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1、振动力学一一习题第二章单自由度系统的自由振动2-1如图2-1所示，重物WI悬挂在刚度为我的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物W2从高度为力处自由下落到%上且无弹跳。试求吗下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。3%,质ggw+w2平衡位置:叱=仙M=?叫+吗=左百，x12=-k故；%=用2一%=三（川+吗）/g-M叫+吗故;X=-X0COS6-si116!f4=-X0COS6Z+sinG)f2-2一均质等直杆，长为/,重量为他用两根长力的相同的铅垂线悬挂成水平位置,如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。解：给杆一个微转角02=ha2F=mg由动
2、量矩定理：r“aaM=-rsn-cos-mea=mga2d2*8ft其中Siner2必2(4 + 4 )+ GAl -仙右rt, +=,mg(zl +z2yl,(/?J秘Rkl+/；&2-5试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB在A点的等效质量。己知杆的质量为?,A端弹簧的刚度为丸并问较链支座C放在何处时使系统的固有频率最高？-6 2- 图2-6在图2-6所示的系统中，四个弹簧均未受力。己知w=50kg,A=9800N/m,&-占=4900N/m,4=19600N/m。试问：(1)若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？(2)若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？2.17图T2-17所示的系
3、统中，四个弹簧均未受力，&=无2=自=4=A，试问：(1)若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？(2)若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？解:图 T2-7*23 = & + *3 = 2E = K&23 = 2w 1+Jt23 313卢4T(1)mg=1234，=Mr)=XOCoS,XmaX=2/=第2-7图2-7所示系统，质量为m2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为/,忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统的固有频率。解：系统动能为:1.2系统动能为:V-x2+-12 22 11YX根据:InaX = Kiax，XnaX = Q/max&+占不2A用
4、7一3-2家+5叫2-8如图2-8所示的系统中，钢杆质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。解:mll+caa+kbb=Gml2+cai+klr=Q2-9图2-9所示的系统中，“=lkg,k=224Nm,e=48N.sm,=0.49m,h=l2,/3=/4,不计钢杆质量。试求系统的无阻尼固有频率？及阻尼7。2.26图T2-26所示的系统中，m=lkg,=144Nm,c=48Nsm,/=/=0.49m,2=0.5/,/3=0.25,不计刚杆质量，求无阻尼固有频率仅,及阻尼？。答案图T 2-25mltl+C窗$&+&/?4=Oml+cl+k=OmHc+&=O164n*=L
5、A=364m=练=6rad/s及=2血，m第三章 单自由度系统的强迫振动3-1如图3-1所示弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一 力P=sinof。试求质量块的振幅。图3-1解：设弹簧1, 2的伸长分别为Xi和X2,则有，工= %+W（A）由图（1）和图（2）的受力分析，得到TOJiPs振 激lx1 = K2X2 +sinr欣=Fw联立解得，mx =+=片 sin f女+ 2女+ &EX +X =P0 sin t(占+ &)7(占+%2)加/ klk2所以、制人也)，也=0,得，J(E-6?)2 +(2ZKy)2左 J(l-)2+(%02 勺 1 (乌)23-2图3-2所示系统中，刚性杆AB的
6、质量忽略不计，B端作用有激振力P（t）=P0sint,写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量，作上下振动的振幅值：（1）系统发生共振；（2）等于固有频率吗的一半。解：图（1）为系统的静平衡位置，以9为系统的广义坐标，画受力如图（2）/在=-2/c（2/-3/k（3/）+3/Sin函又=/、4c%M八3n.6+=Psinymmml2fl=仁也/ml“)+(2n)(P: -2- +(2尸1)系统共振，即% =3_ hl _ (3p0 / ml) I 2叩. 4c 隙* = 2)2, B=I T =一_ 4pa1x ml )祖f+叱竺 1( 4m )/ ?3-3建立图3-3所示系统的运动微分方程，
7、并求出系统的固有频率叫，阻尼比，以及稳态响应振幅OEwvwM1-“slnsr图3-3解：以刚杆转角0为广义坐标，由系统的动量矩定理4l-m=-k(l-xi)l-cl-即0H0H0 = SinS4m 4m f3-4一机器质量为450kg,支撑在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm,机器有一偏心重，产生偏心激振力4=2.254疗/g,其中切是激振频率，g是重力加速度。试求:(1)在机器转速为1200rmin时传入地基的力；(2)机器的振幅。解：设系统在平衡位置有位移X,则rnx+kx=FkA：+-X=-即m根又有切g=R,则6”(1)=-7-=40ra/所以机器的振幅为后I-万(2)且P,/$(3
8、)PY=鸟又有相%x(f) = BSiner + 将(1)(2)(4)代入(2)得机器的振幅B=0.584mm则传入地基的力为PT=&B=514.7N2-9一个粘性阻尼系统在激振力F(/)=%s11e.作用下的强迫振动力为已知&=9.6N,B=5cm,y=20rads,求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功%及W2。由已知可得：P(Z)=兄SinHt=19.6sin20mX(r)-BMJCoS(Wf+)=万CoS(20;Ff+)66Wl=6Px(t)dr=19.6sin20mcos(20t+山=-4.93C-49Jq(1-cosS0t)dt=-15.39J同理可得：W2=EPx(r)dr=j；。
9、9.6sin20m;TCOS(20%r+“df=0.0395J3-5证明：粘滞阻尼利在一个振动周期内消耗的能量可表示为AE=朽年2；尤k(l-2)2+(2)2证明AE=I-c&CoS(碗-)dt=-cBJ(J万)+4,2万吊2/抬五号2-cT三J-产(1-)+42A(l-2)+(23-6单自由度无阻尼系统受图3-6所示的外力作用，己知X(O)=以0)=0。试求系统的响应。解：由图得激振力方程为4oyF=一号tltt2OQ%当OCCh时,尸=4,则有MF)=j-smpn(t-)d-1-cosjJ由于所以有PMf)=41-cosp-P-sin pn(r- )d外当仆时,F(T)=-匕则有刀。)=-
10、SinPnf-Cdr+fnn叫P尸Tcospf-0-cosp1-cospn(fT)当M/2时，F(T)=O,则有LSin pn(t-)dmPn+0Mr)=I-Sinpn(t-)d+pP=TCOSP(f-f)-CoSPj-COSp/GT)-CoSPwGT)图3-73-7试求在零初始条件下的单自由度无阻尼系统对图3-7所示激振力的响应。解：由图得激振力方程为1(1-) 尸T 力oyF()-(l-当0人时，力，则有XO = 1T .一外(1)sn pn(t-)d 叩八工-CGSP/ + -?sin p,t %P/当点力时，F(r)=,则有X=玲口一)s,(t-)d+QJOmpntl*。冲sin /-
11、sin Pf-rj3-8图3-8为一车辆的力学模型，己知车辆的质量m、悬挂弹簧的刚度4以及车辆的水平行驶速度人道路前方有一隆起的曲形地面：(1)试求车辆通过曲形地面时的振动；(2)试求车辆通过曲形地面以后的振动。解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为，my=-女(y-X)-s由曲形地面：I/人得到njyky=kysF()=a(l-co*x)得到系统的激振力为，/。X=Vt2z.F(r)=似1-CoS丁-(I)车通过曲形地面时。的振动为y(f)=f()Sinpn(t-rWr=女。Sinpn(t-)d-fcos&rsinpa(r-)dJ。mptnnJoJo=(1一CoSPj)f,rsin(prr-)
12、tSin(PJ-e)fcos(PrT+cos(prr-)tpnF口必gmPJ-+cosp-+ii- X_ .P=_莫中， 掰.flJ2(/+m)2旧一切)2(凡+也)2(p-)p-2PnCGSd)tpCOSP/&/22.门t.P-K式】=&+F(口cospt-pncos(UD=(l-cosp)(pn-)pn-)p-(2)车通过曲形地面后的振动车通过曲形地面后t以初位移)缶)和初速度义：)作自由振动，即y&)=+r-7(2cospnti-p；cosrl)S(L)=-r(-y2psinpnty+sintPL,IK-sy(f)=MfI)CoSp(f一A)+sinpn(Z-Zl)由公式P”，得到车通过
13、曲形地面后的振动响应为7XO=csP-cosp”(f)P；3或积分为y（F）=Isin/乙（，-/）=0口mpfl痴广，“=2/8SP/8WG11sinp（f-r）drcossinp“（Z）drP一mnJUJQ3-9图3-9是一轻型飞机起落架着陆冲撞的简单力学模型。试求弹簧从接触地面至反跳脱离接触的时间。73-10图3-10所示的箱子从高力处自由下落，箱体内有足够的间隙允许质量加运动，并且箱体质量远大于m。若箱子触地后不再跳起，试求：（1）箱子下落过程中质量块相对于箱体的运动；（2）箱子落地后传到质量块上的最大作用力。第四章多单自由度系统的振动4-1图4-1所示系统中，各个质量只能沿铅垂方向运
14、动，假设小=,n2=,n,=m,ki=k2=k3=k4=k=k6=ko试求系统的固有频率及振型矩阵解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为ZnOO-3&-k-kM=OmOK=-k3&-k00m-k-k3七由频率方程K-P?M=,得3k-nip2-k-k-k2妹-mp2-k=0-k-k3k-mp2解出频率为由特征矩阵B=K-/M的伴随矩阵的第一列，3A-幽p2一Fadjg=k2+k(3k-n2)k2+k(3k-mp2)将p1-a代入得系统的第一阶主振型为A*(l11)A满足如下关系：(Ad,)rMAu,=O(K-PM)A=0展开以上二式得，A*+AF=O。取A；=0,A,
15、=-l,可得到AF=I。即有A=(-I0)7,A满足如下关系：(asinA-cos/=.3.2/2/再利用三角函数正交性A=LSIn=J%XSln-dr=Isinax昭2EAlA得2/16f3/EA“(%#= E16 *JiiiEA.ix,iasinAicos(2/2/W1.欣欣-sincosf上/2/2Z(2)解：因为杆是一端固定，可得固有频率和主振型为6=iaNa)=R2/.il.SinX2/(1=1,3,5)巾+P：R=Lq(XjPidX=sintsinxdxJ力/2/所以可得正则坐标的稳态响应为2Q+=tsint(1,3,5).=f2Sin一S)1杆的稳态响应振动为m冗0=用W)=/%
16、sinW1.访PAl兀usi(Pj-刃)2/6-3试写出图6-3所示系统的纵向振动频率方程，并写出主振型的正交性表达式。-kux.t解：边界条件为：U(O) = O,EA SxU (X) C cosx + Z)si X u(x3t) = U(x)(Acos pf + Bsin Pf)由 U(O)=O,得 C = O=OKCOSKX(4CoS /+ 8sin W) x a a2u= -Dp2 sinx( A cos pf + 8sin Pf)由条件(2)得EADcos / = mDp1 sin-/- Wsin /， U, (x) =。sinX所以a这就是我们所要求的频率方程EA 上 cos /
17、二 G 叩工-A)Sin K / n a白 amp2 - k)tpAUiUjdx=Q(ij)pAUiUjdxMpj(ij)M用为第j阶主质量所以主振型关于质量的正交性主振型关于刚度的正交性为解：该题中杆的振动方程为：(x,r) = U(X)Acospf + Bsin pt其中 U(X) = CCoS(PX) + DSin(Px/。)( =ElP)由于边界条件中U (O) =0代入U Cx)中得C=O再将U (x)代入1中，由1)知：Su包拗旦(AcospZ Bsin /*)E - a a2uHHJ-p2Dsin-(cosp+ sin Pf) a再由边界知:GHEA ” -tan (zwp2 -
18、Q = EA- 得： a pl tan =即：P 已知方程EAm2 一九Pk济=Ey)将 I 代入该式中得旦(EAa且)=一Q2 A U ax *取一特解, P；及另一特解u, p；得 4EA也)=-p； APUi. 2 dx dx(EA)dx =-讨ApU-U dx由2乘并对杆积分得J。JdXdX J。 JdU.UjEA) 所以 公W dU dui f , r ,-EA!-dx = -p- ApUiUjdx 30 加 JU1EA 由於= -ku(xj-m x=lLE得：朋业x=i(mp-k)U(l)dx及U(O)=O代入得p；mUi(I)Uj(/)+ApUiUjdx=EAUiUjdx+kUj(I)Uj(I).ij互换p；ImUiQ)Uj(/)+APaUJ阳=EAUiUjdx+kU,Q)U).两式相减得ApUjU/公+mUi(I)Uj(/)=%将上式代入得工EAU；U/dbr+&a(/)UJ/)=p；%所以，其解为正交。
