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1、SFOl（数）Ch11定积分的应用计划课时：8时P1291332002.02.25.Ch11定积分的应用(8时)1平面图形的面积(2时)一.直角坐标系下平面图形的面积：1. 简单图形：X-型和Y-型平面图形.2. 简单图形的面积：给出X型和丫-型平面图形的面积公式.对由曲线2x,y)=0和G(My)=O围成的所谓“两线型”图形，介绍面积计算步骤.注意利用图形的几何特征简化计算.(参阅4P232-240E8693)例1求由曲线xy=i,x-y=0,x=2围成的平面图形的面积.例2求由抛物线V=K与直线x-2y-3=0所围平面图形的面积.32(1P338E1及图11一2,)33. 参数方程下曲边梯
2、形的面积公式：设区间句上的曲边梯形的曲边由方程%=z(r),y=y(t),al仇(a)=a,%(尸)=b给出.又设就有力(。/,于是存在反函数=z,(x).由此得曲边的显式方程y(0=Mz-1U),x三a,h.bS=JlMz(x)dx=J(r),tdt,aa亦即S=ydx=yt)dt).aa具体计算时常利用图形的几何特征.例3求由摆线x=(-sinf),y=(l-CoSf)(40)的一拱与X轴所围平面图形的面积.(1P338E2,3al)二.极坐标下平面图形的面积：推导由曲线厂=(。)和射线6=。，=( 夕)所围“曲边扇形”的面积公式.为r,顶角为八。的扇形面积为-r2 .2I A = lr2
3、( .例4 求由双纽线r2 = or cos26解 cos200, =94 4(简介微元法，并用微元法推导公式.半径)所围平面图形的面积.或二万，巳).(可见图形夹在过极点，倾角44TT为土一的两条直线之间).以e代，方程不变，=图形关于X轴对称；以乃-e4代6,方程不变，n图形关于y轴对称.(参阅lP340图11一6)14因此A=4f/cos2的。=a2.2J40ExlP340-34116,9；4P260-262115(1)(3),116(2)(3),117(1)(6X8),118(3)(8),119(1X3),120(1)(3)(5).2已知塞势立体的体积(2时)已知幕势立体的体积：设立体
4、之事为A(X),x.,勿.推导出该立体之体积V = J A(x)dx.祖Bfi原理：夫塞势即同，则积不容异.(祖随系祖冲之之子，齐梁时人，大约在五世纪下半叶到六世纪初)例1求由两个圆柱面X2+/=a2和/+z2=/所围立体体积1P342E1(a3)3222例2计算由椭球面与+一=1所围立体(椭球)的体积.ab-c41P342E2(-abc)3二.旋转体的体积：定义旋转体并推导出体积公式.hV=万jf2(x)dx.a例3推导高为，底面半径为的正圆锥体体积公式.例4求由曲线工-尸=0和工一=0所围平面图形绕X轴旋转所得立体体积.例5求由圆/+(y-20)225绕X轴一周所得旋转体体积.(1000/
5、)例6D:y=eX=O,X轴正半轴.。绕X轴旋转.求所得旋转体体积.Ex1P3451,2(1X2),3,5*；4P262121(1X3)(8X9)00).3 曲线的弧长(1时)弧长的定义：定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲，即用折线总长极限定义弧长.可求长曲线.二.弧长计算公式：光滑曲线的弧长.设L:X=(t),y=yQ),at,又A(2(),y(),B(/(夕)，y(4),/和y(Z)在区间,切上连续可导且N2+y，2()则L上以4和B为端点的弧段的弧长为=JizW+yw2为证明这一公式，先证以下不等式：对V,cR+,有ya2+b2-ya2+c2Ib-c,(ChI1EX第5题(P4).其几
6、何意义是：在以点3,(a,c)和(0,0)为顶点的三角形中,两边之差不超过第三边.)事实上,2 +b2 -ya2 +c2 I =.一。2|WVj一Vtz2+b2+Ja2+c2II+1ClI+cI为证求弧长公式，在折线总长表达式中，先用Lagrange中值定理，然后对式J/2(5)+y2c；)插项进行估计.参阅P347.如果曲线方程为极坐标形式r=r(9),6,0,连续可导，则可写出其参数方程X=r(6)cose,y=r(0)sin.于是S=J=M)+r,)d.aa例131P348349E13.Ex1P3521.4 旋转曲面的面积(1时)用微元法推出旋转曲面的面积公式：曲线方程为y=(x),xa,3时，=S=2f(x)y+f,2(x)dx；a曲线方程为X=(t),y=y(t),f,夕时，=S=2可y(x)Jr2(t)+yr2(t)dt.a例12HP355356E12.Ex1P3561(1)-(3),2.5 5定积分的物理应用举例(2时)例12P356358E12.例31P359360E4.Ex1P3603611,3,4.
