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1、微积分第2版第2章极限与连续习题祥解习题2.1（八）1.观察下列数列怎,(5) = (-ln;当ZlfoO时，极限是否存在，如存在，请写出其极限值.解当8时，极限为|;极限为0；极限不存在;极限为1；极限不存在;极限不存在.(2)当一OO时,(3)当一8时,(4)当一8时,(5)当一8时,(6)当一8时,2.对于数列5=1,2,)，给定(1)=0.1,(2)=0.01,n+1(3)=0.001时，分别取怎样的N,才能使当N时，不等式|乙一1|成立？并利用极限的定义证明此数列的极限为1.解要使卜“一II=1=!=10,9,故取1m1+1n+0.1N=9即可.(2)要使风一1|=1=-=10099
2、,故117?+177+10.01N=99即可.(3)要使Ixn-11=1=-=1000，n999I1n+10.001故取N=999即可.对于任意给定的0,要使比一1|=1=-即+1L,n-1.n+1取正整数N=-1,则当N时，恒有1=/一IV,故lim一J+1flo0n+1习题2.1(B)1 .用数列极限的定义证明下列极限：(1) Iim14-=O；(2)Iim=Lon+1-R3+13证明（1）对于任意给定的0,要使不等式xn-a2-一成立.取N =2,则当N时，恒有所以 IimI+(T) =0./1Too（2）对于任意给定的0,要使不等式成立，只需-成立.取N=-!-,则当N时，恒有n10,
3、要使不等式口（所向一成立，只需成立.取N=-4+1,则当N时，恒有_(h+T-V11)-00,对所有的乙都有同M,对于任意给定的0,要使不等式氏”一OHXMVAJe成立，只需0,存在N,则当NM28M时，恒有ynk时，恒有氏小呜所以IimxhyZl=0.11-KO4 .对于数列xm),若x2a-1a(k),x2ka(k),证明：xm(?).证明因为X2J-4(%-8),所以V(),肪0,当%勺时，有-4Vg；又因为。(200)，所以对上述0，320当攵%2时，有|积一。|N时，若n=2k-l,则左K+gZ,得氏一4=员1一K22,得上一汗=卜2%一&N,就有x40,要使不等式(x)-=(2x-
4、l)-l=2x-l成立，只需x-l成立.取K=,则当0上一1卜5时，恒有(2x-l)-l0,要使不等式-=-(-|一露+2)4=x2人I/II4I乙成立，只需取b=即可.则当OVk+2|时，恒有x?4-(-4)0,要使不等式(x)-A=-2=tM时，恒有2x+3C20,要使不等式I”、.sinx八1W-Al=L_0F成立.取M=F,则当xM时，恒有U习题2.2(B)1.当x2时，/(x)=x24,问3等于多少，使当卜一2|5(x)-42,x-20,不妨设卜一2|匕即lx3要使卜2-4=(+2)(X-2)5x-20.001,只要x.2l=0.0002,取5=0.0002,则当0上一2|X时， X
5、 +31(x)-2 0.01?解 因为|/(幻一2| = |当9一2|二35.要使签，一2 0.()1 ,只要4105 ,取X=IOJL 则当同X 时，就有Ifa)-2V0.0L3 .讨论x0时，X-1,(1) f(x) = 0, x + l,解由于下列函数的极限是否存在.x0(2) f(x)sinx, -x0%, 0xvlIim 于QC)= Iim(X-I) = -I,xOx0Iimf(x)=lim(x+l)=1,xO4xO4Iimf(x)Iimf(x).x0-x0*所以Iim/(x)不存在.(2)由于Iimf(x)=IimSinX=O,Iim/(x)=Iimx=0.x0x0x04x*故Ii
6、mf(x)=Iim/(x).所以Iimf(X)=0.x0x0*x0-00Iim F(X) .A2小.、1.X+X1.4xC解hm/(x)=IlmLi-LT=Iim=2.XfmXTx5x-3x2(5) 函数/(幻=,问当。取何值时，函数/(x)在Xf2时的极限存2x-aX8时，变量为无穷小.由于Iim-= ,XToO x -1X -1XfT X -1r 1故XT时，变量F为无穷大.X-I(3)由于IimIn(X-I) = 0,故x2时，变量为In(X-I)无穷小. x2由于 Iim ln(x-l) = + ,或 Iimln(x-l) =- ,X-HXxl+故X+或Xf广时变量In(X-I)为无穷
7、大.2.根据定义证明:y = x-l为当xl时的无穷小;_ sinx为当X8时的无穷小X(1)因为所以V0,取S=,则当ok-8时，一为无穷小.所以X,.sinx.Iim=0.XTg(2)当x2时，x+1有界，f-5%+6为无穷小.所以lim=.22-5x+6z1.x-4(x+2)(x-2)(3) Iim=Iim=lm(x+2)=4.x2-2-t2-212习题23(B)1 .举例说明，两个无穷小的商不一定是无穷小；无穷小与无穷大的积不一定是无穷小.2_i解(D如lim(x-l)=O,Iim(X2-I)=O,但Iim=Iimer+1)=2.不是无穷小.rl.vIxl-XTl例如Iim(X-I)=
8、0,Iim=,XTlxl厂1但是Iim(X-I)I=Iim:I=Iim!=不是无穷小.XTlx-1Ix-1XfX+122.函数y=XCOSX在(-8,+8)内是否有界？这个函数是否为X+8时的无穷大？解因为VM0,总有Xoe(M,+),使得COSXO=1,从而y=/cosx=0M,所以，函数y=XCOSX在(一8,+8)内无界.又存在No,VX0,总有(XF8),cosx0=O,从而y=x0Cosx0=OVN0,所以，函数y=Xcosx不是当xf+oo时的无穷大.1+2X3.根据定义证明：函数)，=一为当KfO时的无穷大.问X应当满足什么条件，能X使仅|IO4?证明因为 1Z = 1+2L-2
9、,X X X1 + 2X要使士MX只要92M国o,取b=一，当o-om,即函11M+2M+211IX1+2X数y二上为当x()时的无穷大.X令M=IO4,取6=!一，当Oek一ok)4IO4+211IO4+2X习题2.4（八）1 .简要回答下列问题.(1)若数列%收敛，而数列%发散，则数列氏土及数列七为是否收敛？若数列后,yt均发散，则数列iyj及数列当然是否发散？解数列%y,发散.如果怎然收敛，那么Xl=X一区一券）或州=（十%）一天也收敛数列k不一定收敛例如：数列X” =L收敛，”=（T）发散，怎券=（_1）”_1收敛；又数列Z=L收敛，稣=2发散，/尤二发散.n2 2）工然及数列xy“不
10、一定发散.3 .求下列函数的极限.(5)1. 4x3 - 2x XIim；：v0 3x + 2xQ)(4)x2 - 3x 2Iim .XTI X - 4x + 3Iim.t+(J2 +X-);(6) Iimx(2x-3)2(3x+2)3(2x + 1)5Iim F+2“XTg X -x+1(8) Iim ftO(x + )2 -X2(1) Iim.t04x3 - 2x2 + X3x2+2x= lim422x + M ro 3x+22XTIX2-4+3I(X-I)(X-3)Xf(X-3)2HmJ2x+131n(J2x+13)(J2x+1+3)(Jx-2+,2)IJX-2-0-XTI - +l(x
11、-2-2)(x-22)(2xl3)2(x-2 + ) 22yJ2,x +1 + 3=Hm吐/笆巫=Hm(-4)(2x+l+3)I(4)IimUX2+x-x)=Iim0oX+0,X=Iim-=J=-yX2+X+X51+l+12IimXTIu-XI-X(6)Iimxoc(2x-3)20(3x+2)3(2x+I)-JC= lim(2x + ) = 2x.02+3 m2,+i +3,+1(JA? +1 +)(2) Iim/；-n6+l(3) Iim(JM +1 - /?2 -1)； n1 -21 - 41 - 2I-3z,+1 - 9+1 - 3+,./+2r7(7) Iim：=Iim-rccX-x+
12、a001,117+XX1. (x+)-X2.X2+2xh+h(8) Iim-=Iimohoh3.求下列极限.(5)Iim+2+3” 则TI335(2h-1)(2zi+1)1.=Iim-=,+,9A?图(3)(72+i+)2Iim也算旦=Iim乙=Iim6+l-Cn6+ln1+1OO=0.=4.Iim(Jn2+1-Jn2-1)=Iim/1cJn2+1+2-1I-,有T4111.(2-l)(2n+l)222-2=Iimd)c)=limX-C-2(-2)(X+1)TX+13得C=Y,从而得到=2,Z?=-8.2.设 Iimxx2-l)-ax+h=-5,求常数a,人的值.X-I；解因为Iimxx2Ix
13、-ax+b=IimI(-a)x2+(a-b)x-byx-1推得-a=0a+b=-5得=1,b=-6.3x+2,x0,3 .设/(x)=f+,OeX,分别讨论O及1的极限是否存在.解(1)由于Iim/(X)=lim(3x+2)=2,Iim/(x)=Iim(x2+1)=1.0XO-0XT(T由于Iimf(x)Iimf(x),所以Iim/(x)不存在.xO0.vO由于Iim/(x)=Iim(X2+1)=2,xxIim/(x)=Iim-=2,x.vXIim/(x)=Iimf(x)=Iim/(x)=2，rxrXf所以lim(x)存在.4 .设IimF(X)存在，且/(x)=x2+2xlim/(x),求I
14、imf(x)和/(x).rl.vlXTl解设Iim/(x)=A,则/(x)=+2Ar,于是xlA=Iimf(x)=lim(x2+2Ax)=1+2A,lXTl得A=-I,f(x)=x2-2x.习题2.5（八）1.求下列极限:Iimtan2xsin5xIim-=o,11-COSX,.2arcsinx(3) Iim-O32(5)Iim-；XTo.2Xsm3(4)(6)YIimTsin(xO)；x2mIimx0tanX-sin_tan2x221.tan2x1.2x2解(1)Iim=Iim华卜=一0sin5x05,sm5x5(3)令 arcsinx = f，V5xi.2arcsinx,.2t2则hm=I
15、im=-XTo33sin/3.XCHSlH/八rxV2.X1.2(4) Iimzsin=Iimxsin=Iimx-=xnoo2n-X2wXTr*I3(5) Iim-=Iim=9.XTo.2XXTo.2Xsmsmfc33(6)1. tan X-sin XIimXTOXSinxsnx.z、1.cosr1.sn(l-cosx)lmc=hm-t0X0XCOSX1.sinx1.(I-Cosx)1八n=IimIim=1x0=0.XTOx0COSX2.求下列极限：Zn+5(2) Iim 811 + (1)Iim1+-n30Vn)IimAXr2x-lIYl1+j2x+3=t，则Iim.roo2x-lY2x+3
16、=Iim1+xxI2x+3lim(l+f),2=Hm(1+tylim(l+/)f00f0(4)Iimx02-xVIim.v0(5)(6)3.设Iim解Iimxrx+l()()l x-5ec 求c.，戈+10OlYXI %-5 )= Iim 1at5xox-5e2,2= e , c = 2012.1l.2sin-Iim0lim(1+2sinx)x=ex*x=e20lim(l+cosx)3secx=lim(l+cosx)cfc*=e习题2.5(B) ijn2 sin H(2) Iim-“ + 1i.利用极限存在准则，计算下列各题.Iim+r+n 1n n(1+11)(+)1 1)由于7-7T+TT
17、*,(+)“Tr(1+h)2(h+)2又因为Iim-=O,IimJ=O,由夹逼准则，有rtxnnx(j+11)Iim+7+7=0.*tv(1+7?)(+)CEqi1C士百7sin几n3,.rl.n3八(2)因为一IVSIn1,所以有8n+12 .利用极限存在准则证明：数列J,22,V2+2+2,的极限存在，并求出该极限.解归纳证明这个数列是严格单调增加的，并以2为上界.显然Jv+&2,假设那么a=2+,Vj2+a=4+1，可见数列是单调增加的.从应2,见2,可推出。的=j2+%vm=2,所以数列以2为上界.由准则II知，此数列是收敛数列，记极限为由在递推公式。用=j2+q两边取极限Hm%=j2
18、+limz，ooVn即=JG,解之得4=2.3 .某企业计划发行公司债券，规定以年利率6.5%的连续复利计算利息，10年后每份债券一次偿还本息Iooo元，问发行时每份债券的价格应定为多少元？解设发行时每份债券的价格应定为4元，则1000=0e65,x,=AZ65,所以&=1000522.05（元）.4 .设本金为P兀，年利率为八若一年分期，存期，年，若以复利方式结算，则本金与利息之和是多少？现某人将P=IOoO兀存入某银行，年利率为r=0.06,/=2：请按利、季度、月利及连续复利等结算方式计算本利和.解按单利计算：本利和为=IooO+1000x0.06x2=1120.00（元）.由复利公式有
19、按季度结算方式计算：=4,利和为+2）=Ioo41+竿）1126.49（%）,按月结算方式计算：=12,本利和为连续复利结算方式计算：本利和为pe=1000/1127.49（元）.5 .根据函数极限的定义，证明极限存在的准则I.证明仅就X飞的情形证明准则，x8的情形类似证明.D0,因为Iimg(X)=A,3(l0,当。卜一与上伞，有Ig(X)4e,即A-g(x)0,3J20,当0卜一Xol&，有(X)-Ae,A-h(x)A+.(4)取S=min含,&,则当OVIX-XolV假设(1)及式(3)、(4)同时成立，从而有A-g(x)f(x)h(x)A+，即(x)AlV.因此，Iim/*)存在，且等
20、于A.习题2.6（八）1.当x0时，下列各函数都是无穷小，试确定哪些是X的高阶无穷小？同阶无穷小？等价无穷小？(1)X当XfI时无穷攸M与无穷小三是否为等价的无穷小?+x；(2)x+sinx;(3)X-SinX；(4)l-cos2x；(5)arctaLx;(6)tan2x.2解(1)因为Iim+=lim(x+l)=l,所以Y+是与X等价的无穷小.x0Xx0(2)因为Iim+ns=Hml1+-j=11=2,所以x+sinx是与X同价的无穷小.XTOXXTOlX)11 C-sn XH5 l-s2x . 2(4)因 为 Iim= Iim -x0 X.r0 X(3)因为Iim-WL=HmI-W=0,所
21、以X-SinX是比X高价的无穷小.XToXolXJZnV=Iim xO-一-sinx=0,所以I-CoS2x是比X高I2X)价的无穷小.(5)因为IimarCtan=Hm=1,所以arctanx是与X等价的无穷小.x0Xx0X(6)因为Iim9四=Iim生=2,所以tan2x是与不同价的无穷小.xOXXToX1-x解Iim-=Iim上立二L故土三与1-6等价.XTlI-xXTII+X1+x3 .当Xfl时，无穷小1一%与下列无穷小是否同阶，是否等价?解(1)由于=更+沪D=Iim厂:=XfI-XI(l-)( x 11. xIim = Iim -+x+l)x,(x2v+l)3故Ir与1-丘同阶但
22、不等价.由于Iim2(-yx)1-x= Iim7= = IXTl 1 + x故l-x与2（1-五）等价.4 .利用等价无穷小代换原理求下列极限.(1),.arctan 3xIimXTO sin 2xIim sn (加,正数)；J。(sin x)ne L -1Iim- x0 1 - cos X(4) -1 lim- XTo x + 3x(5),. arcsin(x-l)2Iim (x-l)ln(2x-l)(6),.tan x-sin xIim；XTO In(l+x3)Iim . 2x -0l + + x2 -I(8)2x + 3x2 -5x3 Iim.XTO 4x + 2 tan x.arcta
23、n 3x(1) Iimr0 sin 2x.3x 3= Iim=XTo 2xIim Sm V，=Iim-= 0 (sin x)n -v0 xn0,1,8,tn + xsinx -1 - x2: 2习题2.6(B)(2) secx-1 - x2: 2(4) 1 + x2 -l-x2证明 令，=arctanx ,贝 IJX = tan/,当 x0 时,t0.于是Hm .r0arctan ,r=lim = IimCSZ = 1, 故arctanxx. o tan t sin t(2)因为Iim0secx-1所以，secx-1 -j_ 22X2 .=Iim01COSX _j_ 2 2X1. 1-cosx
24、 Iim-=t0 12X COSX2Iim , 0 12L ；2XX COSX 2(3)因为Iim x0y + xsinx-1-X 2=Iim-XTO -X2xsin X2 (V1 + xsin X+ 1)=IimJ=a。x(l2sinx+ xsinx + l)所以，V1 + xsi % 1 X2. 2(4)因为Iimx0lx2 -l-x2=Iim.r0,/ 2：, = Iim -2 =x (V1 yj , ) -* yj + x + X所以Jl+f-Jl-225 .证明无穷小的等价关系具有卜列性质:(1) (自反性)；(2)若a0,则?(对称性)；(3)若J,7y,则(传递性).证明(1)因
25、为Iimq=I,所以.a(2)因为,即Iimq=1,所以Iim2=1,即/0.a(3)因为y,即Iimq=1,Iim=1,所以Ya/a.Iim=Iim=IimIiin=1/Y)Y6 .当x0时，变量(1+丘2户一1与变量cos:-1为等价无穷小，求常数Z的值.,1解Iim!=lim-2r=-2=l即k=-LXTOcosx-1XTox4,求15(1+cosJr.1.c.zl、.21n(l+cosx)1.2cosxIim2scc.vln(l+cosx)IimIimgv1l2secxTTsx.sx解Iim(1+cosX)=e-=e-=e其中xf时，ln(l+cosx)COSX.1.讨论下列函数的连续
26、性. F(X)= ,Sin X,O 厂，x0 x0习题2.7(A)-1, F(X) = 1,x解(1)因为，当x0时，/Cr)=/是连续的,由于Iimsinx=O,Iimd=O,/(O)=SinO=O,故/(x)在X=O处连续.XT(TXfO.从而函数/(X)在(-8,+8)内连续.(2)因为f(x)为分函数，当xv-l,-lxl时，函数/a)均是连续的.在x=1处，由于Iim(-1)=-1,Iim丁=1,所以=一1是跳跃间断点；在X=I处,x-XT-I.由于IimX2=1,Iiml=I,且/=1,所以，函数在X=I处连续.xI4综上所述：函数/(X)在区间(_8,-l)U(-l,+8)内连续
27、2.确定常数，b使下列函数连续.ln(l-3jr).”X)二 x + a,x0xO=bx 2, SinaXXx()解(1)当x0时，函数/(x)为初等函数，它是连续的.要使函数/(x)在(-oo,+oo)内连续，只需要函数/*)在X=O处连续即可.因为/(0)=e=l,IimeA=1,Iim(X+)=,所以当时，即有XTO-xQ*Hmf(x)=Iim/(x)=/(0)=1,xOxO*即当a=l时，函数/*)在X=O处连续.故当取=l时，函数/*)在(-8,+8)内连续.(2)当XVo与x0时，函数/(x)为初等函数，故它是连续的.要使函数/(X)在(一co,+oo)内连续，只需要函数/(x)在
28、X=O处连续即可.因为.,、.ln(l-3x)1.-3x3IimJ(x)=Iim=Iim=,Xfo-to-bxIO-bxb1.rz、1.sinor1.asinaxIimfx)=Iim=Iim=a.04x0+Xx0+Q由函数/(x)在X=O处连续知，Iim/(x)=Iim/(x)=/(O)=2，xO.vO43即得，a=-=2.b故当4=2,8=一T时，函数/(X)在X=O处连续.也即函数/(X)在(-00,+00)内连续.3.考察下列函数在指定点的连续性.如是间断点,指出其属于哪一类;如是可去间断点,则补充或改变函数的定义使其成为函数的连续点.X21J=-Jr-3x+2(2) y=,X=kr(k
29、=0i1,2);sinx(3) y=cos2X=O：2x-l,x1(4) y=1解(1)因为y=C=一+?，函数在x=l,X=2处无定义，所以都x2-3x2(x-l)(x-2)是间断点.又因为1.x2-l.(x-l)(x+l)1.x+C1.2-1Iim=Iim=Iim=-2,Iim：=,XTIJr3x+2XTl(X-I)(X-2)XTIX-222-3x+2所以，x=l为第一类间断点(可去间断点)，重新定义，当x=l时，令y=-2,则函数在X=I处连续.x=2为第二类间断点(无穷间断点).(2)函数=上在=k,伏=0,1,2,)处无定义，所以它们都是间断点.sinx因为Iim上=1,故X=O是函数y的第一类间断点(可去间断点).若令y(0)=l,0sin
