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1、第1讲计算综合（一）繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题.1 .繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的.找到最长的分数线，将其上视为分子,其下视为分母.2 .一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数.所以需将带分数化为假分数.3 .某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观.4 .对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可.5 .本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅思维导引详解五年级第1讲循环小数与分数.7J14-+-r1.计算：一-2-13-L-3A834161
2、1128423-823124 一 3717【分析与解】原式二46x2,二131-12832 .计算：【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有191.于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在193后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1：如果不一致，也不会增加我们的计算量.所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序.而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995X0.5.具体过程如下：59原式二号W31195(_627+1995x0.5199595019-1.32 919-1.329z19930.4(1995x0.440.40
3、.51995x0.5=11993040419950.50.53 .计算：1：1987【分析与解】原式二1募 1+1986,19873973397319864.计算：二 1-2+一T x+- 4Q,那么X等于多少？11【分析与解】方法一:1 11+!-1+!2+-r2 + xl4x1418x+681 l 4x + l -12x + 7-8x + 6交叉相乘有88x+66=96x+56,x=l.25.方法二：有1+1一2 + -T X+ 4,所以2+与 x + - 48-21=2+；所以x+=3,那么 X = L 25. 25.求4,43,443,.,44.43这10个数的和.9【分析与解】方法一
4、：=4+(44-1)+(444-1)+.+(44.4-1)K)个44八”C=4+44+444+.44.4-9=-(9+99+999+.+999.9)-910个494“八=-(10-1)+(100-1)+(1OOO-1)+.+(1000.0-1)-94=-l11.100-9=4938271591.Q一：9个I方法二：先计算这10个数的个位数字和为3x9+4=3U;再计算这10个数的十位数字和为4X9=36,加上个位的进位的3,为 36 + 3 = 3 回;再计算这10个数的百位数字和为4X8=32,加上十位的进位的3,为32 + 3 = 3回再计算这10个数的千位数字和为4X7=28,加上百位的
5、进位的3,为 28 + 3 = 3I;再计算这10个数的万位数字和为4X6=24,加上千位的进位的3,为 24 + 3 = 2 团;再计算这10个数的十万位数字和为4X5=20,加上万位的进位的2,为20+2=2；再计算这10个数的百万位数字和为4X4=16,加上十万位的进位的2,为16+2=1同；再计算这10个数的千万位数字和为4X3=12,加上百万位的进位的1,为12+1=1囱；再计算这10个数的亿位数字和为4X2=8,加上千万位的进位的1,为8+1=回;最后计算这10个数的十亿位数字和为4X1=4,加上亿位上没有进位，即为国.所以，这10个数的和为4938271591.6 .如图1-1,
6、每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少？【分析与解】因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：7 .我们规定，符号“O”表示选择两数中较大数的运算，例如：3.502.9=2.903.5=3.5.符号23155（0.625-）（-Q0.4）表示选择两数中较小数的运算，例如：3.52.9=2.93.5=2,9.请计算：33皆4（竺03）+（器2.25）【分析与解】原式8 .三(3)=234,(4)=345,(5)=456,(10)=9IOX11,.11-=11,(16)(17)(17)那么方框内应填的数是多少？【分析与解】_2_吐_L=丝(16)(
7、17)(17)(16)1516179 .从和式中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?24681012【分析与解】因为！+-L=J,所以J_,L,_L,_L的和为1,因此应去掉！与_!_.61242461281010 .如图卜2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数局部是一位的循环小数,例如1.892915929.那么在所有这种数中。最大的一个是多少？【分析与解】有整数局部尽可能大，十分位尽可能大，那么有92918较大，于是最大的为9.291892915.IL请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的约数.【分析与解】有J
8、+-L=,-L+-L=L,-L+=-L6101510156351410评注：此题实质可以说是寻找李生质数，为什么这么说呢？.11c+aW1,.11c+a1注意至41=，当a+c=b时，有F=.abcbabcabcbabcac当a、b、C两两互质时，显然满足题意.显然当a、b、C为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2,不妨设a为2,那么有2+c=b,显然b、C为一对李生质数.即可得出一般公式：?-+,C与c+2均为质数即可.2(c+2)c(c+2)2c12.计算：（1-22)x(1-3x3).(1-IOXlo)【分析与解】西T (2-l)(2 + l) (3-l)(
9、3 + l) (10-l)(10 + l)原式二.223310x10l32435465768798109ll223344.101012334455.99 IOxll223344.991010l210ll 11221010 20,01166 +1267 + 1368 + 1469 + 1570 曰QlC13. a=XloO.问a的整数局部是多少？1165 + 1266 + 1367 + 1468 + 1569【分析与解】11(65 + 1)12(66 +1) +13(67 + 1) +14(681) +15x(69 + 1)一 1001165 + 1266 + 1367 + 1468 + 156
10、9= (1 +11 + 121314 + 151165 + 1266 + 1367 + 1468 1569)100= 100 +11 + 12 + 1314 + 151165+1266 + 1367 + 1468 + 1569100.因为11 + 12 + 13+14 + 151165+1266 +1367 +1468 + 1569 所以a 100+些=101至.11 + 1213 + 14+15100100100 +U=IoI2.69693135综上有101 VaVIOl.所以a的整数局部为101.11 + 12+13+1415100 (11 + 12 + 13 + 14+15)69Xloo
11、 二国696965100 1013 5 7【分析与解】方法一：令;x = x2x2 4 6 81 3 5 799 2有 AB=-.-99 .=A,1004 6 8X X -.100 3 5 7 9I(X)X X X . 3 5 7 91011001101 101=B,135799114 .问一xxxx.x与一相比，哪个更大，为什么？而B中分数对应的都比A中的分数大，那么它们的乘积也是BA,W AA4B(=-)101100 10 1 3 5 799 xrll即一 一 X 一 .T 相 比,一,所以有 AXAV X,那么 AV.100 103 5 79710更大.109910 1010X X X
12、. X,那么A2=-X-2 22 4 6 898 1003 3 5 599 99-X X X .X1 100显然凶、织、卫 22 44 6698x98 1001335577.9797999912244668.96989810010097999911、都是小于1的，所以有A2-于是AV.15 .下面是两个1989位整数相乘：111.1111L.11.乘积的各位数字之和是多少?1989个11989个1【分析与解】在算式中乘以9,再除以9,那么结果不变.因为UL能被9整除，所以将一个IlL.111989个I1989个I乘以9,另一个除以9,使原算式变成：=(10-l)l23456790Ol23456
13、791989个O共1988位数=123456790.Ol2345679OOO-l23456790Ol2345679；、2XXjMI同个OllJ9SSb.i7=123456790012345679123456789876543209987654320987654321共1痴位数,云1嬴位数-得到的结果中有19809=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”，所以各位数之和为：+(1+2+3+4+5+6+7+8)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)=17901评注：1111111119=12345679;卜汉999.?的数字和
14、为9、1.(其中MW999.9).可以利用上面性质较快的获得结果.k个9k个9第2讲计算综合(二)本讲主要是补充计算综合(I)未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算.1 .n(n+l)=n(n+l)(n+2)-(n-l)n(n+l)3;2 .从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：3 .平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).11, a=T -2+ 3+ T+99,b =2 +3 +1丁1试比拟a、b的大小.100【分析与解】其中A=99,B=99+-L.因为A98+,100AB2+3r-A2 +3-一l- 4+一+ j-98 + - B,所以有ab.的和？2005【分析与解】
15、记X=,那么题目所要求的等式可写为:所以原式的和为L评注：上面补充的两例中表达了递推和整体思想.2.试求1+2+3+4+4+100的值？【分析与解】方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)X项数2=(l+100)X1002=5050.方法二：倒序相加，1+2+3+4+5+97+98+99+100100+99+98+97+96+4+3+2+1,上下两个数相加都是101,并且有100组，所以两倍原式的和为IolXlO0,那么原式的和为101X1002=5050.方法三：整数裂项(重点)，原式=(lX2+2X2+3X2+4X2+100X2)2=l2+2(3-l)+3(4-2)+4(5-3)+.1
16、00(101-99)2=(12+231x2+3x4-2x3+4x53x4+100101991(X)2=1001012=5050.3.试求IX2+2X3+3X4+4X5+5X6+99X100.【分析与解】方法一：整数裂项原式=(lX2X3+2X3X3+3X4X3+4X5X3+5X6X3+i+99X100X3)3=l23+23(4-l)+34(5-2)+45(6-3)+56(7-4)+99100(101-98)3(-Im-2-m-3-+2x3*4-42*3+345-23*4+4*5x6-3x45+567-456+99!0010l-44490)3=991001013=33101100=3333x10
17、0=333300.方程二：利用平方差公式/+22+32+42+rJ2=x(+l)x(2+l)原式：l2+l+22+2+32+3+42+4+52+5+992+99=l2+22+32+42+52+992+2+3+4+5+999910019999x100=328350+4950=333300.5.计算以下式子的值：0.l0.3+0.2x0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+9.79.9+9.810.0【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算.即先计算1X3+2x4+3X5+4x6+97x99+98X100。再除以100.方法一：再看每一个乘法算式
18、中的两个数，都是差2,于是我们容易想到裂项的方法.O.l0.3+0.20.4+0.3X0.5+0.40.6+9.79.9+9.8x10.0=(l3+24+35+46+9799+98100)100=(l2+l)+(23+2)+(3X4+3)+(4X5+4)+(97X98+97)+(98X99+98)100=(l2+23+34+4X5+9798+98X99)+(1+2+3+4+-+97+98)100=(-9899100+-9899)10032=3234+48.51=3282.51方法二：可以使用平方差公式进行计算.0.1X0.3+0.2X0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+9.79.9+9.8
19、10.0=(l3+24+35+46+97X99+98X100)100=(l2-l+22-l+32-l+42-l+52-l+992-l)100=(1,+22+32+42+52+992-99)100=(-99100199-99)1006=16.5X199-0.99=16.5200-16.5-0.99=3282.51评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的.下面简单介绍一下整数裂项.l2+23+34+(n-l)Xn=-l23+233+343+(n-l)n33=-l23+23(4-l)+34(5-2)+(n-l)nn+l-(n-2)31X2x32x3x1+234-3x
20、4x2+3x4x5+1一(一1)XX(-2)+(-1)XX(+1)=-(h-1)w(h1)6 .计算以下式子的值：【分析与解】虽然很容易看出L=_L_L可是再仔细一看，并没有什么效果，23234545因为这不像分数裂项那样能消去很多项.我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式l2+22+32+-+n2=-n(n+l)(2n+l),于是我们又有二5T(h + 1)(2h-1)6l222+32+n2减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个呢?= 24(= 24x(-1 1 1H 2x3 4x51 1 1H 23 4520211)-6x(! +
21、 !+1123 235H1011122021)-24(1243 465+ H)202221二24x (23 243)+ ()+-+(45 4652021 202221= 24(24F*) 462022IOxll=6X(11x22x3=6(1)1160117 .计算以下式子的值：【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.显然12+1=2;所以原式=198012X2=396024.习题计算17X18+1819+1920+2930的值.提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.答案：(293031-161718)3=291031-1617X6=7358.第3讲多
22、位数的运算多位数的运算，涉及利用999J=IOk-I,提出公因数，递推等方法求解问题.l个9一、9999=1Ok-I的运用1-9在多位数运算中，我们往往运用9992=1OkT来转化问题;A7-9如：33335904920Oi个3我们把理一3转化为99993,2004个32004个9于是原式为333359049=(99993)X59049=9999X59049=(100O0-1)X2004个32004个O20(H个92004个O19683=19683100O0-1968320040而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；20耳个91968299999999+12004个91968299999
23、999+1-19683如：；999个9，于是为968299980317.一6一、1999个97.1. 299.980316+11999个91968299-980317简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数.ljt=333_JX2X3X3X33332004个32008个3=33332399992004个32008个9=199998(I(XX)0-1)2003个9,(K)sz-,=199998100001999982XH,i-!i?IK)X：!2凶3个，2003个92008个919997999999999+1-199998-，于是为1999979990吧包.i9957996i2003个92003
24、个。199997999800002,(1-)FO3F)2.计算1111-2222=AXA,求A.2004个11002个2【分析与解】此题的显著特征是式子都含有111.1,从而找出突破口.IllI-侬2=HL2I吧IQ-11j242004个I】002个21002个11002个0】002个1= Ill 11002 个 I= Ill IX1002 个 I= Ill IX1002 个 I 所以，A=333.1002个 3(10000-1)1002个0(9999)1002个9(Hl133)=A21I：IJl3.计算66666666X25的乘积数字和是多少？20062003个6【分析与解】我们还是利用99
25、99=10000-1来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成k个9k个09999,于是我们就创造条件使用：k个92266666666725=-(9999)-(9999)+1252004个62003个6J20(M个9J2004个922=-(10000-1)-(10000)+125J2004个0J2004个0=-X-210000-22X(10000)+1252004个02004个025=X4X10000-2X10000-24008 个 02004 个 0=9999-9999=1001111-50X11114008个I2004个1=Hll-55550(求差过程详见评注)4008个12004个5=I
26、lL-10555502004个I2004个5所以原式的乘积为Ill10555502004个12004个5那么原式乘积的数字和为IX2004+5X2004=12024.评注：对于!Ul-55550的计算，我们再详细的说一说.4008个I2004.5=Hl10000+111l-555502005个120502003个15=Ill109999+1+111l-555502Hi1.1(K)51-92(X)1I=QjLJP44449+QjlJOl2004个12004个4XN)；1=IH1055552004个120Oi行4.计算些22222的积？1998个21998个2【分析与解】我们先还是同上例来凑成99
27、99；k个9=-f999Jx22229.-71998个91998个2=-10000-122229I19$杯0)I9982=- 1000 0-19 1 199Wlo444.41998 个 4X444.40000-444.419954*41998个O19984=1x4444355556（求差过程详见评注）Q/1997个41997个5我们知道4444能被9整除，商为：049382716.1又知1997个4,9个数一组，共221组，还剩下8个4,那么这样数字和为8X4=32,加上后面的3,那么数字和为35,于是再加上2个5,数字和为45,可以被9整除.4444355能被9整除，商为0493827159
28、5；我们知道5555能被9整除，商为：061728395；这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5,而6个5和1个、6,数字和36,可以被9整除.55556能被9整除，商为0617284.6不5于是，最终的商为：评注：对于44440000-4444计算，我们再详细的说一说.1998个41998个01998个444440000-444419981%41998个01998个4=444439999-44441997个419%个91998个4=44443555511997个41998个5=4444355556.前个41R沁5二、提出公因式有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因
29、式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等.-199819981998)-199919991999)19991998个19981998个1999【分析与解】199819981998=19981001100b10011998个19981998个IooI原式=1998(l+10001+100010001+10011001；1001)1999X(1+10001+100010001+-1998iooi-100110011001)X1999=19981999X1999=1998.1998个IOol6.试求1993X123X999999乘积的数字和为多少？【分析与解】我们可以先求出1993X123的乘
30、积，再计算与(100Oo001)的乘积，但是1993X123还是有点繁琐.设1993X123=M,那么(IoOoXl23=)123000M)(9-c)(9-J)(9-e)(9-)+l=C6,(-l)(9-6z)(9-)(9-c)(9-J)(9-)(9-7+1)那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f-1)+(9-a)+(9-b)+(9-c)+(9-d)+(9-e)+(9-f+l)=9X6=54.所以原式的计算结果的数字和为54.评注：MX9992的数字和为9Xk.(其中M的位数为X,且XWk).k个97.试求9999999乂99999999、999999999999乘积的数字和为多少？2
31、56个9512个91024个9【分析与解】通过上题的计算，由I上题评注|：设9X99X9999X99999999XX999999999999=M,256个9512个91024个9于是MX9999类似巡的情况，于是，确定好M的位数即可；1024个9注意到9X99X9999X99999999XX99999999=M,256个9512个9那么miox100xoooi3ooooooooX100oOXloOoo=oooo2560510-其中k=l+2+4+8+16+512=1024-1=1023；即M10000,即M最多为1023位数，所以满足出题的的使用条件，那么M与9999乘积的数字1023个O10
32、24个9和为1024X9=102401024=9216.原式的乘积数字和为9216.三、递推法的运用有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法.8 .我们定义完全平方数A2=AXA,即一个数乘以自身得到的数为完全平方数;：【分析与解】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121=112;12321=1112;1234321=11112于是，我们归纳为1234n4321=(1111)22272=77777772.所以，题中原式乘积为7777777的平方.评注：以上归纳的公式1234n4321=(1111)2,只有
33、在n10时成立.n个19 .444488889=,求A为多少？(5S个4-20038求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005?【分析与解】方法一：问题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：注意到有N488889可以看成石488889,其中n=2004;200442OO378nT个8寻找规律：当n=l时，有49=7)当n=2时,有4489=67?；当n=3时，有444889=667?；于是，类推有444488889-6666722004个42003个82003个6方法二：下面给出严格计算：444488889=4444(XX)0+8888+1；20
34、04个42003个82004个4200-12004个8那么44440000+8888+1=1111(4X100()0+8)+12004 个 4=Hl JX2( I zI-I=mi2004 个 12lO442(XM 个 82004 个 12004 个 O(999 9+1) +8 +12004个 9(999 9) +12 +12004 个 9=(111.1)236+12lll1+12004个 12004个1=(1111)262+2(6X111.!)+120(M 个 1=(666 67 )2004 个 12003个6由知病488889=666672,于是数字和为(4n+8n8+9)=12n+l=20
35、05;n个4n-l个8n-l 个6于是，n=167,所以444488889二666672,所以存在，并且为444488889.167 个 4166 个 8166 个 6167 个 4166 个 810 .计算6666X9X333.3的乘积是多少？2008 个 62008 个 3【分析与解】采用递推的方法6X9X3=162；66X9X33=19602；666X9X333=1996002；于是，猜测666693333=199996(XX)02n个6n3”T个9联1个0666693333=199996000022008个62008个32007个9200740评注：我们与题1比照，发现题1为6666X
36、9X3X333.3使用递推的方法就有隙2008收2004个3碍，期92=1Ok-I这种方法适用面要广泛一点.练习L设N=666697777,那么N的各位数字之和为多少？2000个62007个7练习2.乘积99999999的积是多少?各位数字之和又是多少？1999个919999练习3.试求UlLjXUl1的各位数字之和是多少？200l第4讲比例和百分数本钱、利润、价格等根本经济术语，以及它们之间的关系.各种数据或所求结果中包含比例与百分数的应用题，有时恰中选取较小的量作为一个单位，司以实现整数化计算.1 .迎春农机厂方案生产一批插秧机，现已完成方案的56%,如果再生产5040台，总产量就超过方案
37、产量的16%.那么，原方案生产插秧机多少台？【分析与解】：5040(l+16%-56%)=8400(台).2 .圆珠笔和铅笔的价格比是4：3,20支圆珠笔和21支铅笔共用71.5元.问圆珠笔的单价是每支多少元？【分析与解】：设圆珠笔的价格为4,那么铅笔的价格为3,那么20支圆珠笔和21支铅笔的价格为20X4+21X3=143,那么单位“1”的价格为7L5143:0.5元.所以圆珠笔的单价是0.5X4=2(元).3.李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内.东院养鸡40只；现在把西院养鸡总数的!卖给商店,4工卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50%.原3
38、来东、西两院一共养鸡多少只？【分析与解】：方法一：设原来东西两院一共养鸡X只，那么西院养鸡(x-40)只.依题意：.（x-40）x（l;一g）+40=gx,解出x=280.即原来东、西两院一共养鸡280只.方法二：50%即东、西两院剩下的鸡等于东院的！加上西院的工,即20+,西院原养鸡数.2222有东院剩下40只鸡，西院剩下原1-L-=a的鸡.4312所以有西院原养鸡(4020)(L-21240N,即原来东、西两院一共养鸡40+240=280只.4 .用一批纸装订一种练习本.如果己装订120本，剩下的纸是这批纸的40%；如果装订了185本，那么还剩下1350张纸.这批纸一共有多少张？【分析与解
39、】方法一：装订120本，剩下40%的纸，即用了60%的纸.那么装订185本，需用185X(60%120)=92.5%的纸，即剩下1-92.5%=7.5%的纸，为1350张.所以这批纸共有13507.5%=18000张.方法二：120本对应(b40%=)60%的总量，那么总量为12060%=200本.当装订了185本时，还剩下200-185：15本未装订，对应为1350张，所以每本需纸张：135015=90张，那么200本需200X90=18000张.即这批纸共有18000张.5 .有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5%,总人数增加16人.那么现有男同学多少人？【分析与解】男生增
40、加25人，女生减少5%,而总人数增加了16人，说明女生减少了25-16=9人，那么女生原来有95%=180人，那么男生有325-180=145人.增加25人后为145+25=170人，所以现有男同学170人.6 .有一堆糖果，其中奶糖占45%,再放人16块水果糖后，奶糖就只占25%那么，这堆糖果中有奶糖多少块？459251【分析与解】方法一：原来奶糖占二一，后来占=,因此后来的糖果数是奶糖的4倍，也1002010049比原来糖果多16粒，从而原来的糖果是16+(4x1)=20块.209其中奶糖有20X=9块.20方法二：原来奶糖与其他糖（包含水果糖）之比是45%：（l-45）=9:11,设奶糖有9份，其他糖（包含水果糖）有11份.现在奶糖与其他糖之比是25%：（1-25%）=1:3=9：27,奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了27Tl=I6份，而其他糖也恰好增加了16块，所以，1份即1块.奶糖占9份，就是9块奶糖.7.甲乙两包糖的重量比是4：1,如果
