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1、对2014年安徽理科数学第(20)题的评析及教学启示安徽临泉一中程佰畏王峰今年，我有幸参加高考阅卷工作，现就结合本次批阅理科数学20题谈一点点体会，以期能对大家今后的教学提供些参考。一、解法展示题目：如图，四棱柱ABCD-A3GD中，AA_L底面ABCD.四边形ABCD为梯形，ADBC,且AD=2BC.过A1,C,D三点的平面记为,与的交点为Q.(I)证明：Q为BB1的中点；(II)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；(III)若AA=4,CD=2,梯形ABCD的面积为6,求平面a与底面ABCD所成二面角的大小.(I)证法一：因为BC/AD,BCCBQ二B,AZ)41=A,躯平面CBC
2、平面AAr)从而平面ACO与这两个平面的交线相互平行，即QCLA1D2分故AQBC与M1AD的对应边相互平行，于是AQBC-AAO,所以舞喘当即。是网的中点4分证法二：延长AaCO交于点,连接QE,由ECD,.E平面,EAB,:.E平面ABB1A1,/.E(平面a平面ABg1).EA,即A、。、E三点共线。2分.四边形ABCD为梯形，ADBC,且AD=2BC,/.CE=gDE,C为OE中点，因为BQ441，BC/ADtBCQBQB,ADAA1=A,所以平面C平面AAQ从而平面ACO与这两个平面的交线相互平行，即QCRA。，.Q为BBl的中点。.4分证法3：由题意易知平面BCG与平面ADaAL延
3、长GM交于AEj/GA于G点，连接QE,.Aj,O,C,Q四点共面，AEHCD,C、。、用三点共线。2分.四边形ABCD为梯形，ADBC,且AD=2BC,.B点为Gg的中点，由此ACBQAE4Q.Q为BB的中点。4分证法4：取A。中点为E点，AIA中点为K点，连接BK,BE,KE,由四棱柱ABCD-lB1C1D1为直四棱柱，ADHBC,则8七8,跖40;8后口他二瓦40口8=0,.平面48平面3庭，.2分又平面4。Crl平面Q，平面BKEn平面ABA=BK,.A28K,由K为AA中点，故Q为BBl的中点。4分证法5：连接ADl,交Ao于E点，连接。E,取Ao中点为尸点，连接E尸并延长交4。于P
4、点，并连接片P；由四边形ABCD为梯形，ADBC,且AD=2BC,知BFllCD,因四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，BBi/CCi平面BFPBl平面CDD.2分.CD平面BjFPB又有平面a11BFPB=QE,.CDHQE,依点E为产P的中点，故Q为BBl的中点。4分证法6：如图，以D为原点，诙，函分别为X轴和Z轴正方向建立空间直角坐标系.设BC=a,C(xo,yo,O),OI(0,0,z0),Q(XO+,%,)则8(x0+myo,O),A(20,0,0)41(2,O,Zo),由A,ac,。四点共面，因此双=4丽+方A，所以6=g%,故Q为（II）解法1：如图1,连接QA,QDi设
5、AA=a,梯形ABCD的高为d,四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为乙和V下，BC=a,则CSIlC,11,”14+2,l,1,.ad=2。=-2ahd=-ahdYQrBCD=d-h)=Nahd,.73所以V下JkAD-vQ-ABCD-ahd-又vA1B1C1D1-ABCD=d,所以V上三!用。向一回8二V下三,力“二得川以三。故=?8分乙一乙y,解法2：依据(I)问解法2补形基础上，延长4g,GA交于点E，连接EE,构成三棱柱ADE-A1D1E1,SgCE=So,CG=2，则SM)E=4S。，Vf.=4S02-4S0.2A-(S0.2A-Soh)=ySh,Vb=l450.2-l50=0故
6、*=98分解法3：依据依据（I）问解法5基础上，设VAiVE%=K），则33U37乙=1%CgBm尸十%婀旷屋6%+匕=5%，V下=5%+2%=-,(In)解法1：如图1,在AADC中，作AELDC,垂足为E,连接AE,又DELAA,且AAmAE=A.所以DEL平面AEAi,于是DELAE.所以NAEA为平面区与底面ABCD所成二面角的平面角.0分因为BCAD,AD=2BC,所以SAjwC=250相又因为梯形ABCD的面积为6,DC=2,所以Sadc=4,AE=4.于是tanAEAi=112分AETTTTZAEA=-故平面与底面ABCD所成二面角的大小为113分解法2：如图2,以D为原点，而，
7、函分别为X轴和Z轴正方向建立空间直角坐标系.设NCDA=6.因为=-32sin6=6,所以2sin。4从而C(2cos6,2sina)2-A,(,0,4)一所以OC=(2CoSa2sin。,。)，sin6?4DA1=(-,0A)9分sin4DA,n=X+4=0,设平面Az)C的法向量=(x,y,l),由SineDCn=2xcos6+2ysin0=0.得X=-Sin6,y=cos6,所以几=(一SinaCoSeJ)10分又因为平面ABCD的法向量6二(0,0,1)11分几.mJ2所以CoSV1,2=11-r=12分IwIH2故平面与底面ABCD所成二面角的大小为三13分4S解法3：设平面与底面A
8、BCD的二面角为6,利用CoSe=进行求解。SAQe二、阅卷感受本题是立体几何中比较常规性的一类题，第一问考平行平面的性质定理，第二问考查体积的求法，分割补形体积公式，第三问二面角，是常规方法中垂面法等方法的运用。主要以立体几何空间想象能力为载体，与2013年安徼理科立体几何相似，都是回归的考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力。所以，大部分考生都写了，有的写了很多，但是得分率很低，究其原因，是考生对书本知识把握不够，对定义、公理、定理理解不到位,没有注意“过A,C,D三点的平面记为a,BBl与的交点为Q”这一条件，没有很好的利用图形直四棱柱和底面梯形进行找关系，还有体积的比值求解
9、运算能力的缺失，二面角的找法不熟悉等原因是这次全省平均分不高的原因。(1)作为老师在平时教学中自己或指导学生要多研究高考试卷的标准答案，按标准答案所揭示的规律答题，做解答题时题设一定要写完整、写规范。“因为”、“所以”等逻辑关系应表达清楚，算式完成后，根据题设的要求，有时要写一个文字式的结论，写算式时可用公认的、规范的数学符号来简化算式，以提高书写速度。在试卷上作图建立空间直角坐标系时必须标出横轴、纵轴和竖轴的符号，也要标出原点，曲线与x、y、Z轴的交点、曲线之间的交点以及其他重要的空间点都要标出，使题解更全面、更完善。(2)关于作题方法的选择问题。一个题目可能有多种解题方法，如何选择，那种方
10、法最有效，选择的原则首先要体现“大众化”即注重体现“通性通法二理科20题就有五六种方法。(3)由于阅卷老师每天的阅卷量大、时间紧、任务重，心理压力大。因此要想多得分、得高分，就应在解题时力求规范。一般提倡“分栏书写”，将解答空间竖着一分为二，按上下、左右的方式书写，每行只写一个算式或一句推理式，左右中间要在一定的距离，这样便于老师阅卷，所谓与人方便与已方便。解题时书写也要力求规范，那就是该写什么就要写成什么样子，比如：有些学生作答时，前两问不写，在最下面写第三问，由于空的比较多，屏布显示不完，结果就给0分第二个老师也给0分，那这样就得不到分是很亏的。(4)作为阅卷老师，想批阅的快，什么样的卷子
11、最好批呢？空白！什么样的卷子批的痛苦呢？写满了，看了半天又没有几个得分点！所以，我们平时训练时，就应对学生提出明确的要求，题目再难，每个题目中的条件总是可以推导出结论的，你哪怕是只推导出一个结论，也可能是得分点，有了得分点，也就是说你得分了，暂且不论得分是多少，有总比没有好吧！例如第2问：设AD=2BC=2,CD=myCC,=2n,V.=mnA-(nA-2n)-fn=-mn,26V.=3mn+2n-tn-mn=-mn,.=-,得1分。实在不行，你写出题中应该卜266Vk7用到的公式，你也是可能有得分点的。高考阅卷时是按步、按得分点给分的，这点要让学生清楚！我们在平时训练时，要能对有效得分点作重
12、点训练，哪些步狭是可省的，哪些是不可省的，哪些是可要的，哪些是不可要的，在做题时，尽量按得分点、按步书写，严格训练。三、教学启示通过几天的阅卷工作及与同仁之间的交流，我们得到了如下几点教学启示。(1)教学上要注重细节。在平时的教学中如果我们能专注于高考考试大纲的细节，认真研究课标，考试说明来转变教学思路，了解高考改革动向和复习备考信息，我们会发现少走很多弯路，就比如2014年理科数学(20),大家会发现对于综合法的考查这两年已经偏重与回归空间想象思维的考查。再有注重学生答题细节的考查，平时阅卷有些老师改立体几何很迅速，或者只要写就给分这种随意性，使很多学生失分严重，比如第一问大部分学生都写了，
13、私下问学生都感觉对了，但是改卷中发现大部分答不到得分点上，这就要求我们不仅仅要效率，更注重细节上，把每一节教学做细，把每一个工作做细，至少我们离成功不远亦。(2)充分发挥集体的智慧。在改试卷后和其他重点学校的老师交流时发现，感觉我们教学的导向出现了问题，不能很好的引导学生复习，甚至有些复习做了无用功，其实有个突出的问题就是大部分学校的教师喜欢单打独斗，自己只顾本班的复习，不能充分利用集体的力量去搞教学，教研形成一种走过场，使我们的教学出现了偏差。所以我认为，要想考出理想的成绩，我们就要凝聚集体的能力，发挥每个教师的教学特长，使教师在教学中教学相长。教师在暑假为高三复习中花费时间，整合现有的复习
14、资料和资源，进行适合自身学生复习讲义，目的是使学生用更高效的复习策略，尽可能的拿到可能多的的分数。现实的例子就有衡水中学、毛坦厂中学、合肥一中、168中学等学校就是实行自编资料的复习模式，这种效果也是看得见的，充分发挥集体的智慧是最好的智慧。(3)重视数学的知识形成过程数学的一个概念、定义、公式、法则、定理等都是数学的基础知识，这些知识的形成过程容易被忽视。事实上，这些知识的形成过程正是数学能力的培养过程。一个定理的证明，往往是新知识的发现过程。因此，要改变重结论轻过程的教学方法，解题过程的教学就是数学能力培养的过程。(4)强化解题的有效指导。要合理选择解题方法，优化运算途径，这不仅是迅速运算
15、的需要，也是运算准确性的需要。运算的步骤越多，繁度就越大，出错的可能性就会增大。因而根据问题的条件和要求合理地选择解题方法、优化运算途径不但是提高运算能力的关键，也是提高其他数学能力的有效途径。总之，我感觉高考阅卷是宽松的站在学生的立场打分，有点就会给分；高考阅卷又是严格的答题不规范，该有的点叙述不到位，这一点是要扣分的。所以，作为教师,我们不仅要在平时的批阅试卷中引导学生规范答题；更要在平时的作业中严格要求学生；更要在平时的课堂板书中潜移默化的陶冶学生，为学生做好规范答题的榜样；注重书本上的定理，习题等一些典型的题目，如高考21题第一问就是书上的，从2014年高考阅卷工作中告诉我们是网评对每位考生是公平公正的；只有勤奋，真才实学才能获得成功！
