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1、摘要期权定价理论是目前金融工程、金融数学研究中最为前沿和热点的问题，同时作为最重要的衍生工具之一，在防范个规避投资风险中起着巨大的作用，而支付红利的美式期权可以看作是自由边界的抛物型问题,所以发展数值方法求解弃权问题具有重要的理论和实际意义。目前关于支付红利的美式期权的数值研究比较少，常用的方法有二叉树方法和传统的有限差分法。但是二叉树方法未考虑股票价格持平的情形，且计算时间较长；标准的有限差分法缺乏自由边界问题的处理且精度较低。本文引言部分对定价理论作了概括性的回顾和本文所要做的工作。第二部分介绍了期权定价理论的经济背景、金融衍生物，并阐述了Black-Scholes微分形式的推导过程。第三
2、部分给出了期权定价问题的间断有限格式的推导。关键词：期权定价，black-scholes,间断有限元一引言1.1 期权定价理论的历史回顾期权定价理论被认为是经济学中唯一一个先于实践的理论，同时也是所有金融应用领域在数学上最复杂的问题之一，第一个完整的期权定价模型创立于1973年。期权定价理论产生的背景black-scholes期权定价模型的优点在于：首先，提出了风险中性（即无风险偏好）概念，并且在该模型中剔除了风险偏好的相关参数，大大简化了对金融衍生工具价格的分析；其次，该模型创新的提出了可以在限定风险情况下追求更高收益的可能，创立了新的金融衍生工具标准期权。期权交易诞生后,许多大证券机构和投
3、资银行都运用Hackscholes期权定价模型进行交易操作，该模型在相当大的程度上影响了期权市场的发展。控制风险是black-scholes期权定价模型的重要意义之一。70年代以后,随着世界经济的不断发展和一体化进程的加快，汇率和利率的波动更加频繁，变动幅度也不断加大，风险也相应加强。控制和减小风险成为所有投资者孜孜以求的目标。BlaCk-SChOleS定价模型提出了能够控制风险的期权。同时，也为将数学应用于经济领域，创立更多的控制风险和减小风险的工具开辟了道路。Scholes把经济学原理应用于直接经营操作，堪称理论联系实际的典范。他们设计的定价公式为衍生金融商品交易市场的迅猛发展铺平了道路，
4、也在一定程度上使衍生金融工具成为投资者领好的融资和风险防范手段，这对整个经济发展显然是有益的。期权定价理论是现代金融理论最为重要的成果之一，它集中体现了金融理论的许多核心问题，其理论之深、应用之广、令人惊叹。现代金融理论的发展趋势只要体现在：随机最优控制理论，脉冲最优控制理论，最优停时理论，智能优化等。由于期权定价理论在金融证券市场上的重要性，越来越多的数学家开始从数学角度研究black-SCholeS定价模型。而定价模型取决于原生资产价格的演化模型。在连续时间情形，原生资产价格演化可以通过随机微分方程的定解问题。因此，我们可以很自然地想到把偏微分方程作为工具，导出期权的定价公式，对期权的价格
5、结构作深入的定性分析，以及利用偏微分方程数值分析方法给出求期权的价格。随着计算机的先进性和普及性，数值方法在求解期权定价，特别是一些复杂的期权定价问题，如复合期权，选择期权等，显示出了其强大的优越性。经过30年的研究，很多经济学家对不完善市场、基础资产的价格存在异常变动跳跃或者基础资产报酬率的方差不为常数等情况下的期权定价问题，以及美式期权定价问题进行了广泛研究，取得了重要的研究成果。目前，在金融市场上交易的期权大部分是美式期权，而美式期权的定价问题要比欧式期权定价复杂得多。一般情况下，美式期权没有精确的解析定价公式，只能使用解析近似方法或数值方法进行求解。目前比较成熟的数值方法有：蒙特卡洛模
6、拟方法、树图方法、偏微分方程数值方法等。在树图方法中，最常见的是二叉树参数模型。自1995年开始，中国期权市场发展仅有十几年的时间，但期权市场需求已相当成熟。如何对期权风险进行有效的管理和控制，已关系到期权开发能否从研究阶段过度到试运行阶段。而要对期权风险进行有效的管理和控制，首先就必须对金融衍生工具特别是期权进行合理的定价。因此，对期权定价的研究方法就显得尤为重要。1.2 本文所要做的主要工作一般来说，期权定价问题的数学模型可归结为抛物型方程自由边值问题或相应的线性互补问题。目前大多数数值方法的研究工作主要是针对线性互补问题的。从金融实际角度看，人们通常关心的期权在最佳实施边界内的值和期权的
7、最佳实施边界。有限差分法是解偏微分方程的主要数值方法。由于数字电子计算机只能存储有限个数据和做有限次运算，所以在任何一种用计算机解题的方法,都要把连续问题离散化，最终化成有限形式的线性代数方程组。有限元方法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。鉴于传统数值方法在时间和空间上行精度都比较低，近年来，有许多科研工作者开始致力于高精度格式的研究，研究实践表明，提高数值方法的精度对于提高问题的求解能力是一个非常有效的途径。本文介绍间断有界元法。二Black-Scholes模型的建立和定价公式的推导2.1 期权定价理论的经济背景和基本概念期权定价问题是目前金融工程、金融数
8、学所研究的前沿和热点问题。在金融市场商品市场上，风险无处不在。作为风险管理工具金融衍生物也有多种形式，其中远期合约，期货和期权是三种最基本的金融衍生工具。金融衍生物的价值依赖其他更基本的原生资产的价格变化。如果把原生资产设定为股票，债券，汇率或商品等。那么为了对这些原生资产进行风险管理，相应的有：股票期权，债券期权，货币期权以及商品期权等。期权是购买方支付一定期权费后获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品的选择权。期货价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量。它的高低直接影响到买卖双方的盈利状况，是期权交易的核心问题。期权作为一种独特的衍生金融产品，它使买方能够避免坏的结果，同时
9、，又能从好的额结果中获益。金融期权已经成为所有金融工具中不可或缺的功能最多的工具。因此，了解期权的定价问题，具有极其重大的意义。期权持有人具有按协议条款在确定的时间实施这个协议的权利，但不负有必须实施这个协议的义务。在期权合约中，确定的价格被称为实施价格或敲定价格，确定的日期为到期日，按期权合约规定执行购入或销售原生资产称为实施。设K-敲定价格，T.到期日，则在到期日期权的收益：Vt=(SlK):(看涨期权)期权作为一种衍生证券，它的定价决定于原生资产价格的变化。也就是说，若在t时刻原生资产价格S,期权价格为乙，则存在函数：vt=V(Shi)在期权的到期口期权的价值/是确定的，它就是期权的收益
10、：(5r-K)*,(calloption)Vt=(K-S,r)*.(putoption)b期权定价问题就是求VHP(W),(0s48,0srT),使得(ST-Q*,(calloption)V(S1T)=(K-Sr)*,(putoption)特别是在期权生效日，=0,若股价为S。，它的期权金P=V(SO,0)=?因此期权定价问题是一个倒向问题.2.2 black-scholes模型微分形式的推导1900年法国数学家BaCheIier就发表了第一篇关于期权定价的文章投机交易理论。在这篇文章中他首次利用随机游动的思想给出了股票价格运行的随机模型，奠定了线代金融学的基础。PaUlSamUelSOn于1
11、964年对其模型进行了修正，以股票的回报代替原模型中股票的价格。dSt若&表示股票价格，那么手表示股票的回报，那么修正后的随机微分方程是：ds.j-=dtdWt为了给出这个模型的微分形式，我们首先假设a原生资产价格演变遵循几何Brown运动其中*期望回报率；6波动率；的标准BrOwn运E(dWt)Var(dWl)=市,b无风险利率r是常数C原生资产不支付股息d不支付交易费和税收e不存在套利机会。利用A-对冲技巧，设在时刻t形成投资组合n,并在时间段QZM内,不改变份额M那么由于n：是无风险的，因此在时刻r+”,投资组合的回报是I由于匕=gM,其中S,是由随机微分方程确定的随机过程，因此由I协公
12、式岫糕+VS嘴+噎卜+喂W，把它代入得管+J2装+“S雾-4s)m+s罂-as)d%=r*-S)d/由于等式右端是无风险的，因此等式左端随机项d%的系数为0,即选取A=条将它代入(3),并消去M得到这就是刻画期权价格变化的偏微分方程一一BlaCkSchoH方程.为了得到支付红利的期权定价方程，我们将之前的假设作如卜推广，a原生资产价格适合随机微分方程b.无风险利率E0）,c原生资产连续支付股息（红利），红利率是0,d.e.不变.类似于之前的推导，得到V满足的偏微分方程：粤S喘+50-招）嘤-WM0得到变数看涨期权看跌期权S（股价）K（敲定价）+K无风险利率）q（红利率）+行（波动率）+T（有效
13、期）H时间）-三Black-Scholes模型的间断有限元法3.1 问题的提出发展BlaCk-SCholeS模型的各种数值方法具有重要的实际意义。本部分将介绍间断有限元法。一般来说，间断有限元法既保持了标准有限元和有限元体积方法的优点，又克服了其不足，特别是易于处理复杂边界和边值问题。同时间断有限元方法具有灵活处理间断的能力，克服了一般有限差分方法不适于间断问题的缺点。间断有限元方法可以通过适当选取基函数来达到精度的提高，即通过提高单元插值多项式的次数来实现，由于近似解的间断性假设，对网格正则性要求不高，不需要考虑一般有限元方法中连续性的限制条件就可以对网格进行加密或减梳处理，而且不同的剖分单
14、元可以采取不同形式、不同次数的逼近多项式，有利于自适应网格的形成。3.2 看涨期权间断有限元格式的构造为了构造数值方法，通常的做法是将问题限制在有界区域上，并根据原问题的性质给出相应的人工边界条件。因为期权价格S既不能上升为无穷大，也不可能下降为零，所以可限制变量x=-a,其中为充分大的常数。所以初边值条件可确定为：v(xtO)三1-et,U(QJ)0,M-r)1-在以下讨论过程中，用父表示通常的SObOteV空间，IHLl为相应范数P()=Z;空间上的范数与内积分别记为IHb和(、).设X是一个BanaCh空间，定义空间，T;X)=11();Mlzon=(CM)嗯曲丫8).sps8,我们对区
15、域，进行以下剖分，-=jxJCN-IVXft二a,网格参数为M=XLXI,QiNt三maxFMMM,衰示网格节点的集合.可和汇分别表示从右端和左端逼近右设M为区域/的剖分族，M为剖分单元记R(M)为M上度小于等于A的多项式集合，记。为I以=卜w(7)：MMWpMM)TM对于“k定义其平均和跳跃为：IW=(v+Rv=(v+VJW2)其中WMMM=M此，W,勾分别为M和M2公共点上的单位外法向量。定义内积和双线性形式如下：(“,v)=UVdx%V)=(%,vjr)则看涨期权的间断有限元格式为,求使得(M)+ 域* V)+ (Rlk V)- J, (rap(vx (办)J v)ds J J【H ,卜
16、必。为正常数其中N7,(vj)-ulf(xv)v4(x,v)Ul,N-II4w*WWs=2(“水野)-MxQXMx：)-乂工)JFml3.3看跌期权间断有限元格式的构造假设市场是中性的，那么无支付红利的美式看趺期权P=SJ)满足如下线性互补偏微分方程，(匕；内2小W)(P-G(S) = OFi+%+r5-r0,V-G(三)Q4G(三)=InaX(K-S,0).OS.Or为了将退化的变系数方程转化为正定的常系数方程，将反向时间问题转化为正向时间问题，我们对该问题进行化简，引进变出代换，S=Kd=-r(2,/(Sj)=KeT(JMwUk)其中k三尸.直接计算可知问题(66)(69)转化为如下问题：
17、1+l)2wj(-g)=O,00为充分大的常数.又由于当期权价格S远大于被定价格时，看跌期权的价格V(S,O=O,因此可令3G=0.从抽象的数学角度看，原问题是一抛物型的自由边界问题，该自由边界S=5，在金融学里被称为期权的最优执行价格.由套利论证可知，当OSSSSy)时，SM=S)于是,由上述变换关系式可令M-Qj)=以-a)因此，1-嗫+i)2j(w-g)=o,orUg4*1)2”0,的出边值条件可确定为，Mko)=政x),域-a,r)=g(-a)tMar)=O类似于上述的网格剖分，-aXoxXN-IXN=a.网格参数为用HXLXi,0g,-=g(ra)Ma)=定义积分和双线性形式如下，(
18、w.v)=MMt/x域以V)=(%,Vjr)+I户(,V)则看跌期权的间断有限元格式为，求UhWyA使得V-UJbj+V-(wJ(v-UA)J(w)x),仅一tWs/Mu%lIy-UlIMS0.VveVk四结论本文首先对期权定价理论的发展状况进行了系统的描述，并介绍了期权定价的定义和基本金融知识，进而详尽的分析了看涨看跌期权的特征及其价值形成机理。通过分析可知，只能采取数值方法为其定价，从而指出了用数值方法解决该问题的必要性。然后，根据偏微分方法的解决思想，我们通过一些变量变换转换将倒向随机微分方程转化为正向问题。但是，由于期权定价的实际操作性,我们先将边界看作是固定的，随着时间不断增加，边界
19、不断延伸来逼近原边界，这样在每一小时渐层上，边界是固定的，我们就可以利用数值方法的思想去解决问题了。分析比较可以看出本文的数值方法是快速且高效的。本文只要考虑的是间断有界元法在期权定价问题上的应用。另外已知红利数额的情况更贴近于现实交易，所以对此深入研究是非常有价值的。不过若要更现实的模拟金融市场交易，则需要考虑期权定价中的其他重要因素，本文没有涉及到。希望在今后的研究中，能够综合各方面的重要因素，设计出更具有使用价值的期权定价方法。五参考文献口姜礼尚期权定价的数学模型和方法高等教育出版社20032茅宁期权分析-理论与应用南京大学出版社20003张铁祝丹梅美式期权定价问题的变网格差分方法4约翰赫尔张陶伟译期权、期货和衍生证券第三版华夏出版社20005埃里克布里斯等史树中译期权、期货和特种衍生证券-理论、应用和实践机械工程出版社2002
