2.7弧长及扇形的面积（分层练习）（解析版）.docx

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1、第2章对称图形一圆2.7弧长及扇形的面积精选练习基础篇一、单选题1.如图，A8为。的直径，点C在。O上，若NoCA=50。，AB=4,则BC的长为（）A.10一3R107rb5cD.5一18【答案】B【分析】直接利用等腰三角形的性质得出NA的度数，再利用圆周角定理得出NBOC的度数，再利用弧长公式求出答案.【详解】解：VZ0C=50o,OA=OC,：.NA=50,ZBOC=2ZA=100o,.A8=4,Bo=2,100210BC的长为:=一1809故选：B.【点睛】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出NBOC的度数是解题关键.2.实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆。0/与。的

2、半径为3米，且。经过。Q的圆心。2.已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（）A.4米B.6米C.8米D.12米【答案】C【分析】连接A。，AO2,BO,BO2,OQ2,根据等边三角形的判定得出和是等边三角形，根据等边三角形的性质得出NAoQ2=NAQO/=/80/02=/8。2。=60。,求出优弧AB所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可.【详解】解：连接4。，AO2,BO,BO2,OiO2.图1等圆。与。02的半径为3米，。经过。02的圆心02,AOI=A2=BO=BO：=0/02=3米，40/。2和4BoQ2是等边三角形，：AOiO2=ZaO2Oi=ZBOiO2=/8。2。=60

3、。，优弧AB所对的圆心角的度数是360-60。-60=240,，花坛的周长为2x/g=8（米），180故选：C.【点睛】本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键.3 .如图，在扇形OAB中，NAOB=IO0。,。4=9,将扇形OAB沿着过点8的直线折叠，点。恰好落在弧A8上的点。处，折痕交Q4于点C,则弧AO的长为（结果保留万）（）A.冗B. 2C. 3【答案】B【分析】如图，连接。根据折叠的性质、圆的性质推知AOQB是等边三角形，则易求ZAOZ）=100o-ZDOB=40o;然后由弧长公式弧长的公式/=覆来求Ao的长即可.【详解】解

4、：如图，连接OD根据折叠的性质知，OB=DB.又：OD=OB,工OIAOB=DB,即ZkOQB是等边三角形,NDOB=600.,.ZAOS=100o,/.ZAOD=ZAOB-DOB=AOo, AD的长为40分 X 9180=2.故选：B.【点睛】本题考查了弧长的计算，翻折变换（折叠问题）.折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.所以由折叠的性质推知AODB是等边三角形是解答此题的关键之处.4 .如图，ABC中，AB=2,将AABC绕点A逆时针旋转60。得到AABC,A8/恰好经过点C.则阴影部分的面积为（）A.-7tB.-71C.-KD.-

5、73234【答案】A【分析】根据旋转的性质可知SOse=S阳G，由此可得编影=S扇琳明，根据扇形面积公式即可得出结论.【详解】由旋转得：/8*6=60。，,BC=AB1C160X2223603故选：A.【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，解决本题的的关键根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇形的面积.5.如图，已知扇形OAB的半径OA=6,点尸为弧AB上一一动点，过点尸作PCJ_O4,PDLOB,连接CD,当。取得最大值时，扇形OAB的面积为（）A.9冗B.2C.13.5乃D.5【答案】A【分析】NAO8=90。时，CD最大,由求出扇形面积即可.【详解】解：解：由PC_L0A,

6、Po_LOB可知，NoCP+NODP=180。， O、C、P、。四点共圆，CZ）为此圆直径时，Co最大， 当NAoB=90。时，CO最大，如图：故选：A.360【点睛】本题考查扇形面积计算，解题的关键是掌握NAo8=90时，Co最大.6.如图，在等腰直角三角形48C中，NBAC=90。，A8=AC=4,以点8为圆心，AB为半径画弧交BC于点E以点。为圆心，AC为半径画弧交BC于点凡则图中阴影部分的面积是（）A.4-8B.8-8C.8-16D.16-16【答案】C【分析】过点A作4O_L8C交于点O,根据图形和等腰三角形的性质，可以得到NB、NC的度数，AD和BO的长，再根图形可知阴影部分的面积

7、=（无形ft4E-S八Q）X2,然后代入数据计算即可.【详解】过点A作LBC交于点。，如图所示， ；NBAC=90。,AS=AC=4y2,；点D为BC中点,BC=JAB2+BC?=8,NB=NC=45,：.AD=BD=4,扇形融 J ABD454乂1戈） 443602-x2= 8 乃一16,故选：C.【点睛】本题考查了扇形的面积公式、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出/5的度数，熟知扇形面积公式.7.如图，边长为0的正方形ABCQ内接于一。，PA,PD分别与0。相切于点A和点O,PO的延长线与8。的延长线交于点E,则图中阴影部分的面积为（）EDPA.5-rB.5C.222【答

8、案】C【分析】根据正方形的性质以及切线的性质，求得瓦P的长，勾股定理求得AC的长，进而根据S阴影=S梯形ACEP-5S。即可求解【详解】如图，连接AC.BD，V边长为0的正方形/WCD内接于一 O ,即CD = 0 ,/.AC=2,AC,80为Oo的直径，ZECD=90o,PA,PD分别与。相切于点A和点。，;.EP工BD,V四边形A8C。是正方形，.80=45,.鹿D是等腰直角三角形，.ED=BD=AC=2,AClBD,PAIAO9PDdLODf，四边形QApo是矩形，OA=OD,四边形04PZ）是正方形，.OP=3=1,.EP=ED+PD=2+=3,S阴影=S梯形ACp_/S0=（2+3）

9、l-l2_522故选C.【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键.8.如图，在矩形48C。中，AC为对角线，A=l,NAC8=30。，以B为圆心，48长为半径画弧，交AC于点M,交BC于点M则阴影部分的面积为（）41246326【答案】A【分析】连接8W,过M作于，由/4CB=30。得到NBAe=60。，求得ABM是等边三角形，得到乙Vw=60。，推出NMAN=30。，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论.【详解】解：连接BM,过M作M”_L8C于，在矩形ABCD中，ZAfiC=90o,VAB=LNAe8=30。，ZBAC=60

10、o,AC=2AB=21BC=小,：BA=BM,A8M是等边三角形，：,NABM=6。,：.NMBN=30。，7=BM=y,：S后S-BCM-SABMN=3-二日一击，【点睹】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，明确ShS/CM-S9 .如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA, OB长分别为半径,圆心角NO=I20。形成的扇面，若OA=3m,OB=1.5m,则阴影部分的面积为（）【答案】D【分析】根据S腿=S树/40。-S%影BOC求解即可.【详解】解：S用梦ZS形AoD-S扇形BOC-120OA

11、2120QB2360360=120(OA2-OB2)360三(32-L52)3=2.25,(m2)故选：D.【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.二、填空题10 .如图，四边形ABCo是半径为2的OO的内接四边形，连接OA,OC.若NAoCZABC=4i3,则弧AC的长为.【答案】9#吟【分析】根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质求出NAoC的度数，再根据弧长计算公式进行计算即可.【详解】解：由于NAocNABC=4：3,可设NAoC=则NABC=3斯：ZADC=-ZAOC=2x,2四边形ABCO是圆内接四边形，：.ZADC+ZABC=180,即2x+3x

12、=180o,.*.=36o,：ZAOC=4x=144o,则弧AC的长为当祟=警，1805故答案为：y.【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形以及弧长的计算，掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质以及弧长的计算公式是正确解答的前提.11 .如图，在半径为3的。中，A、B、C都是圆上的点，NABa60。，则AC的长为【分析】连接OA,OC,根据圆周角定理可得NAoC=2NA8C的度数，再根据弧长计算公式进行计算即可得出答案. ZAOC=2ZABC=2= 120.I, nrAC的2丽=1203180=2故答案为：2.【点睛】本题主要考查了弧长的计算及圆周角定理，熟练掌握弧长的计算方法及圆周角定理进行计

13、算是解决本题的关键.12 .如图，将“8C绕点C顺时针旋转120。得到“EC,己知AC=3,BC=2,则AA=;线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为.【分析】根据弧长公式可求得AV的长；根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=SACA+SXABCS：形BCBSAABG由旋转的性质就可以得出SBC=S8C就可以得出AB扫过的图形的面积=SACAS处形BCB求出其值即可.【详解】解：ZXABC绕点C旋转120。得到G：,ABCA,B,Cf：.SbABC=SAABC,ZBCB=ZACAr=120.* AA1的长为:120 乃 3180=2乃；,*AB扫过的图形的面积=S星彩ACA+SbABC-S国形

14、BCB-SRABC,48扫过的图形的面积=S&烟ACA-S晶影BCB,，AB扫过的图形的面积=12043? 120%22 _ 5乃360360T故答案为：2兀；.【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，弧长公式以及扇形的面积公式的运用,解答时根据旋转的性质求解是关键.13 .在活动课上，“雄鹰组”用含30。角的直角三角尺设计风车.如图，ZC=90o,ZfiC=30o,AC=2f将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到使点C落在AB边上，以此方法做下去则8点通过一次旋转至方所经过的路径长为.（结果保留）【分析】根据题意，点8所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30。角所对的边等于斜边的

15、半，易知AB=4,结合旋转的性质可知/M/r=N84C=60。，最后求出圆弧的长度即可.【详解】VZC=90o,ZABC=30o,AC=2,AB=2AC=4fZBAC=60of由旋转的性质得，ZfiAfir=ZBAC=60o,8点通过次旋转至所所经过的路径长为=1OV34乃故答案为：-y.【点睛】本题主要考查了直角三角形30。角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以及圆弧的求法，熟练地掌握相关内容是解题的关键.14.如图，Do的半径为2cm,正六边形内接于。，则图中阴影部分面积为.【答案】y【分析】如图，连接8。，CO,OA.由题意得，AOBC,AAOB都是等边三角形，证明OBC的面积=ABC

16、的面积，可得图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，再利用扇形的面积公式进行计算即可.由题意得，kOBC,AAOB都是等边三角形，：,NAoB=NO8C=60。，OA/BC,40BC的面积=ABC的面积，图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积=竺金360故答案为：y【点睛】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型.15.如图，AB是半圆O的直径，且AB=I0,点P为半圆上一点.将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心0,则图中阴影部分的面积是.（结果保留兀）25【答案】g五O【分析】过点O作OO_LBC于点。，交弧

17、AP于点E则可判断点O是弧AoP的中点，由折叠的性质可得0D=DE=R=t在也AOBO中求出NO4。=30。，继而得出NA。，求出扇形AoC的面积即可得出阴影部分的面积.【详解】解：过点。作于点。，交弧AP于点连接。P,则点E是弧AEP的中点，由折叠的性质可得点O为弧AOP的中点，：.S弓/AOS弓形PO,在放”0。中，OA=OB=R=5,OD=DE=WR=,22：.ZOAD=30o,NSoP=60。,.cY6-52,25S颐桁=S超影BoP=25故答案为：兀.O【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点。是弧AoP的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积.16.如图

18、，ABA.OB,AB=2,08=4,把N80绕点。顺时针旋转60。得NCoO,则A8扫过的面积（图中阴影部分）为.【分析】根据勾股定理得到OA,然后根据扇形的面积公式即可得到结论.【详解】解：连接。4、OC,*：ABLOB,AB=2,0B=4,*OA=yOB2+A2=42+22=25， ：AB扫过的面积=S圆形OAc+S4COD-SAAOB-S扇形OBD, ：Sacod=Saaob 边AB扫过的面积=SOAC-SOBD=处乂竺L-的答=|.乃36036032故答案为：【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键.三、解答题17.如图，点A,B,C在直径为2的

19、。O上，NBAC=45。.B(1)求弧BC的长度；(2)求图中阴影部分的面积.(结果中保留)【答案】(呜【分析】(1)连接08,0C.根据N8OC=2NA,ZA=45,可得NBOC=90。，根据。的直径为2,可得O8=OC=1,即利用弧长公式即可求解答案；(2)根据/8OC=90。，可知ABOC是直角三角形，根据OB=OC=L即可求出BOC的面积和扇形OBC的面积，再根据S协=SQ胫。8C-SA。C即可求解.的直径为2,AOS=OC=L&C=-2=-;3602(2) .N8OC=9()o,Z8OC是直角三角形，。的直径为2,08=OC=I,ZBOC的面积为QQoeTTSMBC=-OBOC=-l

20、=-tSmifc=r2=2=-t即S豺=SQQBC-SXOBCdug222蚓形QBC360。360o42,【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、扇形面积公式等知识，掌握圆周角定理证明出N8OC=90。是解答本题的关键.18.如图，AB为。的直径，C为。上一点，弦A石的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为,ZCAD=36,连接BC.aOJB(1)求NB的度数；(2)若A8=3,求EC的长.【答案(1)54【分析】连接OC,如图，利用切线的性质得到OuLa可得OCAE,所以NCAO=NoCA,然后利用NoCA=NO4C得到NG4。=NOAC可求出NCO8,利用NB=NOCB即可求出NB；(2)根

21、据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出NCOE,根据弧长公式/=寝即可求出EC的长.180(1)连接OC,CO是。的切线，OClCD,V4ECD,：.OC/7AEi：.ZCAD=ZOCAf*：OA=OC,：.ZOCA=ZOAC,：.ZC0B=2ZCAD=36o2=72o,YOB=OC,NB=(180o-ZCOB)2=(180o-72o)2=54o;(2)连接OE,OO的直径A8=3,.*.OA=.5,VZCOf=2ZCD=236o=72o,.”12.531805【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算公式，根据切线的性质证得OCAE和掌握弧长公式是解题的关键.19.在平面直角坐

22、标系中，ABC的三个顶点坐标分别是A(-1,1),B(-4,1),C(-3,3).(1)将&48C向下平移5个单位长度后得到aA4G,请画出aABG;(2)将448C绕原点O顺时针旋转90。后得到A482C2,请画出AAzBzCz;(3)直接写出点C旋转到C2所经过的路径长为.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)依据平移的方向和距离，即可画出AA8C:(2)依据旋转方向、旋转角度和旋转中心，即可画出A482C2;(3)利用弧长计算公式求出点C旋转到。所经过的路径长.(1)解：如图所示，4A8C即为所求；(2)解：如图所示，AA2B2C2即为所求；(3)解：点C旋转到C2所经过的路径长

23、为90*X3应=亚1802故答案为：士后.2【点睛】本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换作图，确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离.平移作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.20.小明和小华在进行探究性学习：小明在半径为，的半圆中画两个直径均为r的小半圆(如图1),小华在半径为的半圆中画两个直径分别为。、的小半圆(如图2),分别计算剩余的阴影部分面积，和S2,并比较它们的大小.SlS21图2(1)用r的代表式表示阴影部分的面积，=；(2)用八的代数式表示阴影部分的面积邑=(3)设a=r+c,b=r-

24、c(c0),那么()；A.SlS2;B.S,S2;C.SiO,即ss2.故选B.【点睛】本题考查了列代数式表示图形的面积，解题的关键是：结合图形分清各个半圆的半径及熟记圆的面积公式.提升篇1.如图，把半径为3的。O沿弦A8,AC折叠，使A3和AC都经过圆心O,则阴影部分的面积为().A.冗B.flC.3D.4【答案】C【分析】阴影部分面积是不规则图形，因此首先连接OA,OB,OC,将不规则图形转化为规则图形求面积.求扇形面积需知道圆心角的度数，因此作圆心O关于弦A8,AC的对称点，即可得到OE=TQ4,即可得到NAOC=NAoa=N800120。，从而求出扇形80C的面积即阴影部分面积.【详解

25、】如图，连接OA,OB,OC,并做0点关于AC的对称点。点，连接OO,叫AC于点E.QA=OB=OC, S弓膨OA=S弓形。8=Sq形OC, S阴影=S国形BOC, 。点、。点关于AC的对称, OE=DE=X, OE=Woa=Woc,22OCE=NoAE=30。 ZAOC=120同理可得NAOB=I20。,ZBOC=120,120。S阴影=S扇形8OC=丽；仓方3?=3万，故选C.【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，此题用到了转化思想，即将不规则图形的面积转化为规则图形的面积.2.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，曲线DA1B1C1D1A2是由多段90。的圆心角所对的弧组成的.其中，弧

26、OA/的圆心为A,半径为A。；弧A/8/的圆心为8,半径为84/；弧8/。的圆心为C,半径为C3/；弧&。/的圆心为O,半径为OG.MDAi.弧4/丛、B1C1.弧Ge的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧。2022。2。22的长是（结果保留不）.【分析】根据题意有后一段弧的半径总比前一段弧的半径长又因为AA的半径为可知任何段弧的半径都是T的倍数，根据圆心以A、B、C、。四次个循环，可得弧CA的半径为：Oa=；x4x二2，再根据弧长公式即可作答.【详解】根据题意有：DAx的半径AA=；,A片的半径B5=4B+AA=；x2,Bel的半径CCI=CB+BBi=；x3,CiDl的半径DD1=CD+C

27、C,=4,配的半径AA2=AO+Oj=；X5,A2B2的半径B&=AB+AA2=；x6,2的半径CG=BC+BB?=；x7,%2的半径段=。+。2=；x8，以此类推可知，故弧CQ”的半径为：Oa=gx4x=2，BPC2022D2022的半径为：DD2022=2=2x2022=4044,90即弧。2022。2022的长度为：一x2x乃x4044=2022加，360故答案为：2022r【点睛】本题考查了弧长的计算公式，找到每段弧的半径变化规律是解答本题的关键.3 .如图，在ABCD中，/0=60。，对角线ACL5C,。经过点A,B,与AC交于点M,连接Ao并延长与。交于点尸，与C8的延长线交于点E

28、,AB=EB.(1)求证：EC是。的切线；(2)若AQ=2J,求扇形OAM的面积(结果保留;r).【答案】(1)证明见解析Q)S扇形OAM=【分析】(1)连接08,根据平行四边形的性质得到NABC=ND=60。，求得NE=NB4氏30。，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到NABo=NOA8=30。，然后说明NO8C=90。即可证明结论；(2)根据平行四边形的性质得到BC=AD=20,过。作OHL4M于H,则四边形08C”是矩形，然后再说明AAOM是等边三角形，即NAOM=60。；最后根据扇形的面积公式求解即可.(1)证明：连接OB四边形ABCD是平行四边形：,NABC=ND=600Z

29、ABE=20t:AB=EB：.ZE=ZBAE=30oVOA=OB：.ZBO=ZOAB=30o：.NOBC=30。+60=90：.OBA.CE：OB是半径：.EC是00的切线.(2)解：T四边形ABCo是平行四边形.8C=AO=2G过。作04_LAM于/7则四边形OBCH是矩形：,OH=HC=I3，0H/7EC：.ZOW=ZE=30oA=2,AM=4,OA=4,ZOAH=60,:OA=OMfNOA=60.ZAOM是等边三角形NAOM=60。JSom=6叱）=艇.扇形am3603【点睛】本题考查了切线的判定、直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质、扇形面积计算等知识点，正确的作出辅助

30、线是解答本题的关键.4 .如图A8是圆O的弦，过点。做OC1,Q4,OC交AB于点尸，且CB=CR（1）求证：8C是圆。的切线；（2）已知NBAO=25,点。是圆。上的一点（与点A,4不重合）求NAQB的度数；若OA=I2,求的长.【答案】（1）见解析46（2）65或115。;丁（分析】（1）连接OB,根据等边对等角可得NOAB=ZOBA,NCPB=NCBP,由AAPO=KPB得AAPO=NCBP,根据OCLOA可得进而可得NCBO=90，即可得证；（2）根据圆周角定理求解即可求解，注意分情况讨论，点。在4加5上时，点。在AB上时：AmB所对的圆心角为230,根据弧长公式即可求解.(I)证明：

31、连接08,*：OA=OB,NOAB=NOBA,YPC=CB,:、NCPB=NCBP,*：NAPO=NCPB,：.AAPo=ZCBP,9：OCLOA,ZAOP=90,；ZOAP+ZAPO=90，NCBP+ZABO=90，ZCBO=90,又08是半径，8C是。的切线：(2)VZBAO=25，：.ZABO=25， YAOB=180NBAo-ZABO=130,Z41B=lzAOB=130=65,分两种情况：1)当点。在A?B上时，NAQ8的度数为65：2)当点。在AB上时，NAQB=180-65=115。, VNAOB=130，二AB所对的圆心角为360-130=230，.,jz230rxl246Am

32、B的k=T点1 oUJ【点睛】本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质、圆周角定理，圆内接四边形对角互补，求弧长,掌握以上知识是解题的关键.5 .定义：有一个角为45。的平行四边形称为半矩形.图1图2图3(1)如图1,若A8CZ)的一组邻边AB=4,AD=If且它的面积为14五.求证：DABCO为半矩形.(2)如图2,半矩形ABCO中，AABO的外心0(外心。在AABO内)到AB的距离为1,。的半径=5,求AQ的长.(3)如图3,半矩形ABCO中，NA=45。求证：CQ是AA8D外接圆的切线；求出图中阴影部分的面积.【答案】(】)见解析(2)43+(3)见解析，12-2兀【分析】(1)由SU

33、ABCD=ABDH=4xDH=14&,解得DH=手,进而求解；(2)连接0。、OB.BD,则N8OO=2/0A8=9O。，则BD=&BO=5&,进而求解:(3)证明AABO为等腰直角三角形，得到0。是圆的半径且OZXLa),即可求解；由阴影部分的面积=SoABCO-SlADO-SODB,即可求解.（1）解：过点。作。交48的延长线于点H,PS口 ABCD=ABDHSl=DH, ZA =45,=4x。”=140,解得DH=半,则A”=JaB-DH?2A8CZ）为半矩形;（2）解：连接 O。、OB、则N8OO=2NQ4B=90。，则8。=应80作BELAD于点Ef则BE=5&,过点。作于点，则BH

34、=JBo2-OH2=小?.F=2灰=1人从贝JA8=4J,过点4：AD=AE+DE=43+2：（3）解：过点。作OO_LA8于点。，AV ZA=45o, AD=D=4,故 AB=40,则AABD为等腰直角三角形，则oD=TA3=2&,.A8CO,DOLAB,OfLLCO,JCO是A3。外接圆的切线;阴影部分的面积=S%8CQ-SOO-S那ODB=4Jx2应-225-;义（22）2=12-2.【点睛】本题为圆的综合题，主要圆切线的判定与性质、新定义、平行四边形的性质、解直角三角形、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中.6 .如图1,已知AB是半圆。的直径，AB=4,点。是线段AB延长线上的一个

35、动点，直线。尸垂直于射线A8于点。，在直线。尸上选取一点。(点C在点。的上方)，使CO=OA,将射线Co绕点。逆时针旋转,旋转角为(09Qo).图1图2若00=5,求点C与点O之间距离的最小值；(2)当射线DC与C)O相切于点C时，求劣弧BC的长度；(3)如图2,当射线Co与半圆。相交于点C,另一交点为E时，连接AE,OC,若AEHoC.猜想AE与OO的数量关系，并说明理由；求此时旋转角的度数.【答案】(1)点C与点O之间距离的最小值为3吗(3)4E=。，理由见解析：旋转角a=54。.【分析】(1)当点C在线段OD上时，点C与点。之间的距离最小，据此作图即可求解；(2)连接Oc根据切线的性质求

36、得NDOC=45。，利用弧长公式即可求解；(3)连接。证明AAOEgAOCQ,即可得AE=Od利用等腰三角形及平行线的性质，根据三角形内角和定理构建方程可求得NO。C的度数，即可解决问题；(1)解：(1)如解图，当点C在线段OD上时，点。与点。之间的距离最小，SlVCD=OA=2f00=5,0C=3.即点C与点O之间距离的最小值为3；解：如解图，连接OC,VOC=OA,CD=OA,：,OC=CD.：,/ODC=NCOD,CO是。的切线，NOcD=90。，ZC=45o,劣弧BC的长度为=?；1oO2(3)解：如图，连接OE.,CD=OA,CD=OC=OE=OA,Z1=Z2,Z3=Z4,*：AE/OC,/.Z2=Z3,设NI=x,贝jN2=N3=N4=x,：,ZAOE=ZOCD=180o-2x,AE=OD.理由：在AAOE与AOCO中，Ao=OeNAoE=NoCD,OE=CD,：.AOEOCD(SAS).：.AE=OD;VZ6=Z1+Z2=2x,OE=OCt.*.Z5=Z6=2r,AEOC,Z4+Z5+Z6=180o,即x+2x+2x=180o,x=36o,.,.NQDC=36。，；旋转角a=90o-36o=54o.【点睛】本题考查了切线性质，全等三角形，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题.