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1、重难点专题04：空间向量研究空间距离问题考点01：两点间的距离公式：若4(X,%,Z),(x2,y2,z2),则IABI=JAB=yj(x2-X)2()j2-37)2+(z2-zi)2,或a.b=J(A-。)+(%-Y)+(z?-Z)1.如图所示，正方体的棱长为1,“是所在棱上的中点，N是所在棱上的四分之一分点(靠近y轴)，则“、N之间的距离为.【答案】叵4【分析】根据给定的几何图形，求出点M,N的坐标，再利用空间两点间的距离公式计算作答.【详解】依题意，M(LO,g),N(；J0),所以M、N之间的距离IMNl=J(IT)2+(OT)2+(g)2:亨，故答案为：叵42.在如图所示的试验装置中
2、，两个正方形框架A8CQ,ABE户的边长都是2,且它们所在的平面互相垂直，活动弹子”，N分别在正方形对角线AC和8尸上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a,其中0“2.则MN的长的最小值为()A.J2B.22C.32D.【答案】A【分析】根据面面垂仃.性质可证得BC_/平面A三L则以5为坐标原点可建立空间仃.角坐标系；利用空间中两点间距离公式可表示出MN：将MN整理为J(-Y+2,由二次函数最值可得结果.【详解】平面ABa)/平面ABEF,平面ABcQC平面ABEF=AB,BCAB,BeU平ABCD,.Be,平面ABEA则以B为坐标原点，BA,BE,BC为KZ轴建立如图所示的空间
3、直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,0,2),F(2,2,0),E(0,2,0),加品。,2闱yv(,)=2-22+4(0a22):则MN=Ia2_2a+4=J(-可+2,，当=时，MN最小,最小值为五.故选：A.考点02:点到直线距离若Q为直线/外的一点，尸在直线/上，为直线/的方向向量=PQ,则点Q到直线/距离为h=y(ah)2-(d-b)23.已知A(2,0,0),8(0J0),C(0,0,2),则点A到直线BC的距离为().2B.亚C.4D.史55【答案】B【分析】首先利用空间向量求出而在BC上的投影，再利用勾股定理即可求解.【详解】由题意可得，BA=(2,7,0),8C=(0,T
4、,2),则仍在8。上的投影为故选：B4.如图，在空间直角坐标系中有长方体加8-4&仁。,钻=1,8。=2,443,求点8到直线AC的距离.【答案】独I7【分析】利用空间向量的坐标运算求点到直线的距离.【详解】A=l,BC=2fAAf=3,.A(0,0,3),C(l,2,0),8(1,0,0),.A,C=(1,2,-3),BC=(0,2,0),设夕=,则 cos夕=A!CBC414,CC-2i47.2半点B到直线A:C的距离d=|BCsin=冬普考点03：点到平面的距离若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于MP在法向量方向上的投影的绝对值.即 d = IM
5、HCOSG,MP = MPNMPMMPnMP5.如图，在棱长为2的正方体ABC。AMGR中，F,G分别是A8, CG的中点，则点A到平面BG尸的距离为【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量以及点到面的距离公式求解.【详解】如图，以。为坐标原点，以OA,DC,OA分别为JGy,Z轴建立如图坐标系,设正方体的校长为2,则A(2,0,2),G(0,2,l),F(2,l,0),8(2,2,0)A8=(0,2,-2),GF=(2,-1,-1),FB=(0,1,0),.GFn=2x-y-z=O设平面BG尸的法向量为=(x,y,z),则，令x=l,贝Jz=2,FBn=y=OA4“4511=(l,0,2),
6、则点A到平面BG产的距离”=LTTJ=TH5故答案为：述.56 .如图，48是圆柱Oa的一条母线，BC是底面的一条直径，。是圆0上一点，且AB=BC=5,CD=3.D求点B到平面ACo的距离. I 、: 过8作BMJ_AD,垂足为M，由得8_L平面42,COu平面AcR所以平面曲J_平面ACZ),又因为平面ABQr平面Aa)=AD,BMU平面ABDtBMAD1所以平面AOBD=yBC2-CD2=4,/.AD=JAB2+BD2=4?.根据等面积法;ADBM=gABBD,ci,ABBD2041AD 41即8到平面AeO的距离等生亘.41.,.HM=.考点04：直线与平面之间的距离当一条直线和一个平
7、面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即d=W7 .如图，在棱长为3的正方体48CZ)-AKGR中，点E是棱A蜴上的一点，且AE=2E5,点尸是棱AA上的一点，且A尸=2尸.求异面直线AA与b所成角的余弦值;求直线跳)到平面CEF的距离.【答案】噜旭34【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；(2)根据线面平行判定定理，结合空间向量点到面距离公式进行求解即可.【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，A(3,O,O),A(O,O,3),C(O,3,O),F(1,O,3),E(3,2,
8、3),西=(-3,0,3),Cl=(IL3,3),eARCF-3l+3338所以Am=阿可F，所以异面直线AQ与C/所成角的余弦值为我；19(2)连接。内，显然QO8,因为AE=2E8,AyF=2FDl.所以DBJEF,于是O8EF,因为BOa平面CQ,MU平面CEF,所以B。/平面CE/因此直线加到平面CE尸的距离就是点D到平面CE户的距离，设平面CEF的法向代为=（苍），,z）,CF=(I,-3,3),CE=(3,T,3),则有W-CF = OzCE = Ox-3y + 3z = 03x - y + 3z = 0 =(一3,3,4),V、DCn9DC=(0,3,。)，CoS”，印二网点。到
9、平面CEF的距离为:DCcos(DC, n)9_999取Pla(-3)2+32+42扃348 .如图，在三棱锥P-ABC中，PA_L底面ABC,NBAC=90,点。、石分别为棱以，PC的中点，M是线段A。的中点，N是线段BC的中点，QA=AC=4,AB=2.求证：MN平面BDE；求直线MN到平面BQE的距离.【答案】（1）证明见解析【分析】（1）利用空间向量的坐标运算证明线面垂直；（2）利用点到平面的距离公式求解.【详解】（1）因为/e_!_底面ABC,ARACu底面A8C,所以PAJ_A8,PAJ.AC,且ABlAC,所以以A为原点，A8,ACAP所在直线为KXZ轴建系如图，夕X因为EA=A
10、C=4,AB=2,。、E分别为棱以，PC的中点，M是线段A。的中点，N是线段8C的中点,所以B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0t2,2),M(0,0,1),NQ,2,0),MN=(L2,-1),8D=(-2,0,2),BE=(-2,2,2),设平面BDE的法向量为n=(%,y,z),nBD=0-2x+2z=0所以，所以CCOA，nBE=0-2x+2y+2z=0令x=l,则=(1,0,1),因为小MN=0，MNU平面BDE,所以MN平面BDE.(2)BM=(-2,0,1),=(1,0,1),|工线MN到平面的距离即为在平面BDE法向量上的投影,设BM与
11、=(1,0,1)的夹角为8,CKMn则有8SJ二.llIbmnbm-iA1j?所以=WMcsM=WMi=k耳=亍，所以直线MN到平面BDE的距离为也.2考点05：两平行平面之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即d=W9.两平行平面见/分别经过坐标原点O和点A(l,2,3),且两平面的一个法向量方=(-1,0,1),则两平面间的距离是()A.2B.与C.3D.3应【答案】A【分析】由空间向量求解【详解】两平行平面%夕分别经过坐标原点O和点A(l,2,3),04=(1,2,3),且两平面的一个法向量=(TQl),两平面间的距离d=UiI=Jj=0n2故
12、选：A10.正方体48CD-ASGA的棱长为1,则平面MA与平面5。G的距离为()A.2B.3C.也D.B33【答案】D【分析】将平面阴A与平面BDG的距离转化为点B到平面AMA的距离，建立.空间直角坐标系，然后用空间向量求解【详解】由正方体的性质：AB1HDCuD1B1HDB,ABDlBI=Bi,DCInDB=D,且AeU平面ABQ,RBu平面ABD,Z)CU平面8。CLZ)BU平面BOG，所以平面AqA平面8QG，则两平面间的距离可转化为点B到平面ABlA的距离.以。为坐标原点，OAOCOA所在的直线分别为阳XZ轴建立空间直角坐标系，如图所示：由正方体的校长为1,所以A(1,O,O),8(
13、1,1,0),A(Lo)，C(O,1,O),B1(1,1,1),D1(0,0,1)所以C41=(1,T1),?A=(0,-1,0),44=(OJl),1D1=(-1,-1,0).连接Ac，由CV做=(l,-lj)(0,l,l)=l0+(-l)lll=0,CA1B1D1=(l,-lj)(-l,-l,0)=1(-l)+(-l)(-l)+l0=0,所以C4,_LAAnGAI1Al,CAllB1/=CAiIB1D1,且ABJB1D1=B,t可知CAj_平面A3Q,得平面AqA的一个法向量为6=(1,_覃),则两平面间的距离:Hl8A0xl+(T)X(T)+0x113l2+(-l)2 + l2耳E故选：
14、D.考点06：异面直线间的距离设向量与两异面直线0,b都垂直，M,Pb,则两异面直线,b间的距离d就是MP在向量方向上投影的绝对值。即d=W覃.n11 .正方体48C。-AMGA中，边长为2,求异面直线AO与AG的距离.【答案】逝3【分析】利用空间向量的坐标运算求解异面直线的距离.在正方体48C。-A4GR中，建系如图,则A(0,0,0),A(0,0,2),0(0,2,0),C1(2,2,2),所以AC；=(2,2,2),A方二(0,2,-2),AA1=(0,0,2),设=(X,y,z),_LAG,_L.nAC,=2x+2y+2z=0,则有I令y=l,z=l,x=-2,A。=2y-2z=0所以:二(-2,1,1)，所以异面直线A。与4G的距离为12 .正四棱锥S-ABC。的高SO=2,底边长48=,则异面直线8。和SC之间的距离A.叵B.C.更D心555IO【答案】C【分析】利用坐标法，利用异面直线距禽的向量公式即求.【详解】建立如图所示的直角坐标系，则nDB=0令向量Zi=(X。,1),且,Z)3,_LCS,则,/J-CS=O(+y=0X-y+2y2=0.n = (-2,l).二异面百线BC)和SC之间的距离为：dC-n卜冬冬。)(一在利同=(-2,2,1)l+l+0=2/5(-2)2+()2+i25故选：C.
