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1、-经典题一1、：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF初二证明：过点G作GHAB于H，连接OEEGCO，EFABEGO=90，EFO=90EGO+EFO=E、G、O、F四点共圆GEO=HFGEGO=FHG=90EGOFHG=GHAB，CDABGHCDEO=COCD=GF2、：如图，P是形ABCD部的一点，PADPDA15。 求证：PBC是正三角形初二证明：作正三角形ADM，连接MPMAD=60，PAD=15MAP=MAD+PAD=75BAD=90，PAD=15BAP=BAD-PAD=90-15=75BAP=MAPMA=BA，AP=APMAPBAPB
2、PA=MPA，MP=BP同理CPD=MPD，MP=CPPADPDA15PA=PD，BAP=CDP=75BA=CDBAPCDPBPA=CPDBPA=MPA，CPD=MPDMPA=MPD=75BPC=360-754=60MP=BP，MP=CP BP=CP BPC是正三角形3、：如图，在四边形ABCD中，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DENF证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG=DN，CG=DGGNAD，GN=ADDEN=GNMAM=BM，AG=CGGMBC，GM=BCF=GMNAD=BCGN=GMGMN=GNMDEN=F经典题二1、：ABC
3、中，H为垂心各边高线的交点，O为外心，且OMBC于M1求证：AH2OM；2假设BAC600，求证：AHAO初二证明：1延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OGAD于GOGAFAG=FG=F=ACB又ADBC，BEACBHD+DBH=90ACB+DBH=90ACB=BHDF=BHDBH=BF又ADBCDH=DFAH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2GH+DH=2GD又ADBC，OMBC，OGAD四边形OMDG是矩形OM=GD AH=2OM2连接OB、OCBAC=60BOC=120OB=OC，OMBCBOM=BOC=60OBM=30BO=2OM由1知AH=2OMA
4、H=BO=AO2、设MN是圆O外一条直线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.求证：APAQ 证明：作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QFAGPQ PAG=QAG=90又GAE=GAF PAG+GAE=QAG+GAF即PAE=QAFE、F、C、D四点共圆AEF+FCQ=EFAG，PQAGEFPQPAF=AFEAF=AEAFE=AEF在AEP和AFQ中 AFQ=AEP AF=AE QAF=PAEAEPAFQAP=AQAEF=PAFPAF+QAF=FCQ=QAFF、C、A、Q四点共圆AFQ=ACQ又AEP=ACQ
5、AFQ=AEP3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q求证：APAQ初二证明：作OFCD于F，OGBE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AGC、D、B、E四点共圆B=D，E=CABEADCABGADFAGB=AFDAGE=AFCAM=AN，OAMN又OGBE，OAQ+OGQ=O、A、Q、E四点共圆AOQ=AGE同理AOP=AFCAOQ=AOP又OAQ=OAP=90，OA=OAOAQOAPAP=AQ4、如图,分别以ABC的AB和AC为一边,在ABC的外侧作形ABFG和形ACDE，点O是DF的中点，OPBC求证：BC=2OP初二证明：分别过F、A、D作
6、直线BC的垂线，垂足分别是L、M、NOF=OD，DNOPFLPN=PLOP是梯形DFLN的中位线DN+FL=2OPABFG是形ABM+FBL=90又BFL+FBL=90ABM=BFL又FLB=BMA=90，BF=ABBFLABMFL=BM同理AMCDCM=DNBM+=FL+DNBC=FL+DN=2OP经典题三1、如图，四边形ABCD为形，DEAC，AEAC，AE与CD相交于F求证：CECF初二证明：连接BD交AC于O。过点E作EGAC于GABCD是形BDAC又EGACBDEG又DEACODEG是平行四边形又COD=90ODEG是矩形EG=OD=BD=AC=AEEAG=30AC=AEACE=AE
7、C=75又AFD=90-15=75CFE=AFD=75=AECCE=CF2、如图，四边形ABCD为形，DEAC，且CECA，直线EC交DA延长线于F求证：AEAF初二证明：连接BD，过点E作EGAC于GABCD是形BDAC，又EGACCAE=CEA=GCE=15在AFC中F =180-FAC-ACF =180-FAC-GCE=180-135-30=15F=CEAAE=AFBDEG又DEACODEG是平行四边形又COD=90ODEG是矩形EG = OD =BD=AC=CEGCE=30AC=EC3、设P是形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCE求证：PAPF初二证明：过点F作FGCE
8、于G，FHCD于HCDCG HCGF是矩形HCF=GCF FH=FGHCGF是形设AB=*，BP=y，CG=zz：y=*-y+z：*化简得*-yy=*-yz*-y0y=z即BP=FGABPPGFCG=GFAPFPAPB+FPG=90APB+BAP=90FPG=BAP又FGP=PBAFGPPBAFG：PB=PG：AB4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D求证：ABDC，BCAD初三 证明：过点E作EKBD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H，连接OH、MH、ECEH=FHEM=KMEKBDOB=OD又AO=CO四边形ABCD的对角线互相
9、平分ABCD是平行四边形AB=DC，BC=ADOHEF，PHO=90又PCOC，POC=90P、C、H、O四点共圆HCO=HPO又EKBD，HPO=HEKHCM=HEMH、C、E、M四点共圆ECM=EHM又ECM=EFAEHM=EFAHMACEH=FH经典题(四)1、：ABC是正三角形，P是三角形一点，PA3，PB4，PC5求APB的度数初二解：将ABP绕点B顺时针方向旋转60得BCQ，连接PQ则BPQ是正三角形BQP=60，PQ=PB=3在PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5PQC是直角三角形PQC=90BQC=BQP+PQC=60+90=150APB=BQC=1502、设P是平行四
10、边形ABCD部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB初二证明：过点P作AD的平行线，过点A作PD的平行线，两平行线相交于点E，连接BEPEAD，AEPDADPE是平行四边形PE=AD，又ABCD是平行四边形AD=BCPE=BC又ADP=ABPAEP=ABPA、E、B、P四点共圆BEP=PABPAB=PCB又PEAD，ADBCPEBCBCPE是平行四边形BEP=PCBADPE是平行四边形ADP=AEP3、设ABCD为圆接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD初三证明：在BD上去一点E，使BCE=ACD=CAD=CBDBECADCADBC=BEACBCE=ACDBCE+ACE=ACD+ACE即
11、BCA=ECD+得ABCD+ ADBC =DEAC+ BEAC =DE+BEAC =BDAC=,BAC=BDCBACEDCABCD=DEAC4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且PAECF求证：DPADPC初二证明：过点D作DGAE于G，作DHFC于H，连接DF、DESADE=AEDG，SFDC=FCDH又SADE= SFDC=SABCDAEDG=FCDH又AE=CFDG=DH点D在APC的角平分线上DPADPC经典题五1、设P是边长为1的正ABC任一点，LPAPBPC， 求证：L2证明：1将BPC绕B点顺时针旋转60的BEF，连接PE，BP=BE，
12、PBE=60PBE是正三角形。PE=PB 又EF=PCL=PA+PB+PC=PA+PE+EF当PA、PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小如图在ABF中，ABP=120AF=L=PA+PB+PC2过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G则ADG是正三角形ADP=AGP，AG=DGAPDAGPAPDADPADPA又BD+PDPB CG+PGPC+得AD+BD+CG+PD+PGPA+PB+PCAB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=LAB=AC=1L2由12可知：L22、：P是边长为1的形ABCD的一点，求PAPBPC的最小值解：将BCP绕点B顺时针
13、旋转60得BEF，连接PE，则BPE是正三角形PE=PBPAPBPC=PA+PE+EF要使PAPBPC最小，则PA、PE、EF应该在一条直线上如图此时AF= PA+PE+EF过点F作FGAB的延长线于G则GBF=-ABF=-150=30GF=，BG=AF=PAPBPC的最小值是3、P为形ABCD的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求形的边长证明：将ABP绕点B顺时针旋转90得BCQ，连接PQ则BPQ是等腰直角三角形，PQ=PB=2a=2a又QC=AP=aQP2+QC2=(2a)2+a2=9a2=PC2PQC是直角三角形BQC=135BC2=BQ2+CQ2-2BQCQcosBQC=PB2+P
14、A2-2PBPAcos135 =4a2+a2-22aa(-)解得BC=形的边长为4、如图，ABC中，ABCACB80，D、E分别是AB、AC上的点，DCA30，EBA20，求BED的度数解：在AB上取一点F，使BCF=60，CF交BE于G，连接EF、DGABC=80，ABE=20，EBC=60，又BCG=60BCG是正三角形 BG=BCACB=80，BCG=60FCA=20EBA=FCA又A=A，AB=ACABEACF AE=AFAFE=AEF=-A=80又ABC=80=AFEEFBCEFG=BCG=60EFG是等边三角形EF=EG，FEG=EGF=EFG=60ACB=80，DCA=30BCD
15、=50BDC=-BCD-ABC=-50-80=50BCD=BDCBC=BD前已证BG=BCBD=BGBGD=BDG=-ABE=80FGD=-BGD-EGF=-80-60=40又DFG=-AFE-EFG=-80-60=40FGD=DFGDF=DG又EF=EG，DE=DEEFDEGDBED=FED=FEG=60=305、如图，ABC接于O，且AB为O的直径，ACB的平分线交O于点D，过点D作O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AECD于点E，过点B作BFCD于点F，假设AC=6，BC=8，求线段PD的长。解：ACD=BCD =AD=BDAB为O的直径 ADB=90ABD是等腰直角三角形ACB=90，AC=6，BC=8 AB=10AD=ABcosDAB=10=5又AECD，ACD=45ACE是等腰直角三角形 CE=AE=ACcosCAE=6=3在ADE中，DE2=AD2-AE2DE2=DE=CD=CE+DE=3+=PDA=PCD，P=P PDAPCD PC=PD，PA=PD PC=PA+ACPD=PD+6 解得PD=. z.
