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1、一元一次方程知识点和常考题型知识点复习巩固知识点一：一元一次方程及解的概念1、一元一次方程：A一元一次方程的标准形式是：ax+b=O（其中X是未知数，a,b是已知数，且a0）o要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1）只具有一个未知数；4（2）未知数的次数是1次；A（3）整式方程.A注意：方程要化为最简形式,且一次项系数不能为零。2、方程的解：A判断一个数是否是某方程的解:将其代入方程两边，看两边是否相等.A知识点二:一元一次方程的解法Al、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1:等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。A假如以二，那么ac=bc.（C为一个数或一个式
2、子）。等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数，结果仍相等。Aa_b假如a=b,那么ac=bc.假如a=b（cO）,那么7要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。a _即：b btn b w （其中m0）42、解一元一次方程的一般环节:A常用环节去分母具体做法依据注意事项去括号移项在方程两边都乘以 各分母的最小公倍 数一般先去小括号， 再去中括号，最后 去大括号把具有未知数的项等式基本性质2去括号法则、分 派律等式基本性质1防止漏乘（特别整数项），注意添括号；注意变号，防止漏乘;移项要变号，不移不变都移到方程的一边，其他项都移到方程 的另一边(记
3、住移项 要变号)合并同类 把方程化成ax=b(a合并同类项法则项0)的形式系数化成1在方程两边都除以 等式基本性质2 未知数的系数a,得 到方程A的解X= b要点诠号;计算要仔细，不要出差 错；计算要仔细，分子分母 勿颠倒理解方程ax= b在不同条件下解的各种情况，并能进行简朴应用:Aa_ b O时，方程有唯一解一 5 Aa=O , b=0时，方程有无数个解；a=0,b0时，方程无解。知识点三：列一元一次方程解应用题1、列一元一次方程解应用题的一般环节：(1)审一审题：认真审题，弄清题意,找出可以表达本题含义的相等关系。(2)设一设出未知数：根据提问,巧设未知数.(3)列一列出方程:设出未知数
4、后，运用等量关系写出等式,即列方程。(4)解一解方程，解所列的方程，求出未知数的值.(5)答一检查，写答案:检查所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际，检查后写出答案，注意带上单位。2a、常见的一些等量关系常见列方程解应用题的几种类型：知识点三：方程与整式、等式的区别(1)从概念来看：整式：单项式和多项式统称整式。等式:用等号来表达相等关系的式子叫做等式。如2+3=5,m=n=n+等都叫做等式,而像一3a+2b,3m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。A方程：具有未知数的等式叫做方程。如5x+3=ll.理解方程的概念必须明确两点：是等式；具有未知数。两者缺一不可。(2)从是否具
5、有等号来看:方程一方面是一个等式,它是用将两个代数式连接起来的等式,而整式仅用运算符号连接起来，不具有等号。A(3)从是否具有未知量来看:等式必具有“=，但不一定具有未知量;方程既具有，又必须具有未知数。但整式必不具有等号，不一定具有未知量，分为单项式和多项式。二常见应用题举例1、一般行程问题(相遇与追击问题)1 .行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度X时间时间=路程速度速度=路程时间2 .行程问题基本类型(1)相遇问题：快行距+慢行距=原距(2)追及问题：快行距.慢行距=原距1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时4O千米,设
6、甲、乙两地相距*千米，则列方程为o解：等量关系步行时间一乘公交车的时间=3.6小时列出方程是：之一/-二3.68402、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米,可比预定期间早到15分钟；若每小时行9千米,可比预定期间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？解：等量关系(1)速度15千米行的总路程=速度9千米行的总路程(2)速度15千米行的时间+15分钟=速度9千米行的时间75分钟提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程,设路程列时间等式的方程。方法一：设预定期间为X小/时，则列出方程是：15(-O.25)=9(x+0.25)X15X15方法二：设从家里到学校有X千米，则列出方程是：
7、2-215609603、一列客车车长200米，一列货车车长280米,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相碰到两车车尾完全离开通过16秒，已知客车与货车的速度之比是3:2,问两车每秒各行驶多少米？提醒:将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。等量关系：快车行的路程+慢车行的路程二两列火车的车长之和设客车的速度为3x米/秒，货车的速度为2X米/秒，则163x+162x=200+2804、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km,骑自行车的人的速度是每小时10.8km。假如一列火车从他们背后开来,它通过行人的时间是22秒,通过骑自行车的人的
8、时间是26秒。行人的速度为每秒多少米？这列火车的车长是多少米？提醒：将火车车尾视为一个快者，则此题为以车长为提前量的追击问题。等量关系：两种情形下火车的速度相等两种情形下火车的车长相等在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。解：行人的速度是：3.6km时二3600米36OO秒二1米/秒骑自行车的人的速度是：10.8km时=10800米3600秒=3米/秒(2)方法一：设火车的速度是X米/秒，则26X(-3)=22X(X-I)解得*4方法二:设火车的车长是X米，则X+221_26322-26-6、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车
9、速度是60千米/时,步行的速度是5千米/时,步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。出发地到目的地的距离是60千米。问：步行者在出发后通过多少时间与回头接他们的汽车相遇(汽车掉头的时间忽略不计)提醒:此类题相称于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈即步行者行的总路程+汽车行的总路程=60X2解：设步行者在出发后通过X小时与回头接他们的汽车相遇，则5x+60(X-1)=6O27、某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地,这样便可在规定的时间到达B地,但他因事将原计划的时间推迟了20分,便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定期间早4分钟到达B地，求A、B
10、两地间的距离。解：方法一：设由A地到B地规定的时间是X小时，则(204A12x=l5XX=212X=I2X2=24(千米)606J方法二：设由A、B两地的距离是X 千米，则（设路程，列时间等式）XY204=+=24答：A、B两地的距离是24千米。12156060温馨提醒：当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。8、一列火车匀速行驶,通过一条长300m的隧道需要2Os的时间。隧道的顶上有一盏灯,垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s,根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少?若不能,请说明理由。解析:只要将车尾看作一个行人去分析即可，前者为此人通过30
11、0米的隧道再加上一个车长，后者仅为此人通过一个车长。此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。解：方法一:设这列火车的长度是X米，根据题意，得300+XX=*=300答：这列火车长300米。2010方法二:设这列火车的速度是X米/秒，根据题意，得20-300=1OXX=30IOX300答：这列火车长300米。9、甲、乙两地相距X千米,一列火车本来从甲地到乙地要用15小时，开通高速铁路后，车速平均每小时比本来加快了60千米，因此从甲地到乙地只需要10小时即可到达，列方程YY得。答案：-=60101510、两列火车分别行驶在平行的轨道上,其中快车车长为100米,慢车车长15
12、0米，已知当两车相向而行时,快车驶过慢车某个窗口所用的时间为5秒。两车的速度之和及两车相向而行时慢车通过快车某一窗口所用的时间各是多少？假如两车同向而行，慢车速度为8米/秒，快车从后面追赶慢车,那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒？解析:快车驶过慢车某个窗口时:研究的是慢车窗口的人和快车车尾的人的相遇问题，此时行驶的路程和为快车车长!慢车驶过快车某个窗口时：研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的相遇问题，此时行驶的路程和为慢车车长!快车从后面追赶慢车时：研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的追击问题，此时行驶的路程和为两车车长之和!解：（1）两车的速
13、度之和二1005=20（米/秒）慢车通过快车某一窗口所用的时间=15020=7.5（秒）设至少是X秒，（快车车速为208）则（20-8）X-8x=100+150x=62.5答：至少62.5秒快车从后面追赶上并所有超过慢车。11、甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后,立即由B地返同，在途中碰到乙，这时距他们出发时已过了3小时。求两人的速度。解：设乙的速度是X千米/时，则3+3（2x+2）=25.52x=52x+2=12答：甲、乙的速度分别是12千米/时、5千米/时。二、环行跑道与时钟问题：1、在6点和7点之间,
14、什么时刻时钟的分针和时针重合？老师解析：6:00时分针指向12,时针指向6,此时二针相差180,在6:007:OO之间，通过X分钟当二针重合时，时针走了0.5x分针走了6x以下按追击问题可列出方程，不难求解。解：设通过X分钟二针重合，则6x=180+O.5x解得X=型=32色11112、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米,二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇?若背向跑,几分钟后相遇？老师提醒:此题为环形跑道上，同时同地同向的追击与相遇问题。解:设同时同地同向出发X分钟后二人相遇，则240-20x=400X=10设背向跑,x分钟后相遇，则240x+20
15、0x=400X=A3、在3时和4时之间的哪个时刻,时钟的时针与分针：重合；成平角；成直角；解:设分针指向3时X分时两针重合。x=53+-XX=161211114答：在3时16分时两针重合。11x = 49- 11C 8 x = 32-(2)设分针指向3时X分时两针成平角。=53+-x+60212答：在3时49分时两针成平角。11(3)设分针指向3时X分时两针成直角=53+-x+60412Q答：在3时32上分时两针成直角。114、某钟表每小时比标准时间慢3分钟。若在清晨6时30分与准确时间对准，则当天中午该钟表指示时间为12时50分时,准确时间是多少？解：方法一：设准确时间通过X分钟，则x：38
16、0=60：(60-3)解得*4。分=6时40分6:30+6:40=13:1O方法二:设准确时间通过X时，则2fX-6,=X-1226012)6三、行船与飞机飞行问题：航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度逆水(风)速度=静水(风)速度水流(风)速度水流速度二(顺水速度-逆水速度)21、一艘船在两个码头之间航行,水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时,逆水航行需要3小时,求两码头之间的距离。解：设船在静水中的速度是X千米/时，则3X(-3)=2X(/3)解得产152(a+3)=2(15+3)=36(千米)答：两码头之间的距离是36千米。2、一架飞机飞行在两个城市之间,风速为
17、每小时24千米,顺风飞行需要2小时50分钟,逆风飞行需要3小时，求两城市间的距离。解：设无风时的速度是X千米/时，则3X(k24)=2*X(x+24)63、小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河,逆水用了9小时，顺水用了6小时，求该河的水流速度。解：设水流速度为X千米/时，则9(10-)=6(10+x)解得x=2答：水流速度为2千米/时.4、某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头,共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时,水流的速度为2.5千米/时,若A与C的距离比A与B的距离短40千米,求A与B的距离。解：设A与B的距离是X千米，（请你按下面的分类画出示意
18、图，来理解所列方程）r4（）当C在A、B之间时，-+=20解得x=1207.52.57.5-2.5YX+Y-40当C在BA的延长线上时，-+f-=20解得x=567.5+2.57.5-2.5答:A与B的距离是120千米或56千米。四、工程问题1.工程问题中的三个量及其关系为:工作总量=工作效率X工作时间工作效率=工作总量 工作时间工作时间=工作总量 工作效率2.经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位Io即完毕某项任务的各工作量的和=总工作量=L1、一项工程，甲单独做要10天完毕，乙单独做要15天完毕,两人合做4天后,剩下的部分由乙单独做,还需要几天完毕？解:设还需要X天完毕，依题意，得
19、（看+七4+七X=I解得x=52、某工作，甲单独干需用15小时完毕,乙单独干需用12小时完毕,若甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作，问:再用几小时可所有完毕任务？解：设甲、乙两个龙头齐开X小时。由已知得，甲每小时灌池子的L,乙每小时灌池子的L。2355-X6 121112152列方程：2XO.5+（+2）,-x=-,2233463X=0.5x+O.5;1（小时）23、某工厂计划26小时生产一批零件,后因每小时多生产5件，用24小时，不仅完毕了任务,而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？V解：（五+5）24-6O=X,X=7804、某工程，甲单独完毕续20天，乙单独
20、完毕续12天，甲乙合干6天后，再由乙继续完毕，乙再做几天可以完毕所有工程?6( + ) =X20 1212X=2.45、已知甲、乙二人合作一项工程，甲25天独立完毕，乙20天独立完毕，甲、乙二人合5天后,甲另有事，乙再单独做几天才干完毕？解：1 - (- + -)5 = -X20X =116、将批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多少小时才干完毕工作？解：1-1X1=(J_+J_)x,=-,2小时12分62645五、市场经济问题1、某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅.通过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅,可供
21、1680名学生就餐;同时开放2个大餐厅、1个小餐厅,可供2280名学生就餐.(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；(2)若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐?请说明理由.解:设1个小餐厅可供名学生就餐，则1个大餐厅可供(168(2y)名学生就餐，根据题意，得2(16a2y)+y=2280解得：y=360(名)所以16802y=960(名)(?)由于9605+3602=55205300,所以假如同时开放7个餐厅，可以供全校的5300名学生就餐.2、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元;按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价减少35元销售该工艺品12件所获
22、利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？解:设该工艺品每件的进价是1元,标价是(45+x)元.依题意,得：8(45x)0.85-8x=(45+-35)12-12x解得:x=155(元)所以45+x=200(元)3、某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦则超过部分按基本电价的70%收费.(D某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元,求a.(2)若该用户九月份的平均电费为0.36元,则九月份共用电多少千瓦？应交电费是多少元？解：(1)由题意，得O.4a+(84-a)X0.407O%=30.72解得a=60(2)设九月份共用电X千瓦时，0.40X6O(x
23、-6O)0.4O70%=0.36x解得x=90所以0.36X90=32.40(元)谷：90千瓦时，交32.40元.4、某商店开张为吸引顾客,所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元,八折出售后，商家所获利润率为40%。问这种鞋的标价是多少元?优惠价是多少？利润率=驯I4080%Xj-60-1051O5*8O%=84元成本605、甲乙两件衣服的成本共500元,商店老板为获取利润，决定将家服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价,在实际销售时，应顾客规定,两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元,求甲乙两件服装成本各是多少元？解:设甲服装成本价为X元，则乙服装的成本价
24、为(50-x)元,根据题意，可列109x(1+50%)-x+(500-)(1+40)90%-(5OO-x)=157x=3006、某商场按定价销售某种电器时，每台获利48元,按定价的9折销售该电器6台与将定价减少30元销售该电器9台所获得的利润相等,该电器每台进价、定价各是多少元？(48+X)90%*6-6X=(48+X-30)*9-9XX=162162+48=2107、甲、乙两种商品的单价之和为100元,由于季节变化，甲商品降价10%,乙商品提价5%,调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%,求甲、乙两种商品的本来单价？解:x(ll0%)+(100-x)(l+5%)=100(1+2%
25、)x=208、一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖此结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？解：设这种服装每件的进价是X元,则：X(1+40%)0.8-=15解得x=125六、调配与配套问题1、某车间有16名工人，每人天天可加工甲种零件5个或乙种零件4个.在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件.己知每加工一个甲种零件可获利16元,每加工一个乙种零件可获利24元.若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件.2、有两个工程队，甲工程队有32人,乙工程队有28人，假如是甲工程队的人数是工程队人数的2倍,需从乙工程队抽调多少人到甲工程队?
26、3、某班同学运用假期参与夏令营活动，提成几个小组，若每组7人还余1人，若每组8人还缺6人，问该班提成几个小组,共有多少名同学？4、将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300亳米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200亳米的圆柱形水桶中，正好倒满,求圆柱形水桶的高（精确到0.1亳米，=3.14）.5、某车间有28名工人生产螺栓和螺母,每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分派生产螺栓和螺母的工人,才干使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？6、机械厂加工车间有85名工人，平均每人天天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安
27、排多少名工人加工大、小齿轮,才干使天天加工的大小齿轮刚好配套？7、某厂一车间有64人,二车间有56人。现因工作需要,规定第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？8、甲、乙两车间各有工人若干，假如从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍;假如从甲车间调100人到乙车间,这时两车间的人数相等,求本来甲乙车间的人数。七、方案设计问题1、某蔬菜公司的一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元,经精加工后销售,每吨利润涨至7500元，本地一家公司收购这种蔬菜140吨,该公司的加工生产能力是：假如对蔬
28、菜进行精加工,天天可加工16吨，假如进行精加工，天天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行,受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜所有销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案:方案一：将蔬菜所有进行粗加工.方案二:尽也许多地对蔬菜进行粗加工,没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售.方案三：将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完毕.你认为哪种方案获利最多?为什么？解：方案一：由于天天粗加工16吨，140吨可以在15天内加工完，总利润W=4500X140=6300OO阮)方案二：15天可以加工6X15=90吨，说明尚有50吨需要在市场直接销售，W2=75OOX90+10
29、00X50=7250OO(元)；X14()X方案三：现将X吨进行精加工,将(140X)吨进行粗加工，一+-=15,解得x=60.616总利泗,3=750060+450080=810000(元)2、某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元,B种每台2100元，C种每台2500元.(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台,用去9万元，请你研究一下商场的进货方案.(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元,在同时购进两种不同型号的电视机方案中，
30、为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？解:按购A,B两种，B,C两种，A,C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机X台，则B种电视机y台.(1)当选购A,B两种电视机时,B种电视机购(50-)台，可得方程150Ox+2100(5O-)=90000x=255O-x=25当选购A,C两种电视机时,C种电视机购(5O-)台，可得方程1500x+2500(50-)=90000x=3550-x=15当购B,C两种电视机时,C种电视机为(50-y)台.可得方程2100y+2500(50-y)=90O004y=350,不合题意可选两种方案：一是购A,B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台.（2）若选择（1）,可获利150X25+250X15=8750（元），若选择（1）,可获利15OX35+250X15=9000（元）故为了获利最多，选择第二种方案.
