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1、知识框架图几何计数7计数综合7-8儿何计数国阳1 .掌握计数常用方法；2 .熟记一些计数公式及其推导方法；3 .根据不同题目灵活运用计数方法进行计数.本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想.一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，假设千个图分平面所成的区域数等等.这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的.常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.n条直线最多将平面分成2+2+3+=(2+2)个局部：n个圆最多分平面的局部
2、数为n(n-l)+2;n个三角2形将平面最多分成3n(n-l)2局部；n个四边形将平面最多分成4n(n-l)+2局部在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解.排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关.二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)或含有n个“根本线段，那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+.+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边.数三角形：可用数线段
3、的方法数如右图所示的三角形对应法，因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形.数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形平行四边形，假设其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，那么图中共有长方形平行四边形mn个.例1下列图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的,如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？（4级）【例2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形.如图用这样的等边三角形拼
4、合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴？（4级）【稳固】用三根火柴可拼成一个小“”,假设用108根火柴拼成如下图形状的大三角形，请你数一数共有多少个三角形？（4级）例3如下图，用长短相同的火柴棍摆成31996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍？（4级）【例4】图中共有多少个长方形？（4级）【例5】下面的5x5和6x4图中共有一个正方形.（4级）例6在图中（单位：厘米）：一共有几个长方形？所有这些长方形面积的和是多少？（6级）【稳固】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米
5、、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米.求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和.（6级）【例7】下列图中共有一个正方形.（4级）【巩固】图中有个正方形.（4级）例8如图，其中同时包括两个的长方形有个.（6级）【巩固】在下列图中，不包含的长方形有个.（6级）例9图中含有“*的长方形总共有个,（6级）【稳固】由20个边长为1的小正方形拼成一个4x5长方形中有一格有图中含有“”的所有长方形（含正方形）共有个，它们的面积总和是.（第六届走美决赛试题）6级）三角形拼成的四边形.其 拼成较大的正三角形假 的大、小正三角形一共有行，那么图中梯形个数与【例10如图是由18个大小相同的小正
6、中某些相邻的小正三角形可以设干个.那么，图中包含“*”号个.（4级）【例11如图AB,CD,EF,MN互相平三角形个数的差是多少？（6级）【例12图中共有多少个三角形？（6级）【例13下列图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形.在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（6级）【例14】（第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛）如图，连接一个正六边形的各顶点.问图中共有多少个等腰三角形（包括等边三角形）？（8级）【例15（第十一届“华罗庚金杯赛）图中有个正方形.（8级）【稳固】这幅图中有个
7、三角形.（10级）【例16】一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形,共对折7次，将纸翻开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？（8级）【稳固】将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作.按上述规那么完成五次操作后，剪去所得的小正方形的左下角.问：当展开这张正方形纸后，一共有多少个小洞孔？（8级）【例17】在一个圆周上有8个点，正好把圆周八等分，以这些点为顶点作三角形，可以作出个等腰三角形.（8级）【例18】圆周上十个点，任意两点之间连接一条弦，这些弦在圆内有多少个交点？（8级）【例19圆周上有8个点，两点所连的线段叫“弦，每两点连一条弦，各弦无公共端点，共可连四条弦，各弦互不相交的连法共有种.（8级）例20一个圆上有12个点A1,A2,A3,.,All,A2.以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交.问共有多少种不同的连法？（10级）
