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1、【指败与指数函数】一、指数C一)整数描数1 .整数指数事概念：=(nwN)；an=(O,wN).规定：=(0).2 .整效指敷事的运真性质：1=,(2Jam+an=(m,nZ)；(3) (a)=(?,WZ)；(4) ab)j=(Z).二)根式1 .根式的概念1的次方根的概念%一般地，如果一个数的次方等于(1,WN),那么这个数叫做。的次方根.即：假设，那么X叫做的次方根.(nl,wN.)例如：27的3次方根，一27的3次方根，32的5次方根，一32的5次方根.说明：(1假设是奇数，那么的次方根记作夜；假设0,那么板,假设0,那么的正的次方根记作板，的负的次方根，记作：一W；例如：8的平方根；1
2、6的4次方根.3假设是偶数，且l,MeN*),;.0=(i5式子夜叫根式，叫，a叫.2 .的次方根的性质1一般地，假设是奇数，那么夜7=;假设是偶数，那么而7=.2(加)=(注意。必须使板有意义.(r)分数指效1 .分效指敷事：nr规定：1)正数的正分数指数幕的意义是=(0,，、gN.,1)；2)正数的负分数指数幕的意义是a-=(0,?、wN.,1)；3) O的正分数指数幕等于，0的负分数指数零.2 .分数指数事的运算性辰I整数指数幕的运算性质对于分数指数幕也同样适用a”=(aO,r,swQ);(2)(ar)=(a0,r,swQ)；(3)(aZ)r=(aO,bO,rG0).说明：当根式的被开方
3、数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幕的形式;例如：V10=(a),W-=(a)【练习稳固】1 .求以下各式的值：1)(2)J(To)-4(3-乃)J(a-b)2(ab)2 .a1,W*,化简：;斤+gf3 .计算：族+莉+力一廊4.求值:昌4-65 .用分数指数幕的形式表示以下各式(a0)：1a14ai2a3-；3)Ja&.6.计算以下各式的值式中字母都是正数.2） L L（a0）.7.计算以下各式：a(M-JilM)+lfia1及Ol0】图象4Oi23F4-3-2-1-1Q123T_K性质1)定义域：.2值域：3)过点,即X=O时，J=,.4)在R上是函数，当x0时,；当x0时，i当*
4、l时，y=jr的图象向上越接近y轴，向下越接近X轴.当O0且wl),/=4,那么CA./(-l)(-2)B./(1)(2)C./(2)/(-2)3练3./(X)是指数函数，且/(-彳)=不工，那么/=二、描敷函敷的图像问例1：假设函数y=-3+l)(0,l)的图像经过第一、三、四象限，那么一定有A.l且50B.0l0C.00D.aLS.fr1例2：画函数y=J(l)的图像.练1.方程2国+x=2的实根的个数为.练2.直线y=3与函数y=卜*一1(0且h1)的图像有两个公共点，那么的取值范围是练3.假设一lx0且1)的图象恒过定点.练5.函数y=ar+1(0O且1)的图像必经过点练6.设0,b,
5、c,d都是不等于1的正数，yax,y=Z/,j在同一坐标系中的图像如下图，那么,A,c,d的大小顺序是)A.abcdB.abdcC.badcD.bac(+2+5)i,那么X的取值范围是练1.设Oa2/+2*-3练2解方程3*+2-32=80.练3.假设方程(：)+(；)*+=O有正数解，那么实数的取值范围是.练4.设Ojr-3jr+s成立的X的集合是.四、定义域与值域问M例：求以下函数的定义域、值域.(1y=82*；(2)y=Jl-(；)*；3y=3-;(4)y=：+卜0,l).练1.当XWl-1,1时，/(X)=3*-2的值域为.练2.函数y=/(x)的定义域为(1,2),那么函数y=/(2
6、*)的定义域为.练3.设集合S=yy=3*,xeR,T=yIy=x-l,xeR,那么ST是)A,0B、TC、SD、有限集练4.求以下函数的定义域与值域1) y = 2xi ； (2) y = 4* + 2 + l ；3) Iy练5.2x W ,求函数y = (；)的值域.五、量值问题例：函数y=2*+2、-l(0且l)在区间-1,1上有最大值14,那么的值是.11练1.XG-3,2,求/(x)=*-不j+1的最小值与最大值.练2.-lx2,求函数/(*)=3+231-9、的最大值和最小值.练3.设04*42,求函数y=4-z-32+5的最大值和最小值.六、比拟大小问悬例：设;那么)D. ab
7、ba aaA.aaabB.baahC.abaaba练1.)5-2,那么实数a的取值范围是练2.炼3.(h+8)B.1 一,+82以下三个实数的大小关系正确的选项是20H2- 12011120112比拟以下各组数的大小:B.C. (-8,1)20HD. 1bcl,比拟与；2假设b0,c0,比拟与加；3假设%0,cy0,且*=b,比拟4与方；5假设,be(,l),Xey0,且*=Z,比拟与方.七*单调性问康例:讨论函数/(x) = (；)的单调性.练1.函数y =的单调增区间为.练2.函数y = 2jfT的单调递增区间为.练3.函数/(x ) = 2 A. 6,+ 00)-2+l在区间5,+8)上
8、是增函数，那么实数的取值范围是B.,+ 8)C. ( ,6 D. (- QO, 6 )练4.的单调增区间为函数yA.(-ro,+ro)B.(0,+8)C.(l,+oo)D.()练5.函数/(x)=j在(一oo,+oo)上(A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值练6.求函数y = 2-+2的定义域，值域和单调区间.练7.求函数y =的单调区间.备敷的奇假性问题例:+1当al时，证明函数y=F-是奇函数.a1练1.如果函数/(x)在区间一2,4一2上是偶函数，那么=.练2.假设函数/(x)=+一是奇函数，那么=.4-1练3.假设函数/(*)=e-P的最大值
9、为，且/(x)是偶函数，那么，+=.,2练4.设4是实数，/(*)=一歹(*gR),1)试证明：对于任意,/(*)在K为增函数；2)试确定a的值，使/(x)为奇函数及此时/(*)的值域.练5./(x)=(+白)*.1)求函数的定义域；2)判断函数/(X)的奇偶性；3)求证：/(x)0.12【对数与对敷函数】一、对数1 .对数的概念：一般地，如果*=N(0,l),那么数X叫做以为底N的对数，记作：X=IogIIN其中：是，N是，log”N是两个要对数：L)常用对数：以10为底的对数IgN；常用对数：IgN=IOgIoN(2)自然对数：以无理数e=2.71828为底的对数的对数InN.自然对如In
10、N=Iog,N其中e=271828；对敷式与指数式的互化lajr=N转化ogN=x2 .对敷的性质，(1负数和零没有对数；C2)1的对敷是零IIOgaI=；(3底敷的对数是1,1Og(Ia=；4)对1恒等式：N=；5IOg“。=.3 .对数的运算法那么：Iog“(MN)=(M,N三R+),loga-=(f,NeR+)iEg”(N“)=(NWR+)；IOg“正=(NWR+)4 .对敷换底公式:IOgJbN=!5 .由换底公式推出一生常用的结论：(1) Eg”加log.a=,log”=；(2Iogjbm=；(3) logu6=；k)g“am=.二、对三l函JR1 .对效函数的概念：函数y=Iog*
11、(a0且aw1)叫做对数函数其中X是自变量，函数的定义域是(0,+8)2 .对我函数J=Iogn*在底敏a1及0al0a10a1及0l0时，;当0X时，;当0V1()且l)的图像关于轴对称.*例：如图中曲线分别表示y=logf,X,j=logftX,y=log,c,d的关系是QA.OabldcB.ObalcdC.OdclabD.dcdlab三、反函败尸好龄y=las戒、1 .定义：设式子j=/(*)表示y是X的函数，定义域为A,值域为C,从式子y=/(x)中解出*,得到式子x=(j),如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=(y),X在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子X=(y)就表示X
12、是y的函数y是自变量，这样的函数，叫做y=/(x)的反函数，记作x=/-1(y),即*=0y)=/t(y),-般习惯上对调X=/T(y)中的字母X,j,把它改写成y=f-1(x).(1)反函数存在的条件：从定义域到值域上的一-映射确定的函数才有反函数;即函数y=/(x)要有反函数由它必须为单调函数.2原函数y=/(x)的定义域、值域分别是反函数y=/T(x)的、.(3y=/(x)与y=/T(x)的图象关于对称.4假设P(a,)在原函数y=/(*)的图像上，那么P在其反函数y=/T(x)的图像上.即：f(a)=bf()=2.求反函数的一般步军(1确定原函数的值域，也就是反函数的定义域:2)由y=
13、f(x)的解析式求出X=/(y)；(3)将*,y对换，得反函数的一般表达式y=/T(X),标上反函数的定义域反函数的定义域不能由反函数的解析式求得分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成.4.掌握以下一些结论(1单调函数=对应0有反函数2)周期函数不存在反函数.3假设一个奇函数有反函数，那么反函数也必为奇函数4)证明Iy=/(x)的图象关于直线j=X对称，只需证j=f(x)的反函数和j=/(x)相同.【练习1固】一、对数运算1. Iog147=,Iog145=b,求log3528(用,力表示).2. log6(72+3+2-3)=3. 计算lg8+gTg2-lg；52+8+lg51
14、g2()+(lg2)lg10-IgO-I3(3) lg5lg80()0+(lg2)2+lg+lg(M)6i(4(Iog43+Iogs3)(logA2+Iog92)-log,O时，/(x)=Iog1X.(1)求当XO时，/(x)的解析式；(2)解不等式/(x)2.25 .根据函数单调性的定义，证明函数/(X)=Iog?土一在(0,1)上是增函数.6 .函数y=21og2(x+2)+l恒过定点.五、反函数1 .求以下函数的反函数：(1J=-(x-);2J=X-2x+3,*(8,0；(3)y=J,“()；*+1y=1(T*)-Vx,(00,那么幕函数的图象过原点，并且在0,+8）上为增函数.如果l时
15、，假设0*l,其图象在直线y=x上方；当l时，假设Oxl,其图象在直线y=x下方.【练习1固】一、等函数定义：1 .在函数y=f,y=32,y=2-x,y=*“中，募函数的个数为（）A.OB.1C.2D.32 .以下所给出的函数中，是幕函数的是C）A.J=-X3B.y=x3C.j=2x3d.j=X3-I二、事函数的图像性质：1 .幕函数的图象都经过点A.(i,i)b.(0,1)c.(0,0)D.(l,0)2 .假设零函数/(x)=x在(0,+00)上是增函数，那么A.0B.0C.=0D.不能确定3 .幕函数y=X=的定义域为A.(0,o)B.0,+)C.RD.(o,O)j(O,+8)4 .以下
16、函数中既是偶函数又是(一8,0)上是增函数的是)A.J=X5B.J=xic.y=x1D.J=X-315 .函数J=X-在区间,2上的最大值是A-B.-1C4D.-46 .函数y=3的图象是A.B.C.D.7 .以下命题中正确的选项是A.当a=0时函数=x的图象是一条直线B.幕函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点C.假设暮函数y=*是奇函数，那么J=Xa是定义域上的增函数D.募函数的图象不可能出现在第四象限8假设Q=IJ*,=0.9一g,那么以下不等式成立的是)A.albB.AabC.bla.Ab1B.mC.m=1D.不能确定10.假设点A(a,b)在幕函数y=x(eQ)的图象上，那么以下结
17、论中不能成立的是)11使%23成立的X的取值范围是)A.XVl且K。B.0vx1D.x112 .当XW(I,+8)时，函数y=x的图象恒在直线y=*的下方，那么Q的取值范围是A.q1B.0q0D.cbaB.abcdC.dcabDabdc14 .函数y=IXF(GN,2)的图象只可能是)15 .函数y=r）和y=*图象满足A.关于原点对称B.关于*轴对称C.关于y轴对称D.关于直线y=X对称16 .函数y=xx,xwK,满足）A.是奇函数又是减函数B.是偶函数又是增函数C.是奇函数又是增函数D.是偶函数又是减函数17 .函数y=&+2X-24的单调递减区间是A.（OO,6B.6,+8）C.（8,
18、1j0.一1,+8）18 .如图1一9所示，幕函数y=x在第一象限的图象，比拟0,|,?,4,1的大小）A.l104,1b.0ala1aia4lC. a2a40asiaiD. 32041l19 .对于塞函数/（X）=必，假设0/G，那么/（口产）,*）：2）大小关系是J/x1)+/(JT2)d/卢+电)/+八电)222c./（立皆）=JGJd.无法确定20 .函数y=x2的定义域为21 .案函数/（*）的图象过点（3,/万），那么/（*）的解析式是,/T（X）的解析式是22 .y=x/-4tf-9是偶函数，且在（0,+00）是减函数，那么整数的值是.23 .假设（0+1）-3-2d.bB.kC
19、.OD.b0227 .定义在R上的偶函数/(*),满足/(x+l)=-f(*),且在区间-2,0上为递增，那么(A./(J(2)(2)B./(2)3)(2)C./(3)(2)(2)D./(2)(2)(3)8 .三个数0.7,6,Ioga76的大小关系为)A.D.76log076607B.0.7a6,7Iog076C.log0766j0.76D.Ioglh760.76679 .函数y=JIOg2X-2的定义域是)A.(3,+o)B.3,+oo)C.(4,+)d.4,+)10 .与方程y=e2*-2ejr+I(XNO)的曲线关于直线y=X对称的曲线的方程为)A.j=ln(l+7x)B.j=In(I
20、-Vx)C.j=ln(l+x)D.j=ln(l-x)(3-a)x-4a,xO,l)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),那么a+b=A.6B.5C.4D.313 .函数y=8h的定义域是;值域是.14 .全集/=|亨A且Zj,那么M=.15 .函数/(x)在R上为奇函数，且f(x)=JM+1(x0),那么当xO118 .函数/(*)=/(一/一4x-5)的X的集合.【综合练习二】1 .设集合P=x0MxM4,0=yOMyM2,由以以下对应/中下熊构成A到B的映射的是e)2 .以下四个函数：1)y=x+l;2)J=X-I;3)J=X2-I:(4)y=；，其中定义域与值域相同的是A.
21、(1(2)B.(1)(2K3)C.(2H3)D.2)34)3 .函数/(x)=+6x+W-2,假设/(2006)=10,那么/(-2006)的值为)A.10B.10C.14D.无法确定(X0)(a+b)+a-b)f(a-b)4 .设函数/(x)=,那么-i(*%)的值为)1(x0)2A.aB.bC.a.6中较小的数D,、6中较大的数5 .矩形的周长为1,它的面积S与矩形的长X之间的函数关系中，定义域为A.x0CX：B.x0xCx!xD.|XO)上最大值是3,最小值是2,那么实数a的取值范围是()A.0a1B.0Q,那么一定有%一三A./(3)(-5)B.-3)/(3)D./(-3)/(-5)9
22、 .函数f(x)=的定义域为A,函数y=f(f(x)的定义域为B,那么l-xA.AD8=8B.AUB=AC.Ar=D.AC8=410 .函数y=f(x)在R上为奇函数，且当x0时，f()=2-2x,那么f(x)在x0时的解析式是A.f(x)=x2-2xB.f(x)=x2+2xC.f(x)三-x2+2xD.f(x)=-x2-2x11 .二次函数y=f(x)的图象对称轴是N=Z,它在a,b上的值域是Wb),f(a),那么A.儿6B./C.x0a,bD./W,b12 .如果奇函数y=f(x)在区间3,7上是增函数，且最小值为5,那么在区间卜7,-3上)A.增函数且有最小值-5B.增函数且有最大值5C
23、减函数且有最小值5D.减函数且有最大值-5I13 .函数*X)=-,那么+/+/(一)+/=-IG2314 .设f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x-1),那么g(x)=.15 .定义域为(/-3-2,4上的函数f(x)是奇函数，那么a=.16 .设F(K)=X-3x,g(x)=x-2,那么g(x)=17 .作出函数了=卜丁+2*+3的图象，并利用图象答复以下问题：(1)函数在R上的单调区间；(2)函数在0,4上的值域.18 .定义在R上的函数外)满足：如果对任意x1,XzWR,都有*土土士)4!Rxi)+*X2),那么称函数KX)是R上的22凹函数.函数*x)=a2+MaeR且a0),求证：当a0时，函数KR是凹函数；19 .定义在(一1,1)上的函数*)满足：对任意x、H(T,1)都有Kx)+y)=R2土上).1+书(1)求证：函数*X)是奇函数；(2)如果当XG(-1,0)时，有R*)O,求证：*)在(T,1)上是单调递减函数；20 .记函数4x)的定义域为0，假设存在XoWO,使4xo)=xt成立，那么称以(X0,分)为坐标的点是函数4x)的图象上的稳定点.(1)假设函数(X)=汇二的图象上有且只有两个相异的稳定点，试求实数a的取值范围；R+(2)定义在实数集R上的奇函数Rx)存在有限个稳定点，求证：*x)必有奇数个“稳定点.
