.5,利用切比雪夫不等式估计，在100O次独立试验中，事件A发生的次数在400至600之间的概率.【思考】正确答案由题意知，在100O次独立试验中，事件A发生的次数服从二项分布，如将其记为X,则XB(1000,0.5),根据切贝雪夫不等式PXY(X)GR-誓P(X-500r)l-00x00250/PX-500l-p-250P-X-500lr250尸50O-X500+62】-号知6=100250得尸(400X60
3、01-箭=0.975【例题计算题】设随机变量X服从正态分布N(P,。2),试估计概率P-3)【思考】正确答案J根据切贝雪夫不等式PGX-E(X)IM爷同时，注意到对于X,E(X)=,D(X)=。2PqX-n30,k=1,2,，记随机变量V_9二的分布函数为卜】原)，则对任n-意实数X,有IimFnW = IimP=4：百户 dt=(x)k-11-rxn其中(X)为标准正态分布函数.n结论：(1)对独立同分布的随机变量序列X“X2,X,只要n足够大，则这些随机变量和ZXkk1的分布近似服从正态分布N(n/n2).20t随机变量的和经过标准化后，只要n足够大，就有nXxk-叩侬i三=N(OJ).n
4、(2)当X”X2,，Xn相互独立同分布，分布的数学期望与方差均存在，且。20时，只要n足够大，就有In3O2Xk-N(IIkVn进一步经过标准化后有 N(OJ).【例题计算题】对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2,标准差为1.5,求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率.【思考】正确答案100设Xk为第k次射击时命中目标的炮弹数，k=l,2,100,则X=k为100次射击中命中目kT标的炮弹总数，而且x“X2,，XM相互独立同分布，且E(Xj=2闻0=15k=12Jo0.从而E(X)=10OE(Xk)=200fDP(j=7,
5、00D(XJ=15.由定理4可知，随机变量200近似服从标准正态分布.P(180X220=P(l224444=PY)(4=2-1=0.8165.答案解析参见教材PI60。【例题计算题】某一加法器同时收到20个噪声电压孔,k=l,2,20,设它们是相互独立的随机变量，且都在区间o,io上服从均匀分布，令V=求pv105的近似值.【思考】正确答案J根据已知条件，可以求得3*5,河=用雷击因而，E(P) = 20E(匕)=100,Fr-100所以随机变量一JT近似服从标准正态分布，所求概率为 10*1-(0.387)=0.348.【例题单选题】设()为标准正态分布函数，随机变量序列满足Jo,事件A不
6、发生,k = 12l 00,且P（八）=O.8,“区,X10O相巨独立.令Y=XXk，则由中心极限定理知Y的分布F（y）近似于（）.V-80A.(y)B.()G(16y80)D.(4y80)4【思考】正确答案B答案解析JXlcB(LO.8),则E(Xlt)=O.8,D(XJ=Q16,从而E(Y)=IE(Xlt)=80,D(Y)=100D(Xlt)=16.所以上黑ZN(OfI)i贝麟题选B.4第03讲棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理3.2棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理定理5设随机变量匕，n=L2,服从以n,p为参数的二项分布，且（XPG,则对任意实数x,有eydt = (x).其中（X）为标准正态分布
7、函数.由定理5得到的两个结论：（1）若YnB（JP），则jN（联必10）即二项分布的极限分布是正态分布.因而，二项分布的计算可通过正态分布近似计算.当n较大时，近似计算的常用公式如下:PaJ100-0.80.40997t也就是08-100000.4OSn-100OO).997,查表可得rX75,解得期2654.58，取0.4wn=12655.该厂需要至少生产12655块芯片.【例题填空题】设随机变量XB(100,0.2),(x)为标准正态分布函数，(2.5):0.9938,应用中心极限定理，可得P20QT30.【思考】正确答案(-)-100x0220由题意知-VD(Ar)-TlMxOJx(I-
8、OJ)-4由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理知I机变量,-2近似服从标准正态分布因而P20X30*PJT-20 3020 -=(25)-(0)由己知(25)=09938.同时注意到(0)=0.5.P20X300.9938-OS=0.4938.故本填空题答案为0.4938.【例题填空题】在伯努利试验中，若事件A发生的概率为p,0p1-Lx=f=e2d=(x)可知Iim P2Jy向=(2)，经查表，知中(2)=0.9772.本章小结一、知道切比雪夫不等式；二、了解伯努利大数定律和切比雪夫大数定律及其在概率论中的重要意义；三、了解独立同分布序列的中心极限定理，知道棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，并会计算简单应用问题.
