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1、数列（第一课时）课例简析数列是一种特殊的函数，是中学数学知识的重要组成部分，它在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，尤其是加深了学生对函数概念的认识,使他们了解不仅可以有自变量连续变化的函数,还可以有自变量离散变化的函数。这样就可以从函数的观点出发来研究数列问题，使对数列的认识更深入一步；而学习数列又为后面学习数学归纳法等内容作了铺垫。同时数列还有着非常广泛的实际应用，是反映自然规律的基本数学模型。如堆放物品总数的计算、产品规格设计的某些问题、储蓄、分期付款的有关计算也要用到
2、数列知识，从而有助于培养学生的建模能力，发展应用意识。数列还是培养学生数学思维能力的好题材，自始至终贯穿着观察、分析、归纳、类比、递推、运算、概括、猜想应用等能力的培养，不仅如此，数列还是对学生进行计算、推理等基本训练、综合训练的重要题材。因此学好数列有助于学生数学素养的提高。本节课是数列这一章的第一节，是这一章学习的基础，因此非常重要。方法简述课程标准指出数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本的数学模型。对数列的概念，要求学生通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊的函数。一、教学方法：学习是人对知识的内化过程，只有学生通过自
3、己去发现、思考、揭示数学规律，才能更有效的促进素质和能力的提高。所以我主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法：首先创设情景，抓住知识的切入点，学生情感和思维的兴奋点；再通过探究性问题的设置来启发学生思考，掌握知识链，并在思考中体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法；继而通过层层深入的例题配置，巩固加深学生对知识的理解。二、学法指导高二学生已经具有了一定的观察、归纳能力和一定的学习能力，因此本节课一问题为载体,以学生活动为主线，有意识的留给学生适度的思考空间，让学生在观察中分析，在类比中发现，在思索中概括，在探究中获取新知，帮助学生逐步形成积极探索、合作交流的学习方式。目标定位一、教学目标1.
4、形成并掌握数列的概念、表示法、分类；体会数列是一类特殊的函数，能用函数观点理解数列相关知识：理解数列的通项公式,会根据数列的前几项写出某些简单数列的通项公式;2.通过对实际问题探索，培养学生的观察、类比、归纳、概括能力，提高学生直觉思维能力；渗透从特殊到一般、类比与转化的数学思想3.培养学生积极参与、大胆探索、敢于创新的思维品质以及合作意识。通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心和热爱生活的情感二、教学重点、难点：1.重点：数列的概念，数列的通项公式；2.难点：根据数列的前几项，写出数列的通项公式。关键是学会观察前几项的特点，揭示数列的变化规律。教学设计、创设情境，引入概念上课伊始，老师借
5、助多媒体讲述故事：有一个叫杰米的人，有一天他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：我想和你订个合同，我将在整整一个月内每天给你十万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍.杰米说：真的？你说话算术！合同生效了，第一天杰米支出1分钱，收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元，到了第十天，杰米共支出10元2角3分，收入100万元，到了第二十天，杰米共支出1048575元（1万多），收入200万元，杰米想要是合同定两个月，三个月该多好啊！可从第21天开始，情况发生了变化：第21天杰米支出1万多，收入10万元.到第28天，杰米支出1
6、34万多，收入10万元，结果杰米在31天得到310万元的同时，共付给韦伯2147483647分，也就是2000多万元，杰米破产了！为什么杰米会破产？很显然的原因：没有学好数学，尤其没有学好我们即将学习的在实际生活中有着广泛应用的这一章一一数列（通过多媒体动态演示故事，使学生注意力迅速集中到所学内容上来，并设置悬念，激发学生学习数列的愿望）二、观察归纳，形成概念教师提出问题1：什么是数列？IOoOO0,100000,100000,100000,.,100001,2,4,8,230为了方便学生的理解，再借助多媒体进行几项活动：切一刀可将一个比萨饼分成2部分；切两刀最多可将比萨饼分成4部分；切三刀最
7、多可将比萨饼分成7部分；继续切下去，比萨饼最多被分成的部分可得到一列数2,4,7,11,.从1984年到2004年我国体育健儿参加6次按奥运会获得的金牌数：15,5,16,16,28,32.场地上堆放了一批钢管，从下往上数有4,5,6,7,8,9,10场地上堆放了一批钢管，从上往下数有10,9,8,7,6,5,4.写出乃精确到1,0.1,0.01,0.001,的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141,.（培养学生观察、思考的能力。借助多媒体增强学生感性认识.）教师提出：以上7列数有些什么特征？学生会很快发现：有一定的规律。紧接着教师提出：是有一定规律，这些规律具体的应该怎么说？
8、引导学生发现：次序！请学生完整说出数列定义：按照一定的次序排列起来的一列数叫数列.再让学生每一个人举出一个数列的例子，写在草稿纸上。而后教师指出：为研究方便，我们把数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做第1项（首项），第2项，第3项，（总之，这一项拍在数列中第几位就叫做数列的第几项）再让学生每一个人举出一个数列的例子，写在草稿纸上，同桌交流。（概念是逻辑分析的对象，具有丰富意义和内涵，同时又具有直观生动的背景，因此概念课应让学生从SE念的原型或实例出发，经历概念的抽象过程，领悟直观和严谨的关系。让学生的学习由感性升华到理性。）二、问题导引，深化概念问题2：数列和是否为同一个数列？在问题
9、2的解决过程中，强调了“次序”，即只有项和次序完全相同的数列才是同一数列。让学生发现：数列和数集的不同：数列中的数有序，而数集中的数无序；数列中的数可以相同，而集合数的数具备互异性。（在形成概念时，也许会有学生认为数列是有一定规律的数的集合，通过问题2的分析，加深对概念理解，为下面学习排除障碍。）数列的一般形式可写成：,外,内，。，其中%是数列中的第项，叫做数列的通项，我们常把一-般形式的数列记作%。让学生思考讨论下面两个问题：问题乂/与句一样吗？问题4：数列的项与序号之间有无关系？这说明了什么？学生分组交流，推选一人汇报成果，其他人补充：由于是任意正整数，%也代表%的任意项，具有任意性。根据
10、对明的理解，观察数列发现：每一项的序号对应着一个项，如数列项45678910序号1234567以前函数也存在着这种对应，即序号集合到另一个数集的映射.从映射、函数观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集N.（或他的有限子集1,2,3,）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.（数列与函数的关系是本节课的重点，在问题的导引下，让学生在思考交流中领悟知识，突出重点，并让学生注意到数列与函数的特殊与一般的关系。）教师强调：用函数的观点看数列，其内容会更加丰富多彩。请一位学生回忆函数的研究内容一一函数的定义及性质，而后学习了几个特殊的函数，以及函数的应用，类比函数，你能说出数列的研究历程
11、？数列也是这样：在掌握了数列的概念之后，我们会去研究两个特殊数列，而后应用所学习的数列知识解决问题。（尝试着让学生运用类比，自己发现将要研究的内容，提高学生的问题意识。）问题5：类比函数的表示方法，你认为数列常见的表示方法有哪些？让学生思考、讨论后回答：1 .列表法（有时也称为列举法）：函数是两行，数列一行即可.前面的数列，数列的一般形式给出的都是列举法.2 .图象法：3 .解析法。问题6：数列的图象是什么样子?让学生先在笔记本上画出数列的图象，并在投影仪展示，让学生观察得出：由于数列是定义在正整数集或它的有限子集上的函数，因此，它的图象是相应的曲线或直线上的横坐标为正整数的一群孤立的点（,4
12、）。而后再让学生观察三个图象去发现问题，有的学生发现：数列有增有减，由此引出数列的分类：根据。,用与%的大小关系，我们可以把数列分为：单调递增数列（。向4）、单调递减数列（见川Van）和摆动数列大小关系不定）。让学生判断创设情境中的7个数列的增减性，继而提出：数列还可以怎样分类？即根据项数是有限的还是无限的分为：有穷数列和无穷数列，再对这7个数列进行判断。（自己画图，使学生对数列图象迅速理解，而且所选的三个图象恰好引出数列分类知识，使课堂前后连贯，知识过渡自然。）数列是特殊的函数，而函数最常见的表示方法是解析法，本节课先研究解析法中的一种：如果数列的第项册与之间的关系可以用一个函数式%=/5）
13、来表示，这个公式也就是相应的函数的解析式，我们把它叫做这个数列的通项公式。需注意的是：通项公式是解析法表示数列中的一种，下节课还要学习其他的解析法。（通过设置问题26,使学生在思考、讨论、交流中深化了数列概念。）四、典例剖析，应用概念在研究函数的时候，函数的很多性质常常是通过解析式来研究，那么数列的很多问题自然是通过通项公式来研究，也就是说通项公式在数列中有着非常重要的作用。例1根据下面数列“的通项公式，写出它的前5项：（1） Cin=；（2）an=（-1）m-/?.+1./、12345,ccl解：（1）-1,2-3,4,-523456变式：数列4,。=/一，0.96是不是数列中的项，若是，是
14、第几项？0.86呢？77+1让学生总结例1代表的题型：已知通项公式，可求数列中的任一项，也可以判断某一个数是否是数列中的项，是的话是第几项？提出：数列（2）中项的符号正负相间，是谁起了作用？提醒学生注意（-1）有调节符号的功能。(注意解题后反思，从而深化对知识的理解，促进知识结构的不断分解组合，使思维有一个正确可靠的基础.)已知通项公式给数列问题的求解带来很大方便，那么反过来，如何写出数列的一个通项公式，使其前几项刚好是给出的数呢？例2写出下列数列的一个通项公式，数列的前五项分别是下列各数：(1) 1,2,3,4,5;(2) 1,3,5,7,9;(3) 1,4,9,16,25;(4) 1,2,
15、4,8,16;(5) -1,1,-1,1-1;(6)9,99,999,9999,99999.让学生先做，再回答，互相补充。教师提出：你是怎么做的？反思能收获什么？学生纷纷回答：通项公式是项。与序号的关系式，因此要写出通项公式我们得观察每一项与序号的关系。教师强调:这种方法就是观察法;根据前几项写出数列的通项公式，通项公式可能不唯一：数列的项是有限个还是无限个；教师强调：以上是基本数列，大家一定要熟知，因为只有知道了它们，我们才能写出较复杂的数列的通项公式，比如：Illll(7) 1x22x33x44x5,560 5_19 _292,6 T2,20 30Illl1变式：,；26122030让学生
16、说答案，总结方法：有时需要变形，再找项与序号的关系.项为分数时，往往观察项的三个特征：符号特征；分子的独立特征，分母的独立特征，有的题还要借助分子和分母之间的关系教师提出：已知数列的前几项，用观察法写出数列的一个通项公式应该怎样思考？让学生讨论回答：概括一下主要有2个方面：1.要注意观察数列中项与序号的关系；2.要注意观察数列中项的几大特征如：符号特征；相邻项之间的关系；分子分母的独立特征以及相互关系，然后在此基础上化归一下，联想一下转化为我们已知的，熟悉的数列，而后写出来。(为了使学生能熟练应用刚学知识，达到巩固提高的效果，设计以上两道例题，用议一议、试一试、做一做、变式训练的形式，通过学生
17、的观察尝试，讨论研究，教师引导来巩固新知识。并通过及时总结，使学生从会做一个题到会做一类题。）五、归纳反思，提高认识让学生从知识和方法上总结一下本节课的收获：1、知识要点：数列的定义；数列的项；数列的通项公式；数列的三种表示方法；数列的分类。2、数学思想：从特殊到一般以及分类、转化的思想。3、写出一个通项公式的常用技巧：（对教学内容归纳、疏理，小结本节课渗透的数学思想方法，便于学生课后复习。使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品o）六、布置作业，延伸课堂1.必做：课本第34页，习题2-1A17题2 .尝试写出本节课引例中的7个数列的通项公式，你又发现
18、了什么？3 .选作：（1）课本第31页，练习B第3题；r1（2）己知函数/（X）=,设N+）X求证明1；数列”是递增数列还是递减数列？为什么?4 .查阅有关数列的资料，制作展板。（学生已经初步掌握了探究数列规律的一般方法，有待进一步提高认知水平，针对学生素质的差异设计了有层次的训练题，留给学生课后自主探究，这样既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高。）教学反思本堂课的教学，在提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等的有机结合中，有序和谐、民主平等地展开。在教学设计中通过丰富的实例引入概念，鼓励学生动脑、动手、动口，经历观察归纳、探索交流、分析问题解决问题的过程，收获新知和方法，提高数
19、学素养。教学过程中通过环环相扣、设置得当的问题链，激活学生的思维、唤起学生的热情、完善学生的知识结构，使学生整堂课始终处在一种积极的学习状态中：看得专心、听得认真、做得投入、说得流畅、合作得愉快。另外，本节课在指导学生进行反思上也做了一定工作，反思可以说是学生认知水平从低级到高级发展的一个主要环节，所谓反思也是解决问题后自问几个为什么，为下次解决问题获得有用的经验和教训。西方的一位教育学家曾说过：把所学的东西都忘掉，那么剩下的就是教育了。那么剩下的会是什么呢？我想就是在知识学习过程中所学得的或所领悟到的数学思想方法和思维规律。反思恰是引导学生不断总结经验教训，真正领悟到数学思想方法，从而优化认知结构，促使学生思维升华，由此达到提高学生学习数学能力之目的。本节课设计在实施过程中要避免用问题牵着学生走，而是设置情境，让问题呼之欲出，让学生自己发现问题，提出问题进而解决问题。这一点在采用“问题导引，自主探究”这一方式的教学中都应注意。
