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1、题型3函数的周期性、对称性1 .函数/(x)是定义在R上的奇函数，且/。1)为偶函数，当x0,l时，力=，若函数g(x)=/(X)尤一方恰有一个零点，则实数6的取值集合是()A.12Z,2k+ZzB.f2ZH,2A,AzI44jI22)C.I4k-Ak+-fkezD.I4A:+,4A:+-LkezI44)44J【解析】函数/(x)是定义在R上的奇函数，且/(x-l)为偶函数，f(-x)=-/(),(-l)=/(X-I),f(x_2)=F(X-1)-1)=/(-X)=-/(X),即f(x+2)=-f(x)9.f(x+4)=-f(x+2)=(x),.(x)的周期为4woj时,f(%)=衣=y,X-
2、1,0,-X0,1,/(-X)=(T)2=-fx，/(x)=-x,/(-X-I)=f(x-1),/./(x)=(-x-2),fM周期为4,/(x)=/(-X-2)=/(-X+2),当X1,2,-X+2。1J(X)=/(-%2)Jr+2,当X2,3,一+2-1,0J(x)=f(-x2)=-Jx-2,做出函数f()图像，如下图所示:令g(x)=f(x)-x一人=0，当xf-l,O,gx)=fx-x-b=-4-x-x-b=0,_xb=占,两边平方得/+(26+1*+。2=0,A=(2b+l)2-4从=48+1=0,匕=一,，4此时直线与/()在xe1,0函数图像相切，与函数有两个交点，同理/?=一，
3、直线与/(幻在x4,5函数图像相切，与函数有两个交点,4则要使函数f(x)在1,4内与直线y=x+Z?只有一个交点，则。满足b,/()周期为4,44b范围也表示为44所以所有b的取值范围是4k+1/?4&+”,ZZ.44故选:D.2.设函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(-2)=-f(x)对一切xR恒成立，当TWXWI时，f(x)=x3,则下列四个命题：f(x)是以4为周期的周期函数.f(x)在1,3上的解析式为f(x)=(2-)3.33f(x)在(-,/(一)处的切线方程为3x+4y-5=0.f(x)的图象的对称轴中，有x=1,其中正确的命题是()A.B.C.D.【解析】/(x)
4、=-(x-2)=/(x-4).=4当1x3时，f(x)=-f(x-2)=-(X-2)3=(2-X)3当1X3时，f,(x)=-3(x-2)2.M=,()=-,()=,所以切线方程为133y=-(x-)/.3x+4y-5=0/(x)=一/(X2)=/(2-x),(x-2)=-/(x)=/(-x).f(x)的图象关于X=1对称，因此选D.3 .设函数/(%)为定义域为R的奇函数，且/(%)=f(2%),当0,1时，f(x)=sinx,则函数g(x)=ICOSTrXI-f(外在区间一慨,U上的所有零点的和为()A.6B.7C.13D.14【解析】由题意，函数f(r)=-/(x),f(x)=f(2一x
5、),则一/(T)=/(2-x),可得/(%+4)=/(x),即函数的周期为4,且y=/(x)的图象关于直线=1对称.g(%)=cos(nx)-/(%)在区间-|,，上的零点，即方程ICoS(x)=/(x)的零点，分别画y=cos(%)与y=f(x)的函数图象，；两个函数的图象都关于直线X=I对称，二方程ICOS(x)=f(x)的零点关于直线X=I对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6,故选A.4 .定义在R上的奇函数f()满足(2+x)=(2-x),当XWO,2)时，/(x)=-4x2+8x.若在区间凡句m=l上，存在皿机之3)个不同的整数Xa=I,2,.,m),满足WJ)一(X
6、R)I72,则。一的最小值为()I=IA. 15【解析】B. 16C. 17D. 18图形如下：定义在R上的奇函数/(x)满足/(2+x)=(2-x),得+2+2)=(2-x-2)=(-x)=-(x),即/G+4)=/(x),:则/(x+4)=-(x+4)=-f(x)=(x)./(x)的周期为8.函数/(x)的当不同整数可分别为T,1,2,5,7时,ba取最小值，/(-1)=-4,/(1)=4,/(2)=0,至少需要二又四分一个周期，则b-a的最小值为18,故选D5 .已知偶函数(r)满足/(3+x)=f(3T),且当x0,3时，=Xew若关于X的不等式/2(同一(同0在-150,150上有且
7、只有150个整数解，则实数t的取值范围是()(_3/_3(LA.0,e2B.e2,3eC.3eD.e92elL/JJ【解析】因为偶函数/(%)满足f(3+x)=(3),所以f(6)=(x)=/(T),即/(6+x)=x),所以函数/(x)是以6为周期的周期函数，当X0,3时，/()=Xe2，所以r(x)=/(i),当0x,函数/(力递增；当2vx3时，(x)0在-150,150上有且只有150个整数解,所以不等式r(x)丁(x)0在(-3,3上有且只有3个整数解，当/(x)=0时，不符合题意，故不等式x)t在(-3,3上有且只有3个整数解，因为/=NJ=3/，所以黑=。1，即/(i)1在(-3
8、,引上的3个整数解分别为-2,2,3,所以，l)r，即f,故选：B6.已知函数g(x),(工)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g(x)+z(x)=e+sinx-x,若函数/(X)=少一网一融(工_2020)2储有唯一零点，则实数丸的值为()A.T或B.1或一，C.-1或2D.一2或122【解析】解：已知8(工)+/7(工)=+5111X一%,且g(x),z(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则g(-x)+h(-x)=ex+sin(-x)+x,得：g(x)-MX)=Cr-sinx+x,+得：g(x)=与二由于上一2020关于工=2020对称，则3卜2网关于X=2020对称，g(x)为偶函数，关
9、于y轴对称，则(X-2020)关于X=2020对称，由于/(力=犷2网一加(冗_2020)-2%有唯一零点，则必有/(2020)=0,g(0)=l,即：/(2O2O)=3o-(O)-22=1-22=O,解得：丸=1或一.2故选：A.7.已知函数/*)为/?上的奇函数，且图象关于点(3,0)对称，且当X(0,3)时，/()=(l)x-l,则函数f(x)在区间2019,2024上的()3 7A.最小值为B.最小值为4 87C.最大值为0D.最大值为一8【解析】函数/(x)的图像关于点(3,0)对称，.(6+x)=-(-x).又函数/(x)为奇函数，J(6+x)=/(A:),函数/(x)是T=6的周
10、期函数，Q2019=3376-3,2024=337x6+2,由周期性可知，函数在区间2019,2024上的图像与在区间-3,2上的图像一样，又当x(0,3)时，/(x)=(i-l,由指数函数性质知在区间(0,3)上单调递减，文函数f为/?上的夺函数，故当Xe(TO)时，/(幻二1一2故在(TO)上单调递减，且/=0,所以了(力在区间(T3)上单调递减，即“力在区间(-3,2上单调递减，函数取得最小值2)=-“3故函数在区间2019,2024上的最小值为一己4故选：A.【点睛】结论点睛：本题主要考查函数的性质及对称性与周期性的综合应用，函数周期性常用结论：(1)f(x+a)=f(x-d),则函数
11、的r=2:(2)若f(%+)=-F(X),则函数的7=2；(3)若/(x+)=77,则函数的T=2;f(x)(4)函数/(x)关于直线式=Q与x=b对称，那么函数/(力的7=2|力一；(5)若函数力关于点(,0)对称，又关于点他,0)对称，则函数/(x)的r=2b-a;(6)若函数/(x)关于直线X=。对称，又关于点伍,0)对称，则函数/(x)的丁=4|。一.8.已知/(x)是定义在/?上的奇函数，满足/(x)=-f(x+l),当0xg时，/(尤)=五，则下列结论错误的是()A.方程/(同-X+4=0最多有四个解B.函数/()的值域为_4,4C.函数/(力的图象关于直线x=g对称D.f(202
12、0)=0【解析】由)=-(%+D可得:/(x+l)=-(x+2),则f(x)=(x+2),所以函数/(X)的周期为2,所以/(2020)=/(0)=0,。正确，排除0；再由f(x)=-/(x+l)以及f(x)=-f(-x),所以(-x)=+l),则函数/(x)的对称轴为X=,C正确，排除C；2当噫Ikg时，/(x)=70,又函数是奇函数，一；殁火0时，fM=e,0】，即一1触:时/(x)w-,又因为函数/(力的对称轴为X=-t213所以5领k5时/(%)13所以一领k时/()又因为函数/*)的周期为2,所以函数/O)的值域为,8正确，排除8:故选：4.9.已知定义在R上的函数/(光)满足f(x
13、)=(x+2),且当一lxl时，/(x)=2,函数g(x)=x+J,实数。，b满足若x。,句，3x21-72,使得/(M)=g(x?)成立，则的最大值为()A.WB.1C.2D.2【解析】当X-T,)时，g(x)(,令2忖=可得X=；.V(x)=(x+2),/(x)的周期为2,所以/(x)在-1,5的图象所示：故选：B.10.定义在R上的奇函数/(x)满足/(2-x)=(x),且在0)上单调递减，若方程/(X)=T在0,1)上有实数根，则方程/(x)=l在区间-1,11上所有实根之和是()A.30B.14C.12D.6【解析】由2-X)=/(x)知函数/(x)的图象关于直线X=I对称，V/(2
14、-x)=(x),F(X)是/?上的奇函数,/D=/(冗+2)=-x),(x+4)=x),：,/(力的周期为4,考虑了(x)的一个周期，例如-1,3,由/(九)在0,1)上是减函数知力在(1,2上是增函数，f(x)在(T,0上是减函数,f(x)在2,3)上是增函数,对于存函数外力有f(0)=0,/(2)=/(2-2)=/(0)=0,故当x(0,l)时,/(x)(0)=0,当x(l,2)时，/(x)(0)=0,当x(2,3)时，/(x)(2)=0,方程f(x)=T在0)上有实数根，则这实数根是唯一的，因为，(力在(0,1)上是单调函数，则由于/(2x)=(x),故方程/(x)=-l在(1,2)上有
15、唯一实数，在(To)和(2,3)上“力0,则方程f(X)=T在(TO)和(2,3)上没有实数根，从而方程/(JC)=T在一个周期内有且仅有两个实数根，当xT,3,方程/(x)=-l的两实数根之和为x+2-x=2,当x-l,ll,方程F(X)=-I的所有6个实数根之和为x+2x+4+x+4+2x+x+8+2x+8=2+8+2+8+2+8=30.故选：A.11.已知/(幻、g(x)都是定义域为R的连续函数.已知：g(x)满足：当x0时，g(x)O恒成立；xR都有g()=g(-)./(X)满足：xR都有F(X+l)=(x-l)；当wT,l时，F(X)=3/_3x.若关于X的不等式g()g(-+手)对
16、Xg,g恒成立，则的取值范围是()A.RB.l,+oo)C.0,11D.(To,0jl,xo)【解析】因为VxR都有g(x)=g(-x),所以g(x)是偶函数,又当x0时，/(x)O恒成立，所以g(x)在(0,+?)上单调递增，所以g(切g(-4+半)等价于If(X)。2一。+乎,只需(X)ImaXWa2-+亭，X,j.因为VxR都有/(x+D=f(x-l),即/(x)=(x+2),所以/()是周期函数，周期为2,当xw(l,3)时，x-2(-l,l),所以/(工)=/(12)=3(%_2)3_3(1_2),故时，f(x)=3(x-2)33(x2),求导得,(x)=9(x-2)2-3,令八X)
17、=0,解得为=2-也3,x2=2+-,333334J3IJ38当x-,2一-时，/(x)0,此时/(x)单调递增；当XW2-时，,(x)0,此时/(X)单调递减，所以xeg,时，/”小一当卜3一日一?)一3(2邛-2)=竽，2J,223又如一+=(*) +乎-卜。,所以233所以a-a-v,则agq2-+3g,解得al或4o.33所以实数的取值范围是(一,0d1,+).故选：D.二、多选题12.已知/(X)是定义域为(8,+8)的奇函数，/(无+1)是偶函数，且当XW(0,1时，/(x)=-x(x-2),则()A. /(X)是周期为2的函数B. /(2019) + (2020) = -lC.f
18、(x)的值域为-1,1D,y=(x)在0,2句上有4个零点【解析】解：对于A,/(元+1)为偶函数，其图像关于X轴对称，把/(元+1)的图像向右平移1个单位得到了(X)的图像，所以/(X)图象关于K=I对称，即/(1x)=(l-x),所以f(2+幻=f(-x),了(力为R上的奇函数，所以/()=-(x),所以/(2+x)=-/(%),用2+x替换上式中的X得，/(4+x)=-f(x+2)f所以，/(4+x)=(x),则/(x)是周期为4的周期函数.故A错误.对于B,f(x)定义域为R的奇函数，则/(0)=0,/(x)是周期为4的周期函数，则“2020)=0)=0：当x(0,l时，/(x)=-x
19、(x-2),则=TX(I-2)=1,则2019)=f(-1+2020)=/(-1)=-/(1)=-1,则2019)+f(2020)=T.故B正确.对于C,当x(0,l时，/(x)=-x(x-2),此时有0f(x)l,又由/(x)为R上的奇函数，则x-l,0)时，-1/(x)0,/(0)=0,函数关于X=I对称，所以函数/(x)的值域T.故C正确.对于D,7(0)=0,且x(0j时，/(x)=-x(x-2),.xO,lJ,f(x)=-x(x-2),x1,2,2-x0J,/(x)=/(2-x)=-x(x-2) .xw0,2时，f(x)=-x(x-2),此时函数的零点为0,2：/(x)是奇函数，.x
20、-2,0(x)=x(x+2), .”(2,4时，/(%)的周期为4,x-4-2,0,/(x)=(x-4)=(x-2)(x-4),此时函数零点为4； .x(4,6时，.x-40,2,/(x)=/(x-4)=x-4)(x-6),此时函数零点为6； .x(6,2旬时，.x4(2,4,/(x)=(x-4)=(x-6)(x-8),此时函数无零点；综合以上有，在(0,2乃)上有4个零点.故D正确；故选：BCD13.已知定义域为(0,+)的函数/(x)满足：对任何(0,+8),都有/(3x)=3(x),且当x(l,3时,f(x)=3-xt在下列结论中，正确命题的序号是对任何加Z,都有/(3)=0;函数/()
21、的值域是0,+)：存在Z,使得/(3+I)=I7；函数/O)在区间(a切上单调递减”的充要条件是“存在&Z,使得()q(3*,3i)”;【解析】对于，对任何(0,+),都有/(3x)=3(x),当x(l,3时，/(x)=3-x,所以/(3卅)=/(3,3%)=3/(3I)=3m(3)=0,正确；对于，取x(3n1,3m+(1,3f-1=3-,f-l=-3n,f-l=3m+,-xj3m)3,njUJjUmJ从而函数/(X)的值域为0,+8),正确；对于，X(l,3时，/(x)=3-x,对任意x(0,+8),恒有/(3x)=3(x)成立，Z,所以+1)=3小+卜3小时+)卜3(2-卜7解得=2,正
22、确;对于，充分性：令W4vh3*M则1O必要性：令O0即/停J/停，又当xe.3时，/(x)=3-x,且/(x)=37为减函数，所以存在ZZ,使得1/+时，2k1+,5O,从而函数力的值域为0,+);所以对；(2+1、因为9Q3,24),所以由上可得/(2+1)=?卜|一于=k-,即2a-2m=10,21-2=5.2T=1,=6无解.所以错;综上正确结论的序号是315 .已知定义域为R的函数/)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x(0,二)时，/(x)=Sin万X,2则函数fM在区间0,6上的零点个数是.39/()=/(一)=(一)=o如图所示，画出函数的函数图像，由图像可知39在0,6上
23、的零点为0,1,5,2,3,4,/,5,6所以共有9个零点16.已知定义域为R的奇函数/(x)满足/(x+l)=(3当x(0,2时，/(x)=-x2+4,则函数)=/(刈一。(/?)在区间18上的零点个数最多时，所有零点之和为.【解析】试题分析：由于定义域为H的奇函数/(x)满足/(x+l)=/(3-x),/(T)=(x),/(x+4)=(-x),.x+4)=-(x),(x+8)=-(x+4)=(x),函数/(X)为周期函数，且周期为8,当x(0,2时，/()=-x2+4,函数y=/(戈)一(R)在区间-4,8上的零点的个数,即为函数y=(x)与y=。的交点的个数，作出函数y=),jv-4,8
24、上的函数的图象，显然，当。=O时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为-4+(2)+0+2+4+6+8=14.12。1CdX0则实数。的取值范围是.【解析】L+0+工XVo已知定义在(YO,0)5，+DO)上的函数/(x)T6X2,若/*) +/(X) = O在定义域上有四个不同的解点，lnx-x,x0X2H与函数/(X)=mr-X(X0)的图象有两个交6X2x211-623+ 2,联立可得InX-X+42一0+=0有两个解，即=lnx-6X2可彳殳g(x)=xInX-X2+l3+g,则g，(X)=InX-2x+g%2进而g(力=x+1-20且不恒为零，可得g(x)在(0,+8)单调递增.由g
25、()=o可得OVXVl时，g(x)l时，g(x)0,g(x)单调递增,即g(x)在X=I处取得极小值且为一作出y=g(x)的图象，可得一JVaVO时，InX-X+工尢2一+一=o有两个解36X2故答案为：(一g,018 .设函数/(幻是定义在R上的偶函数，且对任意的R恒有/(x+l)=(x-l),已知当x0,l时,/(X) =,则下列命题:对任意xR,都有f(x+2)=G);函数/(X)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增;函数/(X)的最大值是1,最小值是O;当x(3,4)时，/()=三(;其中正确命题的序号有.【解析】由题意，函数/(x)对任意的xR恒有/(x+l)=/(x-l),可得/
26、(x+2)=f+i)+i=y*+i)-i=(x),所以正确；由x0,l时，f(x)=(j为单调递增函数，因为函数/(力是定义在R上的偶函数，可得T,0时，函数/(4)为单调递减函数，又由函数的周期为2,可得函数/(%)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增，所以正确；由可得，当x=2时，函数取得最小值，最小值为2)=(0)=g;当x=3时，函数取得最大值，最大值为f(3)=(l)=l,根据函数的周期性，可得函数的最大值为1,最小值为J,所以不正确；当x(3,4)时，则4-xc(0,l),可得/(4-x)=/(2-x)=f(-)=f()=(i),-4-=广3,所以正确.故答案为：.319 .已知
27、数列q满足q=-2,且S“=5%+(其中S为数列前项和)，/(x)是定义在R上的奇函数，且满足了(2-X)=/(x),则/(%02)=.【解析】解：因为幻是定义在R上的奇函数，且满足/(2幻=/(x)所以T)=/(x+2)=x),/(+4)=-/(-+2)=(x)所以/(x)的最小正周期为4又因为数列J满足q=-2,且J=4+；3当2时，5W_.+n-l:33减得a”=-zjan-+1，所以%=3。“_-2,an-1=3(“一-1)所以q1-l以一3为首项，3为公比的等比数列，所以4一1二一3,即(=1-3所以202=1-3221又3=(4-1)=4202,+C02i(-1)42020-1所以
28、32以被4除余3所以/(2)=(1-32o2)=-(322-1)=-(-)=(2)=(O)=0故答案为：020.给出定义：若M-Jx+;(其中M为整数)，则M叫做离实数工最近的整数，记作x=M.在此基础上给出下列关于函数/(无)=,一无|的四个结论：函数y=(x)的定义域为R,值域为o,；函数y=(x)的图象关于直线=3ZEZ)对称；函数y=()在一；，；上是增函数：函数y=(x)是偶函数；其中正确结论的是.(把正确的序号填在横线上).【解析】因为x=M,函数f(力=,一到，所以/(%)=卜一|当M=O时，/(x)=,-x-,当AY=I时，/(x)=x-1,1-xl+-,当=2时，y(x)=x-2,2-x2-,当=3时，f(-)=|x3,3-x3+-,函数图象如图所示:-1-0-50I22.53-1由图象可知：函数y=(x)的定义域为R,值域为,故正确;函数y=(x)的图象关于直线戈=(RZ)对称，故正确；函数y=(x)在一；，；上不单调，故错误：其函数关于V轴对称，所以y=()是偶函数，故正确.故答案为：
