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1、用正割对数计算积分的方法下面介绍一种利用正割对数，计算积分的方法。相关资料下载网址：链接:https:Dslz3R9bUmV3AcJKLPFNNT3A?DWd=mh67提取码:mh67链接:https/slDSlDMSADWGr6yYELGlD9eg?DWd=gni4提取码:gni4https:sSWnUekC36zv?DaSSWOrd=ua44#三角函数微积分访问码：ua44正割对数微积分_lhttps:WWWaiVUndriVsdcF3cr3K3WT微云文件分享:正割对数微积分下载地址:https:S第一部分用正割对数计算积分的方法一个函数y=Rx)的导数等于函数图像某点切线的斜率tga=
2、y=f()=u(x)=yx,函数f(x)的导数U(X)等于切线的斜率，tga=u(),tga=sinacosa,导数等于微分，微分积分后变成原函数，即/f(x)=ftga=f()因为，a=arctgf(x),根据泰勒展开35XXarctgx=x3-+(1)+o(x2n+l所以,2n+lf(X)a=f(x)3f(X)+(-1)+o(x2n+l2n+2方法1,推导过程可参见微积分学导论，1958年版，曹一华，江体乾编译推导过程可参见无穷小分析基础，苏联，普里瓦诺夫，CA加里别伦著因为,tga=y=f(x)=u(x)=yx,a=arctgy,所以,sinad(cosa)f(x)=ftgada=fda
3、=-f=lncosa+Ccosacosa根据泰勒展开25a6am2ma2m+lacosa=l-+2!4!6!-+(-I)+(a)(2m)!所以，2562maaama2m+lf(x)=-lncosa+C=-lnl-+2!4!6!-.+(-1)+0(3)+C(2m)!可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版微积分教程第一卷第一分册69）写出函数InCoSX的展开式至X的项。根据5）12133Incosx=lnl+(cosx-l)=(cos-l)(cosx-1)+(cosx-l)+o(cos-l)2212136Incosx=lnl+(cosx-l)=(cos-l)-(cosx-1)+(cosx
4、-l)+o(x)22所以，12133f(x)=-lncosa+C=(cosa-l)-(cosx-l)+(cosx-l)+o(cosx-l)2312136f(x)=-lncosa+C=(cosa-l)-(cosx-l)+(cosx-1)+o(x)23246aaa6f(x)=-lncosa+C=+(a)21245方法2,推导过程参见高等混合算学下册，商务印书馆1925年出版，梧兹（WoodS）,巴雷（BaiIey）著，长沙易俊元译，9. Jtanudu=logsecu+C10. JCotudu=IogsinU+Clnsin=-lncsc,lncos=-lnsec,lgtg=lgsec-lgcsc,
5、lgctg=lgcsc-lgsec,所以,f(x)=ftanada=fsinad(cosa)i=f=-lncosa+C=lnseca+CcosaUccosa所以，f(x)=fcotada=f因为,tga=y=f()=u(x)=yx,所以，f(x)=/tgada=logseca根据泰勒展开23cosad(sina)da=J*=lnsina+Csinacsina+C5nXXXn-1xnln(l+x)=x+234-.+(-1)+o(x)n所以，1Insecx=ln(l+(secx-l)=(secx-l)-2(secx-l)+133(secx-l)+o(secx-l)21Insecx=ln(l+(se
6、cx-l)=(secx-l)-2(secx-l)+2136(secx-l)+o(x)2所以，1f(x)=lnseca+C=(seca-l)2(secx-l)+2136(secx-l)+o(seca-l)21f(x)=lnseca+C=(seca-l)2(secx-l)+2136(secx-l)+o(a)2因为，256aaam22ma2m+lcosa=l+2!4!6lnsin=lncsc,lncos=-lnsecz所以，-+(-l)+o(a)(2m)!2562maaama2m+lf(x)=lnseca+C-lncosa+C=-lnl+-.+(-1)+o(a)+C2!4!6!(2m)!因为，推导过
7、程可参见古今算学丛书，割圆密率捷法，清光绪戊戌六月算学书局印成，清咸丰壬子年，湖北人戴煦识，夏鸾翔编写，1898年刘铎整理当4520时，816 216272+ 5*623*45*67*824622lnsec=+223*423*410 21627279362n S 23*4 5*6+.+7*89*102(n+l)(n+2).*2n上式中，S*(2n-2)(2n-l)S*(2n-2)(2n-l)n-2n-3S*2n(2n+l)*2n(2n+l)*2n(2n+l)n-11*2S=-+-2n1*23*45*6例如：2S=212*4*5-2*2=16S=161*222016*6*7336*8*9+2*4
8、=272S=2721*23*433367016*6*7336*8*970*8*9+-2*4=7936S=79361*23*45*64979220161687936*10*119792*10*112016*10*11168*10*11S =7936+-+2*5=3537921*23*45*67*85436480897607392330当67.5。0450时lnsec=lnsec(2-90o)-lnsec(90o-)+ln2f当78.75267.50时lnsec=lnsec2(2-90o)-90o-lnsec2(90o-)-lnsec(90o-)+2ln2z当84.3750278.750时lnse
9、c=lnsec22(2-90o)-90o-90o-lnsec4(90o-)-lnsec2(90o-)-lnsec(90o-)+3ln2z当85.3750284.3750时lnsec=lnsec222(2-90o)-90-90o-90o-lnsec6(90o-)-lnsec4(90o-)-lnsec2(90o-)-lnsec(90o-)+4ln2,当86.3750285.375时,lnsec=lnsec2222(2-90o)-90o-90o-90o-90o-lnsec8(90o-)-lnsec6(90o-)-lnsec4(90o-)-lnsec2(90o-)-lnsec(90o-)+5ln2,当
10、87.375286.375时,lnsec=lnsec22222(2-90o)-90o-90o-90o-90o-90o-lnsec8(90o-)-lnsec8(90o-)-lnsec6(90o-)-Insec4(900-)-lnsec2(900-)-lnsec(900-)+6ln2,当88.375087.375o时,lnsec=lnsec222222(2-90o)-90o-90o-90o-90o-90o-90o-lnsecl2(90o-)-lnsecl0(90o-)-lnsec8(90o-)-lnsec6(90o-)-lnsec4(90o-)-lnsec2(90o-)-lnsec(90o-)+7
11、ln2z所以，f(x)=lnseca+C=2468272aa2a216a216223*423*45*623*45*6所以，f(x)=lnseca+C-lncosa+C=24aa6am2ma2m+l-lnl2!+4!6!-+(-l)-(2m)!+(a)+因为,y=tga,所以,a=arctgy,所以,f(x)=lnseca+C=7*8246816272arctgyarctgy2arctgy216arctgy223*423*45*623*45*67*8所以,f(x)=lnseca+C=-lncosa+C=2arctgy-lnl+4arctgyarctg6y2marctgy2m+l+o(arctgy
12、)+C十I1J2!4!6!(2m)!上式中2345(I-N)(I-N)2(I-N)23(I-N)234InM-Ff1-Nh4.2232342345n(I-N)234n-1+.+12345n上式中，Nl时，mlgN=m-(l-N10)+m2m3m4m5(l-N10)(1-N/10)2(1-N/10)23(1-N/10)2342232342345mn(l-N10)234n-12345nm上式中，N/101例如：推导过程可参见微积分学导论，1958年版，曹一华，江体乾编译f例2.f3,有=t-13-l)t*3tdt=363/(t-t)dt=3t7-3t4+C=3(l+x)(l+)4MC解法2,根据上
13、面的公式,f=Inseca+C=24arctgyarctgy23*4arc(x3*4163*45*66arctgy+2723*45*67*82162723*45*67*8解法3,根据上面的公式,arctg4arctgyarctgy-lnl+2m2!4!6!y,.+(-1)arctgy2m+l+o(arctgy)+carc(x-lnl2!2arc(xarc(x(2m)!6;arc(x-+(-1)(2m)!4!2m+ll+)+C在几何上，就是我们只限于取y=：H到五之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以，y=VXy也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数，上面等式
14、左右两边同时积分，得fydx=fdyxy=InIXI+CXY也就是说原函数等于反函数绝对值的自然对数,设y=f(),反函数为X=fXy-1f()=nIf(y)I+C(y)因为，f()=-lncosa+C=246aaa6+o(a)21245上式中tga=y=f(x)=yx,f(x)=-lncosa+C=246aaa=+212456-1+o(a)=lnIf(y)I+Caaa+-121245f(y)=同理可证-121245f(x)=e上式中-1tgb=f(y)=xy第二部分通过导数斜率计算积分的方法推导过程可参见1992年版高等数学，盛祥耀主编，高等教育出版社出版一个函数y=f(x)的导数等于函数图
15、像某点切线的斜率tga=y=f(x)=u()=yx,函数f(x)的导数U(X)等于切线的斜率tga=u(x),tga=sinacosa,根据泰勒展开sina=a-3a+3!5a7am-1-.“+(-I)2ma2m)(a-*0)5!7!(2m)!2462maaama2m+lcosa=l-4-/.1+o(a(a-*0)2!4!6!十SJ(2m)!3572m+laaama2m+2-+(-I)X茨著1953+o(a积分:(a-*0)S一卷第一分册357可参见高等教育出版社菲赫金哥(2m+l)!年版微I教程鲜3a4tga=a+o(a)33a4u(x)=a+o(a)3或者，推导过程可参见三角函数计算页u(
16、)=tgQ=2J2k/Ji,上式中，k=13,或，32k=0.33a+0.5a+a+l或者，推导过程可参见古今算学丛书，圆率考真，光绪戊戌六月算学书局印,推导过程参见三角函数的求法缀术页,224(2-82+32)当 60。a 90o 时,tga=sinacosa=-/271-4a/(2-82a/+32a)22a3y(2-66a/+54a)tga=sinacosa=二-当30a60o时,/27i-a3V(2-66a/+54a)22a3y(2-12a+36a)tga=sinacosa;二-当OQ(2m)!3572maaam-1a2m+-.+(-1)+O(33!5!7!(2m-l)!2462maaa
17、ma2m+l1+-.+(-1)+o(a2!4!6(2m)!解上面的方程，得到t关于a的函数a=(Ht,a=u(x),a=t,根据一元三次立方根的卡尔丹公式，3方程X+px+q=O的解有三个分别是其中，3:1,因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是=1,=-l2+i32f=-l2+i32,012推导过程可参见7.复数的方根，根据上面的卡但公式，得3方程a+3a-3t=O的解有三个分别是，其中p=3,q=-3t,因为函数y=f(x)的导数是斜率tga,即tga=yxz因为,a=(t)zu()=t,所以,a=u()Ltga=tgu(x)=yxzy=x*tga=x*tgu()=x*tg(t)y=*t
18、ga=或，y=x*tga=y=x*tga=3t 9t 27+ 2427X23t9t27*tg+、2、427上式中，3a4t=a+o(a)3这样就得到由导数的斜率tga构成的原函数y,也就是通过上面的办法通过导数U(X)计算得到原函数f(x),这样就得到由原函数f(x)构成的导数U(X),也就是通过上面的办法通过原函数f(x)计算得到导数U(X),导数计算公式：因为，tga=tgu(x)=y,arctg(yx)=u()=a,因为u()=tz3a4u(x)=t=a+o(a)3或，u()=tg=22k/,上式中，k=1.3,或，32k=0.33a+0.5a+a+l或推导过程可参见古今算学丛书，圆率考
19、真，光绪戊戌六月算学书局印，详细推导过程可参见古今算学丛书，切线求弧和缀术页，推导过程参见三角函数的求法缀术页，224a(2-82a+32a)tga=sina/COSa=当60a90o时，/271-4a/(2-82a/+32a)22a3y(2-66a/+54a)tga=sinacosa=二-当30。a60o时,/27i，a3V(2-66a/+54a)3y(2-12+360)tga=sinacosa=当0a30o时，/27l-a3y(2-12a+36a)或，3572m-laaam-1a2ma-+-.+(-1)+o(a)3!5!7!(2m)!u(x)=t=2462maaama2m+l1 +-.+(
20、-1)+o(a)2!4!6!(2m)!因为,tga=y=f()=u()3arctg(yx)y=u(x)=t=arctg(yx)+33572m-larctg(y)arctg(y)arctg(yx)m-1arctg(yx)2marctg(yx)+(T)+o(a)3!5!7!(2m-l)!y=u()=t=3462marctg(y)arctg(y)arctg(yx)marctg(yx)2m+l1- +-.+(-1)+o(a)2!4!6!(2m-l)!这样就得到由原函数y构成的导数y,也就是通过上面的办法通过原函数y计算得到导数y,所以,3a4a+o(a)=33arctg(yx)arctg(yx)+3!
21、5arctg(y)7arctg(yx)2m-lm-1arctg(yx)2m-.+(-1)+O(3)(2m-l)!5!7!2marctg(yx) arctg(yx)+ 2!4!arctg(yx)marctg(yx)2m+l-.+(-1)+o(3a 4a+ +o(a )=tz33aa+t=0z33a +3a-3t=0z解这个一元三次方程式得,6!(2m-l)!其中，3二1,因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是=It=-!2+iJ浓，=-l2+jJ32t推导过程可参见7.复数的方根,上式中，3572m-larctg(yx)arctg(yx)arctg(yx)m-1arctg(yx)2marctg
22、(yx)+-+(T)+0(33!5!7!(2m-l)!t=34arctg(y)arctg(y)2!4!或者，3 a4t=a+ +o(a )33 arctg (yx) t= arctg(yx) + 362marctg(yx)m arctg(yx) 2m+l-.+(-1)+o(a6!(2m-l)!因为,tga=y=f(x),所以,tga=y=f(x)=tga=y=f(x)=tga=y=f(x)=332 3t 9t 273t 9t 27tg+2427、上式中,3572m-larctg(yx)arctg(yx)arctg(yx)m-1arctg(yx)2marctg(yx)+-+(T)+0(3)3!5
23、!7!(2m-l)!3462marctg(yx)arctg(y)arctg(yx)marctg(yx)2m+l1-+-.+(-1)+0(3)2!4!61(2m-l)!或者，3a4t=a+o(a)33arctg(y)t=arctg(yx)+3这样就得到由原函数y构成的导数y,也就是通过上面的办法通过原函数y计算得到导数y,例如：推导过程可参见微积分学导论，1958年版，曹一华，江体乾编译，例1.x/dx2设=t,则有xteett/d=/2tdt=2fedt=2e+C=2e+Cxt解法2,用上面的公式求解y=x*tga=上式中3a4t=a+ +o(a )33 arctg (yx) t= arctg
24、(yx) + 3因为,y=tgaz a=arctgyz 所以，3arctg y e t=arctgy+ = 3X e3y=x*tga=3xXx9(+)3ee3xx272Vx2x427所以，3572m-larctg(yx)arctg(y)arctg(yx)m-1arctg(yx)2marctg(yx)-3!5!7!(2m-l)!y=u()=t=3462marctg(y)arctg(yx)arctg(yx)marctg(yx)2m+l+-.+(-1)+o(a)2!4!6;(2m-l)!3572m-larctg(2e)arctg(2e)arctg(2e)arctg(2e)arctg(2ex)-+-.
25、+(-1)3!5!7!(2m-l)!2 4 xarctg (2ex) arctg (2ex)3!5!所以, tga=y=f(x)=6 JX2m arctg (2ex) arctg (2ex)-.+(-1)7!(2m)!72m-larctg(yx)m-1 arctg(yx) 2m-.+(-1) +o(a )7!(2m-l)!上式中，35arctg(yx)arctg(yx)arctg(yx)+3!5!3462marctg(y)arctg(yx)arctg(yx)marctg(yx)2m+l1-+.+(-1)-(a)2!4!6!(2m-l)!3x5x72m-lxarctg(2e)arctg(2e)a
26、rctg(2e)arctg(2e)arctg(2ex)卜+(1)3!5!7!(2m-l)!24JX6JX2mxarctg(2ex)arctg(2e)arctg(2e)arctg(2ex)1+.+(1)3!5!7!(2m)!或者3arctg(yx)t=arctg(yx)+33xXarctg(2e)t=arctg(2ex)+3推导过程可参见A.r.yP。山库洛什著高等代数教程1953年版,41.三次与四次方程，说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：32y+ay+by+c=O(1)设y=x+h,得32(x+h)+a(x+h)+b(+h)+c=O3223X+(3h+a)x+(3h+2ah+b)x+
27、h+bh+c=O上面方程可转化为，3X+px+q=O(3)其中,y=x-a3,(2)h=-a3,22p=3h+b+2ah=b-afitq=h+bh+c=-a27-ab+c,只要求得方程的根，那么我们根据就可以得到方程的根，根据基本定理方程有三个复数根，设x是其中一个，我们引入辅组未知量U来讨论多项式，2f(u)=u-XoU-PR它的系数为复数，故有两个复数根和B。而且由韦达公式，得，=0(4)B=-pB(5)以根XO的表达式代中，我们得出：3(a+)+p(a+)+q=0z或，33a+(3a+p)(a+)+q=0z但由得3aB+p,故有，33a+=-q(6)另一方面，由推得，333a=-p/27
28、(7)3等式与证明了，数a和132Pz+qz=027的根,解方程(8),我们得到：q/23Z=-/H2J4273/23qqpa=/+2/42733是系数为复数的二次方程,(8)注意：因和B在等式和中，同时在x的表达式中，都是对称的，33故对方程的根(三)的根，以何者为何者为B是没有什么分别的。这就是说,B可以相互交换位置，得到的计算结果不变.即，两者的计算结果是相同的，我们得到次之卡尔丹公式，把方程的根经其系数用平方根与立方根来表出：注意：是1的立方根，即3=1,因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是=1,=-!2+iJS,=-l2+i3/2,O12下面内容为插叙推导过程可参见A.yPO山库
29、洛什著高等代数教程1953年版,7.复数的方根，在几何上，就是我们只限于取y=j2到口/2之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以，y=VXy也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数，也可以认为，反函数的导数等于1除以原函数的导数，=VyyX因为，3arctg(yx)y=u(x)=t=arctg(yx)+3所以，1x=Vy=yX3arctg(yx)arctg(yx)+3推导过程参见微积概要国立中山大学学院院长何衍睿，李铭槃，苗文绥，合编，1935年版，商务印书馆出版,因为，m(l+x) =l+mx+m(m-l)2m(m-l).(m-n+l)n2n+2X+.+X+
30、o(x)1*22221*32*4l*3*.(2n-l)2n 2n+2X +o(x )2*4*.2n所以,当X=-,m=-l2时，有 11=1+ 4351n 1-.+(-1) 72n+l两边积分得352n+l1X1*3Xl*3*.(2n-l)X2n+2arcsinx=x+.+I“+o(x)232*452*4*.2n2n+l在区间（日3572n+lXXXnX2n+2arctgx=x+-.+(-1)+0(3)3572n+l当X=I时，由上式可得，X (Ioga) n+1n!IogaXloga因为a=e,a=e所以,22XlogaX(Ioga)a=1+12!2n+l1-xarctan=1+x4在区间S
31、Z2,+兀/2)-x+n-1(-D2n+l1-xd=l+1+x1+2n+2+o(x其中m为正整数xlsinxlogxX=(3!5!7!1(-2n+1-+(-I)-+3!3!5!7!3!x)dx=f(x)-1+xog(l+)1+x5!7!5!7!n2n(-1)X(n)(X)n+12n+2(n+l)x+x21+nf(x)+.+1+x(i+)n+1(1+x)(n+l)!推导过程可参见1934年商务印书馆出版大学丛书高等算学分析，熊庆来著推导过程可参见1937年版大学丛书微积分学，孙光元，孙权平著arcsinx=x+-12X1*3+Xl*3*.(2n-l)X2n+l2n+2+o(x)32*452*4*.2n3572n+lXXXnX2n+2arctgx=x+-+(1)+o(a)3572n+l352n+l+.+(-1)n+.+(-1)n+1 l*3*.(2n-l)x2*4*.*2nl*3*.(2n-l) nx2*4*.*2n2n+2+( )2n+2+()可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版微积分教程第一卷第一分册4)今考察幕函数X,此处m非自然数也非
