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1、HPM教学课例等比数列的前n项和1.1 史料收集与分析人类很早就发现了等比数列及其求和问题，莱茵德纸草书上的问题79,塞琉斯时期(约公元前300年)的泥版AO6484上记载有两个特殊等比数列求和，古希腊数学家埃拉托色尼甚至发明了一种机械工具来推导等比数列的求和，而欧几里得在几何原本中给出了等比数列求和的全新推导方法：比例法.这充分说明占人通过归纳猜想、类比推理和递推迭代等方案己经能解决等比数列求和问题。18世纪，欧拉在其代数学基础中使用了我们今天熟知的错位相减法，19世纪开始该法统治了代数教科书并延续至今。但即使如此，19世纪中仍旧出现了拉克洛瓦的“掐头去尾法”，并被多位数学家沿用。分析以上材
2、料我们可以看出，等比数列在人类的文明史上出现的很早。这说明其基础性、自然性和实用性,也说明学生对等比数列的概念、通项公式和性质的学习不会存在太大困难。而等比数列求和的方法多样，思维各异，有些方法极具创造性，当我们等来错位相消法时文明史已经走过了两千多年，又告诫我们不要妄图在短短40分钟内就能“毕其功于一役二错位相消法作为等比数列求和这一课的重点和难点，重点在于技巧性和操作性，难点在于思想性和联系性。1.2 教学设计与实录片段引入：上一节课，我们学习了等比数列的相关知识(ppt展示)，今天我们要来学习等比数列的求和。早在公元前，故人们就已经尝试各种方法来求等比数列的和,比如在公元前300年塞琉斯
3、时期的泥版AO6484上，就有这样的记载。当时的祭司们发现：1+2+22+29=29+29-1o可以想象，祭司们应该是通过观察和归纳得出来的：1+2=2+2-11+2+4=4+4-11+2+4+8=8+8-11+2+4+8+16=16+16-1进而也就可以得到：l+2+22+211=211+2n-l。这种方法具有一般性吗？生：试过了，/二3”不成立，应该有类似的结构，但我猜不出来。师：确实，猜测的难度有点大，适用性不广。所以祭司们也在尝试别的方案，比如莱茵德纸草书上有这么一个问题：3+32+33+34+35,祭司们发现：55=3(l+54),同学们，我们能站在“祭司的肩膀上”，找到等比数列。“
4、二3”的和吗？Vl)生：HiSn=3(l+Sn,1)=3(l+Sn-3n),所以SIl=2师：那么对于一般等比数列/=aqi呢？讨论后，生：S11=g(幺+4+qg-2)=g(幺+SQ=虱幺+S-q/),qqq所以Sn=生匕2。-q师：非常好，虽然没有考虑9=1是一个小小的缺憾，但瑕不掩瑜。到此，我们可以给出等4（1-ql1）工比数列的求和公式了：Sn=-qq。虽然我们不清楚祭司最后有没有给出完整的叫q=1公式，但他们通晓递推关系是肯定的了，考虑到当时也不需要超大数据和抽象数学，做到这里显然已经很好了。但是，人类对等比数列求和方法的探索并没有止步。对于Sn=ai+a2+-+an,欧几里得打算从
5、等比数列的定义，也就是=幺=4.=N=q上做点文章。同学们能在这个定义式中，找到S”吗？4aI。3an-生：1+4+%S,后面的和前面的方法一样。a+2+，+6/n-lsnacl师：很好，当然欧几里得处理的更巧妙一点：.”一I=一I=幺=4a2%an-.%一4_3一生，4-3_Ia。2。3an-4（1W）1凡一4C111C;q17二4-1，即Sn=I-q。Sn-anIIalq=1师：欧几里得把这个方法写在了他的巨著几何原本里，时间就这样走过了1500多年，一直到18世纪，大数学家欧拉为我们带来了新方法。观察欧拉的推导过程，应该也是从祭司的递推关系式里得到的灵感，对于：S”=+/+/+”（1），
6、欧拉没有像祭司那样对右边提出夕，而是选择两边同时乘以夕，这就有了：qSn=a-a2q-a3q+-+anq=a2+a3+afl+i（2）,观察这两个式子，你能做些什么？生：两式一减，后面的操作就又和前面一样了。师：正确。我们已经学习了多种推导等比数列求和公式的方法了，你最喜欢哪一种，为什么？在讨论后，大多数学生表示欧拉的方法最好，理由是步骤简单，好理解，好操作，能“一次成功”。师：确实，19世纪以后的大多数代数教科书作者都采用了欧拉的方法，我们称之为“错位相消法”，这个名字起的也很棒，把两个核心操作都概括进去了。尤其是“相消”这个想法，把一个无限式减成了一个有限式。从“相消”这个角度出发，法国数
7、学家拉克洛瓦另辟蹊径，给出了“掐头去尾”法，头指的是叫，掐头指的是=%+%+4，同学们能猜测剩下的部分吗？在这种较为明显的提示下，大部分同学顺利完成了掐头去尾法的学习。Sntz=,+%+4”（1）S“-=q+/+a11-由（1）（2）可知：S一q=q（S”一。闻”1）即：Sl1=j-qnaq1师：同学们，今天我们沿着历史的轨迹，学习了数学史上多种对于等比数列求和的思考和方法。事实上，早在古希腊，还有一位数学家埃拉托色尼用一种机械工具完成了等比数列求和公式的推导。可以说是“神乎其技”，限于时间，大家可以课后学习。我们本课要掌握的，不仅是公式本身，更应该是公式背后的思考方式。下面，我们利用公式，来
8、解决一些历史上的名题。（后略）3课后反思根据以往的教学经验，直接讲授错位相消法，其教学难度是巨大的。学生既惊叹于其技巧性,又局限于其机械操作性。教师也往往把重点放在训练学生掌握错位相消法的算法特征。这是另一种形式上的“一个定义，三项注意”，而对于这个方法背后的思想性的教学投入是不够的。借助hpm,能让学生广泛而深入的联系等比数列的定义，有助于学生对概念的理解，此之谓“知识之谐。对比古今方法有助于解释今天学生的学习困难，为学生提供探究的机会,更能进一步确立现代方法的价值所在，此之谓“方法之美”。而经历了上千年几十代数学家的努力才得到的这个成果，更能让学生明白数学结论并不只是教科书上冰冷的文字，而
9、是努力与创造的结果。此之谓“文化之魅从HPM课型的分类来看，本课属于复制和顺应，操作要求相对较简单，而难度更高的重构式则需要教师有更高的理论修养,更丰富的数学史材料积累，以及对数学更深刻的理解。这就需要教师个人在做HPM研究时能坐得住冷板凳，唯有厚积，才能薄发。也因此，HPM研究在良性发展的同时，成本高，难度大，范式少，同道缺等现状也客观存在，HPM领域的“高评价，低应用”仍旧是一个不争的事实。汪晓勤教授认为：“不论未来的数学教育会经历怎样的变革，不论未来的数学教育理论会经历怎样的新旧交替，数学的历史永远无法改变，而基于数学历史发展规律的数学教育研究也必将经得起历史的考验，我们有理由相信，HPM必将成为数学教育中的一道亮丽风景！”
